PAGEPAGE6页共6页第A卷2012—2013学年第一学期《线性代数》答案及评分
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专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期2013年1月16日页号一二三四五六总分本页满分152124161212本页得分阅卷人留意事项：1．请在
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正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请留意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共六道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4.本试卷正文共6页.本页满分15分本页得分一．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知五阶行列式第三列的元素分别为0，1，2，3，4，第三列的余子式分别为-4，-3，-2，-1,0，则该行列式的值为（B）A.-2B.2C.10D.-10.2．已知方阵满足，则下列说法错误的是（D）A．可逆；B．可逆；C．可逆；D.不行逆.3．含n个未知量的齐次方程组有非零解的充分必要条件是（A）A．；B．；C．；D．.4.下列不属于等价关系的是（B）A．矩阵的初等变换；B．矩阵的可逆；C.矩阵的相像；D．矩阵的
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.5.设向量组线性无关，向量可以由线性
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示，向量不能由线性表示，则(A)A线性无关；B线性相关；C线性无关；D线性相关.二．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）本页满分21分本页得分1．设=44(=256).2．设四阶矩阵与相像，为四阶单位阵，矩阵的特征值为2,3,4,5，则24.3．设矩阵则=.4.设三阶方阵三维列向量，已知与线性相关，则-1.5.从的基到基的过渡矩阵为.三、论述证明题（6分）请问等价的向量组线性相关性肯定相同吗？若答案确定，请给出证明；否则请说明理由或举出反例.答：不肯定.……………(4)例如，向量组与其最大无关组等价，但线性相关性不肯定相同.……………(6)四．计算下列各题（共5小题，每小题8分，共计40分）本页满分24分本页得分1.计算行列式D=.（8分）解：将行列式的2、3、4列都加到第一列，然后第一列提出公因子，得D=……………(4)将第一列乘以（—2）后加到其余各列，得D=……………………(8)2.设矩阵,求矩阵.（8分）解：由，得：……………………………(4)验证知矩阵是可逆的，所以……………………(8)3．设矩阵有3个线性无关的特征向量,2是的二重特征值，求，.（8分）解：由已知，得……………………………(4)又由于，故.……………………………(8)本页满分16分本页得分4.设向量组，求该向量组的秩和一个最大无关组.（8分）解：记………………(4)故知：向量组的秩为3，………………………………………………………(6)是一个最大无关组.…………………………………………(8)5.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解.（8分）解：易知，是该方程组的导出组的一个基础解系，…………(4)则该方程组的通解为：…………(8)本页满分12分本页得分五、（12分）设有三维向量组问取何值时，（1）可由线性表示，且表达式唯一？（2）可由线性表示，但表达式不唯一？（3）不能由线性表示？解：设，该方程组的增广矩阵为…………(6)（1）当时，，方程组有唯一解，则可由线性表示，且表达式唯一；…………(8)（2）当时，，方程组有无穷多解，则可由线性表示，但表达式不唯一；…………(10)（3）当时，，方程组无解，则不能由线性表示。…………(12)本页满分12分本页得分六、（12分）设二次型，其中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12.求的值；利用正交变换将此二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.解：(1)的矩阵为，由已知………………(2)所以.………………………(4)的矩阵为,特征多项式为：特征值为：。………………………(6)对于，解齐次线性方程组，得特征向量对于，解齐次线性方程组，得特征向量………………………(8)简洁验证是正交向量组，单位化得………………………(10)故所求正交变换为：，其中，正交变换矩阵为：标准型为：………………………(12)
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