第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年山东省滨州市博兴县教育集团九
年级
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（上）期中数学试卷一、选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.2.若点P(m−1,5)与点Q(3,2−n)关于原点成中心对称，则m+n的值是( )A.1B.3C.5D.73.将二次函数y=x2−4x−1化为y=(x−h)2+k的形式，结果为( )A.y=(x+2)2+5B.y=(x+2)2−5C.y=(x−2)2+5D.y=(x−2)2−54.方程x2−2x−3=0的一个实数根为m，则2024−m2+2m的值是( )A.2022B.2021C.2020D.20195.某种药品原价为49元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是( )A.491−x2=49−25B.491−2x=25C.491−x2=25D.491−x2=256.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为( )A.2B.4C.8D.2或47.将抛物线y=2(x−3)2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是( )A.y=2(x−6)2B.y=2(x−6)2+4C.y=2x2D.y=2x2+48.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=3，DE=1，则线段BD的长为( )A.25B.23C.4D.2109.下表是一组二次函数y=x2+3x−5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y−1−0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2+3x−5=0的一个近似根是( )A.1B.1.1C.1.2D.1.310.若M(−4,y1)，N(−3,y2)，P(1,y3)为二次函数y=x2+4x−5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A.y1
0，②b2−4ac>0，③9a+3b+c>0，④8a+c<0，其中正确的个数为( )A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.设x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2= ．14.如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB′C′，连接C′C.若C′C//AB，则∠BAB′= °.15.关于x的方程(k−2)xk2−2−11=0是一元二次方程，则k的值是______．16.火车进站刹车后滑行的距离S(米)与滑行的时间t(秒)的函数关系式是S=30t−1.5t2，要使火车刚好停在站台位置上，火车必须在离站台 米远处开始刹车．17.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为(4,0)，则点Q的坐标为 ．18.如图，一段抛物线：y=−x(x−3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，过抛物线C1，C3顶点的直线与C1、C2、C3围成的如图中的阴影部分，那么该面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题10.0分)解方程：(1)−x2+4x−3=0(用配
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解)(2)3x(x−1)=2−2x(用适当的方法解)20.(本小题10.0分)已知抛物线y=−12x2−3x−52(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？21.(本小题10.0分)已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+12k2−2=0.求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．22.(本小题10.0分)一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：售价x(元/千克)…50607080…销售量y(千克)…100908070…(1)求y与x的函数关系式；(2)该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？(3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w(元)最大？此时的最大利润为多少元？23.(本小题10.0分)如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB.求：(1)PP′的长度；(2)∠APB的度数．24.(本小题10.0分)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的交点分别是A(−1,0)、B(3,0)，与y轴的交点为C，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线l上一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)若点E是抛物线上且位于直线BC上方的一个动点，求△BEC的面积最大时点E的坐标．答案和解析1.【答案】D 【解析】【
分析
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】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：D． 2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：∵点P(m−1,5)与点Q(3,2−n)关于原点对称，∴m−1=−3，2−n=−5，解得：m=−2，n=7，则m+n=−2+7=5．故选：C． 3.【答案】D 【解析】解：y=x2−4x−1=x2−4x+4−5=(x−2)2，−5．故选D．把y=x2−4x−1进行配方得到y=x2−4x+4−5=(x−2)2，−5．本题考查了二次函数的三种形式：一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)；顶点式y=a(x−k)2+h，顶点坐标为(k,h)；交点式y=(x−x1)(x−x2)，x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标．4.【答案】B 【解析】解：∵m是方程x2−2x−3=0的一个根，∴m2−2m−3=0，解得，m2−2m=3，∴2024−m2+2m=2024−3=2021，故选：B．把x=m代入已知方程可以求得m2−2m=3，所以将其整体代入所求的代数式并求值即可．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．5.【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降价的百分率)=25，把相应数值代入即可求解．【解答】解：第一次降价后的价格为49×1−x，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为49×1−x×1−x，则列出的方程是491−x2=25．故选：C． 6.【答案】A 【解析】【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．【解答】解：x2−6x+8=0(x−4)(x−2)=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A． 7.【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y=2(x−3)2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y=2(x−3+3)2+2，即y=2x2+2；再向下平移2个单位为：y=2x2+2−2，即y=2x2．故选：C． 8.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了旋转的性质与勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转的性质判定△ABD的形状与边AB、AD的长．根据旋转的性质可知：DE=BC=1，AB=AD，应用勾股定理求出AB的长；又由旋转的性质可知：∠BAD=90°，再用勾股定理即可求出BD的长．【解答】解：由旋转的性质可知：BC=DE=1，AB=AD，∵在Rt△ABC中，AC=3，BC=1，∠ACB=90°，∴由勾股定理得：AB=AD=32+12=10．又旋转角为90°，∴∠BAD=90°，∴在Rt△ADB中，BD=(10)2+(10)2=25，即：BD的长为25．故选：A． 9.【答案】C 【解析】解：观察表格得0.04更接近0，∴方程x2+3x−5=0的一个近似根为1.2．故选C．本题考查图象法求一元二次方程的近似解．观察表格可得0.04更接近于0，所求方程的近似根即可得到．10.【答案】B 【解析】解：∵y=x2+4x−5，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−42=−2，∴与对称轴距离越近的点的纵坐标越小，距离越远的点的纵坐标越大，∵−2−(−3)<−2−(−4)<1−(−2)，∴y20，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，故选项正确；B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−2x+1的对称轴x=−−22a<0，故选项错误．故选：A．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．本题考查了一次函数和二次函数的图象和性质，应该熟记一次函数y=ax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．12.【答案】B 【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴b与a异号，即b>0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c>0，∴abc<0，故①错误，不符合题意．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②正确，符合题意．由图象可知，当x=3时，y>0，∴9a+3b+c>0，故③正确，符合题意；∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，∴b=−2a，把x=−2代入y=ax2−2ax+c得y=8a+c，由图象可得x=−2时y<0，∴8a+c<0，故④正确，符合题意．故正确的是②③④共3个，故选：B．根据函数图象分别判断a，b，c的符号即可判断结论①；利用图象与x轴交点的个数即可判断结论②；利用x=3时的函数值的正负即可判断结论③；利用对称轴及当x=−2时函数值的正负即可判断结论④．本题考查二次函数系数与图象的关系，解题关键是根据图象找出对应x值与y的大小关系．13.【答案】0 【解析】解：∵x1,x2是方程x2−x−1=0的两根，∴x1+x2=1，x1⋅x2=−1，∴x1+x2+x1x2=1−1=0．故答案为0．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．直接根据根与系数的关系求解．14.【答案】50 【解析】【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′//AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′//AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∴∠AC′C=∠ACC′=65°，∴∠CAC′=180°−2×65°=50°，∴∠B′AB=50°，故答案为50． 15.【答案】−2 【解析】解：由题意得：k2−2=2；k−2≠0；解得k=±2；k≠2；∴k=−2．是一元二次方程，那么x的指数为2，系数不为0，列式求值即可．用到的
知识点
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为：一元二次方程未知数的最高次数是2，并且二次项系数不为0．16.【答案】150 【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法求解．当火车停下时，也就是滑行最远时，即在本题中需求出S的最大值．【解答】解：由题意，S=30t−1.5t2=−1.5t2+30t=−1.5(t2−20t+100−100)=−1.5(t−10)2+150，∴火车必须在离站台150米远处开始刹车，才能刚好停在站台位置上．故答案为150． 17.【答案】(−2,0) 【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．根据题意设点Q的坐标为m,0，根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，利用中点坐标公式，即可求出点Q的横坐标，即可解答．【解答】解：根据题意设点Q的坐标为m,0，∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为(4,0)，∴4+m2=1，解得：m=−2，∴点Q的坐标为(−2,0)．故答案为：(−2,0)． 18.【答案】272 【解析】【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标特征以及抛物线的对称性等．当x=32时，y=94，则C1的顶点坐标为：(32,94)，同理C3的顶点坐标为：(152,94)，阴影部分的面积等于C1，C2，C3三条抛物线顶点所构成的三角形的面积，即可求解．【解答】解：当x=32时，y=94，则C1的顶点坐标为：(32,94)，同理C3的顶点坐标为：(152,94)，由图象可以看出阴影部分的面积等于C1，C2，C3三条抛物线顶点所构成的三角形的面积：12×6×92=272，故答案为：272． 19.【答案】解：(1)，−x2+4x−3=0，x2−4x+3=0，x2−4x=−3，x2−4x+4=−3+4，(x−2)2=1，x−2=1，x−2=−1，故x=1 或x=3；(2)3x(x−1)=2−2x，3x(x−1)=2(1−x)，3x(x−1)−2(1−x)=0，(x−1)(3x+2)=0，x−1=0，3x+2=0，故x1=1，x2=−23． 【解析】(1)首先两边同时除以−1，把二次项系数化为1，然后把−3移项，再两边同时加上4配方，然后两边直接开平方即可；(2)首先把方程右边分解因式，然后移项可得3x(x−1)−2(1−x)=0，再提公因式x−1可得(x−1)(3x+2)=0，进而可得x−1=0，3x+2=0，再解即可．此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，以及配方法解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20.【答案】解：(1)y=−12x2−3x−52=−12(x2+6x+9)+2=−12(x+3)2+2，开口向下；对称轴为x=−3；顶点坐标(−3,2)；(2)当x<−3时y随x的增大而增大；x>−3时，y随x的增大而减小；函数y有最大值是2． 【解析】(1)首先把解析式化为顶点式，然后再根据顶点式可得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)根据当−12<0，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值可得答案．此题主要考查了二次函数的性质，关键是正确把解析式化为顶点式．21.【答案】证明：根据题意得△=(2k+1)2−4(12k2−2)=4k2+4k+1−2k2+8=2k2+4k+9=2(k+1)2+7，∵2(k+1)2≥0，∴2(k+1)2+7>0，即△>0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根． 【解析】先计算判别式的值，再进行配方得到△=2(k+1)2+7，则利用非负数的性质得到△>0，然后根据判别式的意义得到结论．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．22.【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，根据题意得50k+b=10060k+b=90，解得k=−1b=150．故y与x的函数关系式为y=−x+150；(2)根据题意得(−x+150)(x−20)=4000，解得x1=70，x2=100>90(不合题意，舍去)．故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；(3)w与x的函数关系式为：w=(−x+150)(x−20)=−x2+170x−3000=−(x−85)2+4225，∵−1<0，∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w(元)最大，此时的最大利润为4225元． 【解析】(1)根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．(2)根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；(3)根据批发商获得的总利润w(元)=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．23.【答案】解：(1)∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴∠PAP′=60°，P′A=PA=6，∴△APP′是等边三角形，∴PP′=PA=6；(2)∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴P′B=PC=10，∵△APP′是等边三角形，∴∠APP′=60°，∵PB2+PP′2=82+62=100，P′B2=102=100，∴PB2+PP′2=P′B2，∴△P′PB是直角三角形，∠BPP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°． 【解析】(1)根据旋转的性质可得∠PAP′=60°，P′A=PA，然后判断出△APP′是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PP′=PA；(2)根据等边三角形的性质可得∠APP′=60°，利用勾股定理逆定理求出∠BPP′=90°，然后求解即可．本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，旋转前后对应边相等，对应角相等．24.【答案】解：(1)抛物线y=ax2+bx+3经过A(−1,0)、B(3,0)，∴a−b+3=09a+3b+3=0，解得a=−1b=2，∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；(2)如图，连接BC，直线BC与直线l的交点为P，由抛物线的对称性可知PA=PB，当B、P、C共线时，PB+PC=BC最短(三角形两边之和大于第三边)．∵抛物线的函数关系式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴抛物线对称轴l为x=1．∵B点坐标(3,0)、C点坐标(0,3)，设直线的解析式为y=kx+b′，将B(3,0)、C(0,3)，代入，得3k+b=0b=3，解得k=−1b=3，∴直线BC的函数关系式y=−x+3；当x=1时，y=−1+3=2，即P的坐标(1,2)；(3)如图，作EF//y轴交BC于点F，由(2)得直线BC解析式为：y=−x+3，设E(m,−m2+2m+3)，则F(m,−m+3)，∴EF=(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m，∴S△EBC=12EF⋅OB=12×3(−m2+3m)=−32(m2−3m)=−32(m−32)2+278，∵−32<0，∴当x=−32时，S△EBC最大，最大值为278，此时，点E的坐标是(32,154)． 【解析】(1)将点的坐标代入抛物线关系式，即可得出结论；(2)由三角形中两边之和大于第三边可知当△PAC的周长最小时，点P为BC与l的交点；(3)作EF//y轴交BC于点F，设E(m,−m2+2m+3)，则F(m,−m+3)，求出EF=−m2+3m，然后由三角形的面积公式得出S关于m的二次函数，由函数的性质求出S最大值时x的值，从而求出点E坐标．本题考查了二次函数综合应用的求动点坐标，解题的关键：熟练掌握二次函数性质，知道三角形中两边之和大于第三边，以及能找出直线与抛物线交点的问题．
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