Preparedon21November2021二次函数与幂函数典型例题含答案 二次函数与幂函数1．求二次函数的解析式．2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质
分析
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解决有关问题．【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用． 基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－eq\f(b,2a)，顶点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))).①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上递减，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上递增，当x＝－eq\f(b,2a)时，f(x)min＝eq\f(4ac－b2,4a)；②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上递增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上递减，当x＝－eq\f(b,2a)时，f(x)max＝eq\f(4ac－b2,4a).③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝eq\f(\r(Δ),|a|).(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象幂函数的性质第一象限一定有图像且过点（1，1）；第四象限一定无图像；当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0
方法
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二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝eq\f(x1＋x2,2)；(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．两种问题 与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4ac＜0；))(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b2－4ac＜0.))双基自测1．下列函数中是幂函数的是( )．A．y＝2x2B．y＝eq\f(1,x2)C．y＝x2＋xD．y＝－eq\f(1,x)2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )．A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)＞253．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(2011·陕西)函数的图象是( )．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.考向一 求二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．考向二 幂函数的图象和性质【例2】幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为( )．A．－1＜m＜3B．0C．1D．2【训练2】已知点(eq\r(2)，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(1,2)))在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.考向三 二次函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是( )．A．y＝2x2B．y＝eq\f(1,x2)C．y＝x2＋xD．y＝－eq\f(1,x)解析 A，C，D均不符合幂函数的定义．答案 B2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )．A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)＞25解析 对称轴x＝eq\f(m,8)≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.答案 A3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.答案 C4．(2011·陕西)函数的图象是( )．解析 由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A，D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C.答案 B5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.解析 由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有eq\f(x1＋x2,2)＝3x1＋x2＝6.答案 6 考向一 求二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．[审题视点]采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x)．解 依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＋n＝3，,－\f(m,2)＝－1，))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝0，))∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点A(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，∴y0＝xeq\o\al(2,0)＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x.二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．解 法一 利用二次函数的一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.法二 利用二次函数的顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，∵f(2)＝f(－1)．∴此二次函数的对称轴为x＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f(1,2).∴m＝eq\f(1,2)，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8.∴y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8，∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解之得a＝－4.∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.考向二 幂函数的图象和性质【例2】幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为( )．A．－1＜m＜3B．0C．1D．2[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．解析 由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，又m∈Z，∴m＝0,1,2.∵m2－2m－3为偶数，经验证m＝1符合题意．答案 C根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．【训练2】已知点(eq\r(2)，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(1,2)))在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.解析 由题意，设y＝f(x)＝xα，，则2＝(eq\r(2))α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则eq\f(1,2)＝(－eq\r(2))β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.答案 ±1考向三 二次函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．[审题视点]先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论．解 函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，(1)若a＜0，f(x)在区间[0,2]上单调递增，当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(2)若0≤a＜1，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(3)若1≤a＜2，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；(4)若a≥2，则f(x)在区间[0,2]上单调递减，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a.解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．解析 由于f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)＝f(b)＝1＞0，f(m)＝f(n)＝0，可得a∈(m，n)，b∈(m，n)，所以m＜a＜b＜n.答案 m＜a＜b＜n考向四 有关二次函数的综合问题【例4】设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解．解 当a＞0时，f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))＋2－eq\f(1,a).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≤1，,f1＝a－2＋2≥0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜\f(1,a)＜4，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝2－\f(1,a)＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≥4，,f4＝16a－8＋2≥0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥1，,a≥0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＜a＜1，,a＞\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,4)，,a≥\f(3,8).))∴a≥1或eq\f(1,2)＜a＜1或，即a＞eq\f(1,2)；当a＜0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝a－2＋2≥0，,f4＝16a－8＋2≥0，))解得a∈；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意．综上可得，实数a的取值范围是a＞eq\f(1,2).含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x＞0，,－fx，x＜0.))若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．解 (1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝a＋12－4a≤0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,a－12≤0.))∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋1，x＞0，,－x2－2x－1，x＜0.))(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴eq\f(k－2,2)≤－2，或eq\f(k－2,2)≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决
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】对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范]∵f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2－4a，∴抛物线顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－4a)).(1分)①当eq\f(a,2)≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜eq\f(a,2)＜1，即0＜a＜2时，x＝eq\f(a,2)时，f(x)取最大值为－4a.令－4a＝－5，得a＝eq\f(5,4)∈(0,2)；(7分)③当eq\f(a,2)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a＝eq\f(5,4)或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－eq\f(105,16)或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．【试一试】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．[尝试解答] ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.综上，g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a，－2＜a＜1，,－1，a≥1.)) 
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