应用随机过程清华大学数学科学系林元烈主讲教材：《应用随机过程》（第三次印刷）林元烈，清华大学出版社学习要求不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想学会把抽象的概率和实际模型结合起来学习重点用随机变量
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示事件及其分解——基本理论全概率公式——基本技巧数学期望和条件数学期望——基本概念第一讲随机事件与概率随机试验要点：在相同条件下，试验可重复进行；试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。样本点对于随机试验E，以ω表示它的一个可能出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。样本空间样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。Ω＝{ω}随机事件粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件，用大写英文字母A、B、C等来表示。事件的关系与运算示性函数是最简单的随机变量用随机变量来表示事件用示性函数的关系及运算来表示相关事件的关系及运算公理化定义集类概率概率是满足非负性；归一性；可列可加性；的集函数。可测集粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的点集即为可测集；反之称为不可测集。概率的性质1.2.3.有限可加性4.5.6.7.8.可列次可加性9.概率连续性这部分的详细讨论可以参见《随机数学引论》林元烈，清华大学出版社Buffon试验：最早用随机试验的方法求某个未知的数。测度：满足非负性、可列可加性的集函数。实际上，设集类以上集类和A生成相同的σ-代数,都是上面提到的一维Borelσ-代数，即直观地说，中包含一切开区间，闭区间，半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及由它们经可列次并交运算而得出的集类。事件的独立性几个事件的独立性比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论？机遇偏爱有心人！一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事件；但重复次数足够多，如n=400，至少一次成功就是大概率事件！只要功夫深，铁杵磨成针！随机变量定义解释离散型随机变量的示性函数表示法这说明对于任一d.v.r.，总可以分解为互不交的事件的示性函数的迭加。随机变量等价定义分布函数连续型随机变量的概率密度函数微元法求概率密度函数二维随机变量的分布函数二维Borel-σ代数由平面上矩形的全体生成的σ－代数联合密度函数亦可用微元法求常用随机变量的分布（列出,期望方差）两点分布正态分布二项分布指数分布Poisson分布均匀分布几何分布二维正态分布两点分布若r.v.X只取1和0两个值，且则称r.v.X服从参数为p的两点分布。简记为：X~B(1,p).即EX=p,DX=p(1-p)EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p2EX=λ,DX=λEX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/12EX=1/λ,DX=1/λ2EX=μ,DX=σ2二维正态分布的优良性质X,Y相互独立X,Y不相关随机变量的数字特征及条件数学期望数学期望（复习）“加权平均”为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍R-S积分的概念。黎曼－斯蒂尔吉斯积分任分任取求和取极限在定义了R-S积分之后，我们可以将所有随机变量的数学期望形式进行统一。数学期望的性质（E|Xi|<∞）交换求和顺序同理，对连续型随机变量有相似的结论成立Chebyshev不等式条件数学期望用示性函数的线性组合表示离散型随机变量（见前面“随机变量”部分）例：将概率运算纳入求期望运算的范畴理解E(X|Y)是ω的函数，也是Y(ω)的函数，即Y(ω)取值不同，E(X|Y)也取相应的值；当Y是离散型随机变量时，E(X|Y)也是离散型随机变量。推广至一般随机变量将x替换成X求条件数学期望的一般步骤先写出固定条件(如Y=yj)的情况下X的条件分布律或条件密度函数；根据条件数学期望的定义，通过求和或积分得到条件下的数学期望；将条件(Y=yj)替换成一般情况下的随机变量(Y)条件数学期望的性质设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，则(重要!)全期望公式将全概率公式纳入全期望公式的范畴重要结论：E(X|Y)=E(E(X|Y,Z)|Y)=E[E(X|Y)|Y,Z]以示性函数为例，验证上面的结论同理可验证另一个等号例：由X2和Y3独立用示性函数表示X2推广：条件为两个随机变量E(X|Y,Z)如：男南女北仍然以离散情况下的情形为例：先求出E(X|Y=yj,Z=zk)＝g(yj,zk)，依次可写出E(X|Y,Z)的分布律。g(yj,zk)是关于yj,zk的二元函数
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