A3 1微分中值定理

§3.1微分中值定理?罗尔定理?拉格朗日中值定理?柯西中值定理第三章微分中值定理与导数的应用;0)()(,?????cxcfxfcx有时当费马定理设函数f(x)在[a,b]上有定义，并且在点c?(a,b)取到最值，f(x)在点c可导，则f?(c)=0。;0)()(lim)(????????cxcfxfcfcx由极限的保号性证明：不失一般性。设f(x)在点x=c取到最大值，则f(x)?f(c)，x?(a,b)。;0)()(,????cxcfxfcx有时当;0)()(lim)(????????cxcfxfcfcx从而f?(c)=0。一、罗尔(Rolle)定理P126罗尔（Rolle）定理如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf?,那末在),(ba内至少有一点)(ba????,使得函数)(xf在该点的导数等于零，即0)('??f)1()2()3(例132)(2???xxxf).1)(3(???xx,]3,1[上连续在?,)3,1(上可导在?,0)3()1(???ff且,))3,1(1(,1????取.0)(???f),1(2)(???xxf?点击图片任意处播放\暂停物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:ab1?2?xyo)(xfy?.,水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧CABC证.)1(mM?若,],[)(连续在baxf?.mM和最小值必有最大值.)(Mxf?则.0)(??xf由此得),,(ba???.0)(???f都有.)2(mM?若),()(bfaf??.取得最值不可能同时在端点?),(afM?设.)(),(Mfba???使内至少存在一点则在.0)(:????f由费马定理知?罗尔定理的三个条件，缺一不可.,,))0()(2(一切条件满足罗尔定理的外不存在除不满足条件f?.0)()2,2(???xf内找不到一点能使但在例如,]2,2[,???xxy].2,2[,132????xxy及?洛尔定理指出了?点的存在性，但不能确定它的位置。.0)0(],1,0(,1????fxxy].1,0[,??xxy又例,不满足条件(3),罗尔定理结论不成立.不满足条件(1);注:使定理可推广在(a,b)内可导,且???)(limxfax)(limxfbx??在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.例2.10155的正实根有且仅有一个小于证明方程???xx证,15)(5???xxxf设,]1,0[)(连续在则xf.3)1(,1)0(???ff且由介值定理.0)(),1,0(00???xfx使即为方程的小于1的正实根.,),1,0(011xxx??设另有.0)(1?xf使,,)(10件之间满足罗尔定理的条在xxxf?使得之间在至少存在一个),,(10xx??.0)(???f)1(5)(4???xxf但))1,0((,0??x矛盾,.只有唯一实根?至少有一个根。内，在求证例)10(0234323??????cbacxbxaxcbacxbxaxxF??????234)(23 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：),()0(cbaF????cbacbacbaF?????????23234)1(cbacxbxaxxF???????234)(23设证明：xcbacxbxaxxF)()(234??????,0)1()0(10)(],1,0[)(???FFxFcxF）内可导，，在（?,0)(),10(????????FR使，定理，据.0234:23?????????cbacba即有几个实根。判断设例0)()3)(2)(1()(4??????xfxxxxxf0)3()2()1()0(????ffff?证;0)()10(]10[)(11???????fRxf使，定理的条件，则上满足，在;0)()21(]21[)(22???????fRxf使，定理条件，则上满足，在,0)()32(]32[)(33???????fRxf使，定理条件，则上满足，在个实根。至少有即30)(??xf有三个零点。多是三次多项式，所以至又)(xf?个实根。有30)(???xf二、拉格朗日(Lagrange)中值定理P127拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,那末在),(ba内至少有一点)(ba????，使等式))(()()('abfafbf????成立.)1()2().()(:bfaf?去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(?????fabafbf结论亦可写成ab1?2?xxoy)(xfy?ABCDNM几何解释:.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧分析:).()(bfaf?条件中与罗尔定理相差弦AB方程为).()()()(axabafbfafy?????,)(ABxf减去弦线曲线.,两端点的函数值相等所得曲线在ba作辅助函数)].()()()([)()(axabafbfafxfxF??????,)(满足罗尔定理的条件xF.0)(,),(????Fba使得内至少存在一点则在0)()()(??????abafbff即).)(()()(abfafbf?????或拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.证证法二))(()]()([)(abxfxafbfxF????设证F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,)()())(()]()([)(abfbafabbfbafbfbF??????)()())(()]()([)(abfbafabafaafbfaF??????),()(bFaF?有由R-定理知:,0)(),(??????Fba使).)(()()(abfafbf?????即,),()(内可导在在设baxf).10()()()(000?????????????xxxfxfxxf则有),,(,00baxxx???).10()(0???????????xxxfy也可写成.的精确表达式增量y?拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：.)(,)(上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数IxfIxf推论证明：设x1,x2是(a,b)内任意两点，由L-定理0))(()()(1212??????xxfxfxf(?在x1,x2之间))()(12xfxf??由x1,x2的任意性知:f(x)=常数,x∈(a,b).证毕!(设区间I为:(a,b))例5).11(2arccosarcsin??????xxx证明证]1,1[,arccosarcsin)(????xxxxf设)11(11)(22xxxf???????.0?]1,1[,)(????xCxf0arccos0arcsin)0(??f?又20???,2??.2??C即.2arccosarcsin????xx例6.)1ln(1,0xxxxx?????时证明当证),1ln()(xxf??设,],0[)(上满足拉氏定理的条件在xxf)0(),0)(()0()(xxffxf?????????,11)(,0)0(xxff?????由上式得,1)1ln(????xxx???0?又x?????111,11111?????x,11xxxx??????.)1ln(1xxxx????即求证存在,)1,0(??使设]1,0[可导，且,0)1(?f在连续，)1,0()(xf证：)()(xfxxn??,)1,0(??因此至少存在显然)(x?在上满足罗尔定理条件,]1,0[??)(??即设辅助函数使得)()(1????ffnnn???0?0)0(,0)(????fxf设证明对任意0,021??xx有)()()(2121xfxfxxf???证：210xx??)()()(1221xfxfxxf????12)(xf???0))((121????????fx)()()(2121xfxfxxf????,(2122xxx????不妨设????)0()()()(1221fxfxfxxf?????)(21?????)011x???三、柯西(Cauchy)中值定理0)()()()()()(????????fFaFbFafbf)(???分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使.)()()()()()(??FfaFbFafbf?????满足:)()(aFbF?))((abF????ba???0?要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx?????证:作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx?????)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa??????,),(,],[)(内可导在上连续在则babax?且使即由罗尔定理知,至少存在一点.)()()()()()(??FfaFbFafbf?????思考:柯西定理的下述证法对吗?),(,))(()()(baabfafbf????????),(,))(()()(baabFaFbF???????两个?不一定相同错!上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:)(?F)(aF?????)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy???注意:xyo弦的斜率切线斜率例)].0()1([2)(),1,0(:,)1,0(,]1,0[)(fffxf???????使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数证结论可变形为??????2)(01)0()1(fff.)()(2?????xxxf,)(2xxg?设,]1,0[)(),(条件上满足柯西中值定理的在则xgxf有内至少存在一点在,)1,0(??,2)()0()1()0()1(??????fggff)].0()1([2)(fff?????即也可以用罗尔定理来证例8设f(x)在[a,b]上可微，且ab>0，求证：)(')()]()([1???ffabfbafba????(a<ξ 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理造技巧：注：常见的一些函数构????)()(),(1ffba?????使）证（xxfxF)()(??0)()(),(2????????ffba使）证（)()(xfexFx????????0)()()(xfexfexFxx若0)()(???xfxf0)()(),(3????????ffba使）证（)()(xfexFx???0)()()()()()()()(),(4??????????????????????fggfgfgfba即使）证（)()()()()(xgxfxgxfxF?????))()()()()()()()()((xgxfxgxfxgxfxgxfxF??????????????思考1、如果)(xf在],[ba连续，在),(ba可导，c为介于ba,之间的任一点，那么在),(ba（）找到两点12,xx，使)()()()(1212cfxxxfxf????成立.（A）必能；（B）可能；（C）不能；（D）无法确定能.2、证明bbabaaba????ln解答2o对f(x)在[b,a]上用拉格朗日公式,即),(1lnlnbaba????.111,baab????????)(1lnln)(1babbabaa??????证明1o由所要证明的不等式选定一函数f(x)及定义区间:令f(x)=lnx,x∈[b,a].1、B.2、的零点。的两个零点间一定有可微，证明设)()()()(xfxfxfxf??2121,0)()(xxxfxf???证：设)()(xfexFx?令))()()(xfxfxF????（内可导。在显然),(],,[)(1212xxxxcxF???0)(21??xFxF又0)(),12???????Fxx使（0)]()([???????ffe0)]()([??????ff补充.0)(),(),()(),(],[)(??????fbabfafbabaxf使得证明存在且内可导，上连续，在在设不恒为常数的函数),()(),()(00afxfbaxCxf?????使证?定理：由若??Lafxf),()(00)()()(),(000?????????faxafxfxa使定理：由若否则???Lbfafxf),()()(,00)()()()(000?????????fbxbfxfbx使，