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6§2-5连续映射与同胚一、连续映射（我们这里先给出映射在点处的连续定义）定义1设和都是拓扑空间，是一个映射。若，且在中的任意邻域的原象为在中的邻域，则称为在点处连续的映射。Vf(x)f(x)f-1(V)f-1(V)ffXXYYVxx该定义的空间上
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见下图，左图是连续情况，右图是间断情况。★在上述定义中，将“邻域”换成“开集”，意义不变。于是，为在点处连续的定义可以描述为：对于包含的每个开集，必存在包含的开集，使得。这正是本章开始给出的连续性几种定义中的“邻域语言”表述。它是连续映射的等价定义。定义2若映射在任一点都连续，则称为上的连续映射。注：映射在某点处连续具有“局部性”，而连续映射具有“整体性”。定理1设映射，下列各条件相互等价（1）是连续映射。（2）的任一开集在下的原象是的开集。（此条可做连续映射的定义）（3）的任一闭集在下的原象是的闭集。证明：(1)(2)设连续，是的开集，设的原象。（下面证是开集，即是内点）由于，设是的邻域，根据在点处连续的定义，则是的邻域（即存在开集，），则是的内点。又由的任意性，则，即是开集(即全部是由内点组成)。(2)(3)设是的闭集，则是开集。因此，由上述结论（2），有是的开集，于是（由
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分析性质）是闭集。（注：这里用到分析数学中性质）(3)(1)设是的邻域，且，而是闭集，由（3），其原象是闭集。则是开集，且(注：)所以，是的邻域。由定义知，在处连续。证毕。说明：在许多教材中，连续映射的定义都是“，若的任一开集的原象都是的开集。”●另外，教材中还给出了连续映射的其他等价条件，如（4）的拓扑的某一子基的任一成员的原象都是的开集。（子集改成基，结论也成立）（5）对于的任一子集，的闭包的象包含于的象的闭包，即此处不做证明了。二、连续映射的性质性质：设,,为拓扑空间，如果在处连续，在处连续，则复合映射在处连续。证明：对的任一邻域，由于在处连续，则是的邻域；又由于是的邻域，故性质得证。三、同胚映射定义3设,为拓扑空间，如果为在上的一一映射（单满），并且和都是连续的，则称是一个同胚映射，或同胚。（与度量空间上的定义是一致的）当存在到的同胚映射，就称与同胚。注：同胚映射中条件“连续”不能忽视，它不能从“一一的满射和连续”推出来。f(1/2)f(0)f-1f001/21Af（A）S1XX例表示复平面上的单位圆周，设（提示：）则是到上的一一映射，并且连续，但是不连续。比如，记，知是的开集。记，则而是上半圆且包含点1，1不是内点，则不是开集。注：0是的内点，但不是上的内点，即是的开集，不是开的。性质：全体拓扑空间集合内的同胚关系是一个等价关系。证明是容易而简单的，这里仅作一些解释：①恒同映射是同胚映射，则与同胚。②若是同胚，则也是同胚映射，即与同胚，则与同胚。③两个同胚映射的复合也是同胚映射，即与同胚，与同胚，则与同胚。0-π/2π/2XY●下面介绍几个同胚映射的例子。例1开区间（作为的子空间）同胚于。如：到的同胚映射Nf(p)f(q)pq点P在上半平面上，点q在下半平面上，f(p)在球外平面上，f(q)在球内平面上。例2中的单位球面去掉一点后与同胚。其同胚映射取球极投射，即去掉北极点的球面映射到赤道平面的一个同胚映射（如右图所示），它的解析表达式为即，球面点到平面上点的映射。定义4拓扑空间在同胚映射下保持不变的概念称为拓扑概念；在同胚映射下保持不变的性质称为拓扑性质。★例如，若是同胚映射，则的开集的象是的开集；的开集的原象是的开集；所以，“开集”的概念在拓扑映射下是保持不变的，则“开集”是拓扑概念。而闭集、闭包、邻域、内点等等都是有开集概念定义的，有开集派生出来的概念都是拓扑概念。
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