PAGE§2 集合的基本关系学习目标 1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符号和Venn图
表
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达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的
方法
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．知识点一 子集思考 如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？答案 所有的白马都是马，马不一定是白马．梳理 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．子集的有关性质：(1)∅是任何集合A的子集，即∅⊆A.(2)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(4)若A⊆B，B⊆A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.知识点二 真子集思考 在知识点一里，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案 用真子集．梳理 如果集合A⊆B，但A≠B，称集合A是集合B的真子集，记作：A?B(或B?A)，读作：A真包含于B(或B真包含A)．知识点三 Venn图思考 图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．答案 A⊆B⊆C梳理 一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．1．若用“≤”类比“⊆”，则“?”相当于“<”．( √ )2．空集可以用eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(∅))表示．( × )3．若a∈A，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a))⊆A.( √ )4．若a∈A，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a))?A.( × )类型一 求集合的子集例1 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．考点 子集及其运算
题
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点 求集合的子集解 (1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有1个子集，0个真子集．反思与感悟 为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．跟踪训练1 适合条件{1}⊆A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )A．15B．16C．31D．32考点 与两个已知集合有包含关系的集合个数题点 与两个已知集合有包含关系的集合个数答案 A解析 这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．类型二 判断集合间的关系命题角度1 概念间的包含关系例2 设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )A．P⊆N⊆M⊆QB．Q⊆M⊆N⊆PC．P⊆M⊆N⊆QD．Q⊆N⊆M⊆P考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 B解析 正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.反思与感悟 一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义．跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为______________．考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 N?Z?Q?R命题角度2 数集间的包含关系例3 设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为( )A．A∈BB．B∈AC．A⊆BD．B⊆A考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 C解析 ∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B.∴A⊆B.反思与感悟 判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．跟踪训练3 已知集合A＝{x|－1
0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( )A．P?MB．M?PC．M＝PD．M⊈P考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 C解析 由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y<0，,xy>0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,y<0，))故M＝P.3．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.A．①③B．②③C．③④D．③⑥考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 D解析 元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )A．A⊆BB．C⊆BC．D⊆CD．A⊆D考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 B解析 ∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C⊆B.5．若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是( )A．1B．2C．4D．8考点 子集个数题点 求集合的子集个数答案 C解析 P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个．6．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)不能是( )A．(－1,1)B．(－1,0)C．(0，－1)D．(1,1)考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的值答案 B解析 当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．7．已知集合A⊆eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，2))，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )A．6B．5C．4D．3考点 子集及其运算题点 求集合的子集答案 A解析 方法一 集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，2))的子集为∅，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，2))，其中含有偶数的集合有6个．方法二 eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，2))共有23＝8(个)子集，其中不含偶数的有∅，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1)).故符合题意的A共有8－2＝6(个)．二、填空题8．已知{0,1}?A⊆{－1,0,1}，则集合A的个数为________．考点 与两个已知集合有包含关系的集合个数题点 与两个已知集合有包含关系的集合个数答案 1解析 由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A⊆{－1,0,1}，所以A＝{－1,0,1}，满足题意的集合A有1个．9．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)＋\f(1,2)，k∈Z))))，则集合A，B满足的关系是________．(用⊆，?，＝连接A，B)考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 A?B解析 若x0∈A，即x0＝eq\f(k0,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2k0,4)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(2k0－1,4)＋eq\f(1,2)，k0∈Z.∵2k0－1∈Z，∴x0∈B，即A⊆B，又eq\f(1,2)∈B，但eq\f(1,2)∉A，即A≠B，∴A?B.10．已知集合{b}＝{x|x∈R|ax2－4x＋1＝0}(a，b∈R)，则a＋b＝________.考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的值答案 eq\f(1,4)或eq\f(9,2)解析 由题意知方程ax2－4x＋1＝0有唯一解，当a＝0时，x＝eq\f(1,4)，此时b＝eq\f(1,4)，则a＋b＝eq\f(1,4)；当a≠0时，由Δ＝(－4)2－4a＝0，得a＝4，方程ax2－4x＋1＝0的解为x＝eq\f(1,2)，此时b＝eq\f(1,2)，则a＋b＝eq\f(9,2).三、解答题11．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|00))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥\f(3,2)或m≤－1，,4m<0，,2m＋6>0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥\f(3,2)或m≤－1，,m<0，,m>－3))⇒－3
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