问题情境一结论是错误的。问题情境二:1+an已知数列an满足a1=1,an+1=(n=1,2,···).an写出数列an的通项公式,并
证明
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你的结论.分析:运用归纳推理可得an=,但如何证明推理得到的结论呢?n1问题情境三:还记得12+22+32+···+n2=?探索与证明吗?…12+22+32++n2=61n(n+1)(2n+1)…思考:能否有更好的方法证明以下的结论呢?生活情境:有一天,一个车队正在通过一条狭窄的只能容纳一辆车通行的盘山公路,这时如果其中有一辆车抛锚,那结果将怎样呢?
总结
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:以上结果产生的前提是(1)假如有一辆车停下,那么后面的车都停下;(2)这个车队的第一辆车停下了.非常遗憾的是当这个车队到达半山腰时,车队的第一辆车出现故障停下了,结果怎样呢?听说过多米诺骨牌吗?播放视频1播放视频2数学归纳法楚水实验学校高二数学备课组对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值n0时命题成立;2.然后假设当n=k(kN*,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。数学归纳法这种证明方法就叫做 。那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立数学建构:数学归纳法公理:如果(1)当n取第一个值n0时结论正确;(2)假如当n=k(k∈N+,且k≥n0)时结论正确,可以证明当n=k+1时结论也正确.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立概念解读:(1)为什么要有第一步;(2)第二步中的假设是真的“假设”吗?验证n=n0时命题成立若n=k(k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.归纳奠基归纳推理命题对从n0开始所有的正整数n都成立(1)第一步,是否可省略?不可以省略。(2)第二步,从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发,推证n=k+1时命题也成立。既然是假设,为什么还要把它当成条件呢?这一步是在第一步的正确性的基础上,证明传递性。反例想一想证明:(1)当n=1时,左边=1,右边= 等式成立。(2)假设当n=k时,等式成立,就是那么例1.用数学归纳法证明:当这就是说,当n=k+1时等式也成立。根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立。例2 用数学归纳法证明 1)第一步应做什么?此时n0=,左= ,2)假设n=k时命题成立,即 当n=k时,等式左边共有 项,第k项是 。 kk2思考?1123)当n=k+1时,命题的形式是4)此时,左边增加的项是5)从左到右如何变形? 用数学归纳法证明证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边= 等式成立。(2)假设当n=k时,等式成立,就是那么这就是说,当n=k+1时等式也成立。根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立。如下证明对吗?证明:①当n=1时,左边= 右边= 等式成立。②设n=k时,有即n=k+1时,命题成立。根据①②问可知,对n∈N*,等式成立。第二步证明中没有用到假设,这不是数学归纳法证明。小结重点:两个步骤、一个结论;注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。假设n=k时,等式成立,就是那么, =k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1这就是说,如果n=k时等式成立,那么n=k+1时等式也成立。能否得出对任何非零自然数n,命题都成立?同学们可以自己验证n=1,n=2,n=3等时,命题是否成立