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最新新新概率42精品课件§2方差Variance第一页，共27页。引入我们知道，随机变量的数学期望反映(fǎnyìng)了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道(zhīdào)平均值是不够的.如某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台(liǎnɡtái)仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：问：根据上述结果，哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果乙仪器较好，因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。因此需要引进另一个数字特征来刻划随机变量取值在其中心附近的散布程度，这就是方差。测量结果的均值都是a甲...

§2方差Variance第一页，共27页。引入我们知道，随机变量的数学期望反映(fǎnyìng)了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道(zhīdào)平均值是不够的.如某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台(liǎnɡtái)仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：问：根据上述结果，哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果乙仪器较好，因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。因此需要引进另一个数字特征来刻划随机变量取值在其中心附近的散布程度，这就是方差。测量结果的均值都是a甲仪器测量结果第二页，共27页。D(X)————称为(chēnɡwéi)X的标准差或均方差。设X是一随机变量，若存在，则称之为X的方差(fānɡchà)。记为D(X)或Var(X)即另外(lìnɡwài)，记(X)一、定义第三页，共27页。E(X)X的概率(gàilǜ)取值中心；|X-E(X)|X的取值与概率取值中心(zhōngxīn)的偏差；|X-E(X)|2X的取值与概率取值中心(zhōngxīn)的偏差的平方；这些可都是R.v.哦！D(X)即偏差平方的期望描述了的取值与概率取值中心的平均偏差，刻划了围绕其概率取值中心的偏离程度的大小。二、实际意义第四页，共27页。方法(fāngfǎ)1由定义求当X为离散(lísàn)型随机变量当X是连续型随机变量(suíjībiànliànɡ)三、已知X的分布，求方差。计算量常常较大方法2一个节省运算的公式推导过程：实际是求随机变量X的函数g（X）=[X-E（X）]2的期望！简单的情形可以直接在表上作业。第五页，共27页。例1:已知X的分布(fēnbù),求D(x)解:X0123X0123pk1/103/104/102/10第六页，共27页。例2X的概率密度解:E(X)第七页，共27页。例3设随机变量(suíjībiànliànɡ)X的概率密度为1)求D（X）,2)求第八页，共27页。第九页，共27页。1.二项分布B(n,p)：几个重要(zhòngyào)r.v.的方差第十页，共27页。第十一页，共27页。第十二页，共27页。解法(jiěfǎ)二:设第i次试验事件(shìjiàn)A发生第i次试验(shìyàn)事件A不发生则第十三页，共27页。2.泊松分布(fēnbù)p()：由于(yóuyú)两边(liǎngbiān)对求导得或或第十四页，共27页。3.均匀分布U(a,b)：4.指数分布：5.正态分布N(,2)：思考：1.请给出一个(yīɡè)离散型随机变量X和一个(yīɡè)连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，方差都是1。2.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互(xiānghù)独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn，求E（Y2）第十五页，共27页。例4已知X~(),求D(X).解：易见:服从泊松分布的随机变量的期望与方差(fānɡchà)均为其参数。四、常见分布(fēnbù)的方差第十六页，共27页。例5已知X~N(,2),求D(X).易见：正态分布的两个参数和2，恰为X的数学期望(qīwàng)和方差。解:第十七页，共27页。(1)二点分布(fēnbù):D(X)=pq(2)二项分布(fēnbù):D(X)=np(1-p)(3)泊松分布(fēnbù):D(X)=(4)正态分布(fēnbù):D(X)=2(5)均匀分布(fēnbù):D(X)=常见(chánɡjiàn)分布的方差第十八页，共27页。五、方差(fānɡchà)的性质:(C、b为常数)①D(C)＝0;②D(CX)=C2D(X)推论：D(CX+b)=C2D(X);③当X、Y独立,D(X+Y)=D(X)+D(Y);④D(X)=0P{X=C}=1,其中(qízhōng)C=E（X）（证明要用到Chebyshev不等式）X与Y独立(dúlì)第十九页，共27页。例6流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率为p，当生产出k个不合格品时，即停工(tínɡɡōnɡ)检修一次，求在两次检修之间产品总数X的方差。能否象计算期望时一样，将X分解成若干(ruògān)简单R.v.之和，再求之？分析(fēnxī)：X为离散型R.v.,其可能取值为若能求出X的分布律P{X=i}=pi,则很容易就求出D(X);检修检修分布律难求！即使能求出分布律，求E(X)或E(X2)时，求和计算也很难！当然要求诸Xi相互独立喽！第二十页，共27页。如何求此无穷(wúqióng)级数的和?解：设在一次检修(jiǎnxiū)之后的第i-1个不合格品出现后到第i个不合格品出现时的产品数为Xi(i=1,2,…k)，则由题意知诸Xi相互(xiānghù)独立，所以检修检修注：书中P77计算二项分布的D(X)时，即用此法也。第二十一页，共27页。例7设随机变量(suíjībiànliànɡ)X和Y独立且分别服从正态分布N(2,25)、N(3,49)。求随机变量(suíjībiànliànɡ)Z=4X-3Y+5的概率密度。解已知析此题是求二维随机变量(X,Y)函数的概率密度，若直接用分布(fēnbù)函数法做比较困难。且X和Y独立(dúlì)，所以结合题意可知Z~N(4,841)，故Z的概率密度函数为现已知X和Y的数学期望及方差，再利用期望与方差的性质即可求得Z的期望与方差。但若熟知有限个独立的正态变量的线性组合仍服从正态分布，我们只要求得Z的期望与方差即可。第二十二页，共27页。设随机变量(suíjībiànliànɡ)X,E(X)=,D(X)=2；则>0,有证明(zhèngmíng)思路：六、车比雪夫Chebyshev不等式:等价(děngjià)形式:意义:在未知X的分布,而只知和2时，估计事件{|X-|<}之概率.第二十三页，共27页。例8已知=7300，=700，试估计(gūjì)P｛5200

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