三教上人（A+版-ApplicableAchives）PAGEPAGE7三教上人（A+版-ApplicableAchives）学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择
题
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1．设随机变量ξ～N(2,2)，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝( )A．1 B．2 C.eq\f(1,2) D．4【解析】 ∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝eq\f(1,22)D(ξ)＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).【
答案
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】 C2．下列函数是正态密度函数的是( )A．f(x)＝eq\f(1,\r(2σπ))eeq\s\up12(\f(x－μ2,2σ2))，μ，σ(σ>0)都是实数B．f(x)＝eq\f(\r(2π),2π)e－eq\s\up12(\f(x2,2))C．f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))e－eq\s\up12(\f(x－12,4))D．f(x)＝eq\f(1,\r(2π))eeq\f(x2,2)【解析】 对于A，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A错误；对于B，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正确；对于C，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝eq\r(2)，故C不正确；对于D，指数部分缺少一个负号，故D不正确．【答案】 B3．(20XX·湖北高考)设X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如图246所示，下列结论中正确的是( )图246A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)【解析】 由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)＝eq\f(1,2)，P(Y≥μ1)＞eq\f(1,2)，故P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A错；因为σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错；对任意正数t，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C错；对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，故选D.【答案】 D4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.0225)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为( )A．上、下午生产情况均为正常B．上、下午生产情况均为异常C．上午生产情况正常，下午生产情况异常D．上午生产情况异常，下午生产情况正常【解析】 根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．【答案】 C5．(20XX·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%【解析】 由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6826，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P－6＜ξ＜6－P－3＜ξ＜3,2)＝eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.1359＝13.59%，故选B.【答案】 B二、填空题6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点.【导学号：97270054】【解析】 由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.【答案】 0.27．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．【解析】 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等
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在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义是期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.【答案】 18．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈R.给出以下四个命题：①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X
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差是100；④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，则P(00)，若X在(0,2]内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0,4]内取值的概率；(2)P(X>4)．【解】 (1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图．因为P(04)＝eq\f(1,2)[1－P(0－a)(a>0)；②P(|ξ|0)；③P(|ξ|0)；④P(|ξ|a)(a>0)．【解析】 因为P(|ξ|a)＝P(ξa)＝1，所以P(|ξ|a)(a>0)，所以④正确．【答案】 ②④4．(20XX·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图248(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代
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)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8
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