三教上人（A+版-ApplicableAchives）PAGEPAGE-9-三教上人（A+版-ApplicableAchives）第四节凸函数函数f定义在Rn的子集S上，值域为实数或者.集合|称为f的上图，记为epif.如果epif为Rn+1的子集上的凸集，我们称f为凸函数.S上的凹函数就是凸函数的反面.S上的仿射函数就是具有确定的凸性或者凹性的函数.S上凸函数的有效定义域是f上图到Rn的投影，我们记为domf，即domf={x|}={|}.这是一个Rn上的凸集，因为它是凸集epif在线性变化下的像.它的维数叫做f的维数.一般地，f的凸性就取决于domf到f的约束条件，所有的兴趣就集中在这个约束条件上，S本身没起多大的作用.很显然，为什么我们只考虑有确定有效定义域C的凸函数是有很重要的原因的.两个处理
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
可以使用.一个方法是仅仅关注不含的函数，从而使S与domf相符合（随着f的不同而不同）.当然，也可以关注所有Rn上的函数，因为S上的凸函数可以通过补充定义f（x）=（当x），可以扩张成为Rn上的凸函数.第二个处理方法将在本书中阐明.此后，除非特别声明，我们认为凸函数就是指定义在全体实值Rn（包括无穷大）上的凸函数.然而，这个方法会牵涉到+的算术运算，我们给出如下规则：，<,<==,(－)=(－)=－,0<==－,(－)=(－)=,－<00=0=0=0(－)=(－)0,－(－)=inf=+,sup=－由于运算－和－+没有定义，我们需要避免.在这些原则下，以下的运算法则成立：=,()+=+(+),=,()=(),(+)=+,为了避免需要小心，比如避免除数为0.在实际中，一般假设运算不包括无穷大，所以不会产生矛盾.如果f的上图是非空的并且不包含垂直线就是真凸函数.比如说如果存在x使f（x）<，或者任意x，f（x）>.因此，f是真凸函数当且仅当凸集C=domf是非空的.换一种说法，Rn上的真凸函数是从非空凸集C上取有限凸函数，并且f（x）=（xC）扩充到Rn函数.不是真凸函数的凸函数为非真的.真凸函数是我们所要学习的，但是非真凸函数在很多情况下也会由非真凸函数产生，并且考虑它比排除它方便的多.一个不是或的简单的非真凸函数的例子是R上如下定义的函数：凸函数有重要的插值性质.通过定义，S上f是凸函数当且仅当.属于epif，属于f，0.换言之，存在和.这还可以用多种方法表述，以下两种不同形式的表达最有用：定理4.1.设f是凸集C（例如C=R2）到的函数，那么f是C上的凸函数必须且只须对任何成立.定理4.2.设f是Rn到的函数，那么f是凸函数必须且只须对成立.另外的重要形式可以通过定理2.2.推出.定理4.3.[1]（Jensen不等式）设f是Rn到上的函数.f是凸函数必须且只须对成立.证明非常简单，留作练习.当然，在相同条件下，凹函数满足相反的不等式.仿射函数满足上述的等式情形.因此，Rn上的仿射函数是Rn到R的一个仿射变换.定理4.1.中不等式通常被用作凸集C到的函数f的凸性的定义，但是这个方法会带来麻烦.因为当f能取到时会出现的情况.当然，定理4.2.可以用来定义一般情况下的凸函数.但是，这一节开头部分的定义似乎更好，因为它利用了几何知识，而几何是凸分析理论的基础.一些古典凸函数的例子可以从如下定理获得：定理4.4.设f是开区间上的二阶连续可微实值函数.则f是凸函数必须且只须它的二阶微分在区间非负.证明首先，假设在非负，则在上是不减的.当，且有由于有两式两边分别乘以和，再相加，有该式左边即通过定理4.1.就证明了的凸性.考虑定理的反面，假设在区间不是非负的，则是某个连续区间是负的.考虑区间有因此从而在就不是凸函数.产生矛盾.定理4.4.将由定理24.1.和定理24.2推广到一般情况.由定理4.4.下列函数是R上的凸函数：1.2.3.4.考虑多维的情形，从定理4.1可知：函数且在上显然为凸函数，对于仿射函数在上确实具有这种形式（定理1.5）.对于二次型函数：其中Q为n阶的对称矩阵，当且仅当Q为半正定时，即对，时，在上为凸函数.根据定理4.4该结论显然成立.定理4.5[2].设为开凸集，为二次连续性可微函数，那么为凸函数必须且只须其海赛矩阵对一切的为半正定矩阵.证明C上的函数的凸性等价于约束函数的每一部分在凸性，也就是说等价于函数在实开区间{∣，}上的凸性.简明表示如下：由定理4.4可知，对，为凸函数当且仅当对于，都成立.上的一个有趣凸函数的凸性能被定理4.5证实，这个函数就是几何平均值的相反数.函数表示如下：于是可得其中，由于.故对非负.上最重要的一个凸函数是欧几里得范数∣x∣=.当时为绝对值函数，欧几里得范数的凸性需满足下面两个条件.∣x+y∣∣x∣+∣y∣,∣∣=∣∣凸集与凸函数的对等关系是很重要的
数学
数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划
工具，简单的联系到上C的示性函数，其表达式横截面C的半圆柱是示性函数的上图，显然若为凸集必须且只须）在上为凸函数.正如特征函数在分析中所起的作用一样，示性函数在凸分析中也有很重要的作用.对于上的凸集，其承托函数定义为（∣）=sup{
∣y}.度规函数定义为=inf{∣}，≠距离函数定义为=inf{∣}.现在，这些函数的凸性可以直接证明.我们将在下一节给出凸性的一般性原则.通过一种重要的方法，可以由凸函数产生凸集.定理4.6.对于任意的凸函数和[-+],水平集{∣}以及{∣}是凸集.证明严格不等式的结果显然可以从定理4.2.得到.令，当时{∣}是凸集{∣}的交集，如果用几何学的知识来探讨函数的凸性，{∣}可以看做epi的交集在上以及超水平集{(x,u)∣}在上的投影.所以{∣}可以看作是epi的一个横截面.推论4.6.1设是R上的凸函数,x是实数且,为一任意指标集，则是一个凸集.证明：类似推论2.1.1若f是一个满足定理4.6的二次函数，则这些点集满足二次不等式则当Q是半正定的f是凸的，这些点集包括所有的椭圆面，抛物面和特定的球面，如.定理4.6和推论4.6.1在不等式的非线性系统中有非常重要的意义.且凸性也应用到不等式的其他分析中，许多典型不等式被认为是定理4.3的特许情况.例如以上例6，一个正数组成的凸组合，我们有由定理4.3，不等式两边乘以-1，然后去指数得特别的，当，，这是在正数范围内著名的算术平均值和几何平均值不等式[3].有时一个没有凸性的函数可以通过参数的非线性变换转换成凸函数.下面是一个典型的例子.当且指数是任意的实数（这个函数在第30节有重要应用），在这一节的特殊函数是，在函数g中得，当.在下一节我们可以看到h以及其该形式的和式函数是凸的.点集可以通过同样的变量代换转换为一个超平面如果一个函数f在上对任意的x满足我们称它为正齐次的.显然，正齐次在上是一个椎体.一个简单的正齐次凸函数但不是线性函数的例子是.定理4.7[4].设：为正齐次函数，那么f是凸函数的充分必要条件为（1）证明应用定理2.6..推论4.7.1.设是上的正齐性真凸函数，那么对推论4.7.2设是上的正齐性真凸函数，那么对证明定理4.8.设是上的正齐性真凸函数，L是的一个子空间，那么为使是L上的线性函数，必须且只须（1）又若是L的基，则式（1）也等价于（2）证明只需证明式（2）蕴含在L上的线性，事实上，假设式（2）成立，则，于是对于任意，我们有.因此即在L上是线性的.正齐次凸函数将用来刻画在第13节凸集上的函数和第15节的度规函数的性质，正齐次凸函数还将在推论15.3.1和15.3.2讨论.附：[1]定理4.3.的证明只需证明必要性.采用数学归纳法.当m=2时有.假设m=A时成立有对成立.现在证明当m=A+1上式也成立.为此任取不妨假设于是令从的凸性和归纳假设得到=命题得证.[2]定理4.5.证明[3]给出算术几何平均值的其他证明方法法二构造函数=，下面求其在条件=r(r>0,,i=1,2,)下的最大值.设F（）=(r-)，对F求偏导并令它们都等于零，则有F=(r-)=0(j=1,2,，n-1)，解之可得====，从而函数F()的稳定点是(，，，）.为了判断F（，，，）=为所求条件下的极大值，考虑其Hesse矩阵，为此计算如下：（i=1,2,n），（r-）（i=1,2,n，j=1，2，，n，ij）.将稳定点代入可得当i=j时=-2，当ij时=-，所以Hesse矩阵为=,由于>0，要讨论的正负定性只要讨论A=的正负定性.计算可得，A的r阶主子式有相同的结构为（-1-r)由定理1=(r+1)>0所以A为负定矩阵.从而为负定矩阵.由定理3知F（，，，）=为F的极大值，并且此极大值就是最大值.从而=，即.法三要求在条件=r(r>0,,i=1,2,)下的最大值，问题可转换为在条件=r(r>0,,i=1,2,)下的最大值。设lagrange函数L=+,对L求偏导数并令它们都等于零，则有L=+（i=1,2,）,解出====.以D记n-1维平面上的开区域{（）:>0,,i=1,2,},则当某个0，即(）趋近于D的边界时，因此必在D内部某点取得最大值，这一点只能是（，，，）,所以=,即.从上述三种方法的分析看出，方法一（即正文中的方法）得先给出重要不等式，方法二和三得有高等数学函数极值理论作基础，方法二牵涉到矩阵的有关知识，这也体现了数学各方面知识的联系性.当然均值不等式的证明也可以采用初等数学的方法，比如数学归纳法，这里就不予以给出.[4]定理4.7的证明证明：首先f是凸函数，于是对于任意的，，利用的正齐次凸性得到反之，设式（1）成立对于任意我们即是凸函数。
浙公网安备 33021202002483