球的“内切”“外接”问
题
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一、球的体积和表面积
公式
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：4①V二一兀R3:;②S=4兀R2球3球面二、球与多面体的外接和内切定义1.若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则这个多面体是这个球的内接多面体;这个球是这个多面体的外接球。定义2.若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则这个多面体是这个球的外切多面体;这个球是这个多面体的内切球。与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键而解。三、球与棱柱的组合体问题正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。如图1,截面图为正方形EFGH的内切圆，得R=—；2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切图1MD1—切点为各棱的中点，C1可使这类问题迎刃如图2作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R二#a。3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3,以对角面AA作截面图得，圆O为矩形AACC的111外接圆，易得R二AO二辽a。124.构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例1.已知三棱柱ABC-ABC的六个顶点在球O上，又知球O与此正三棱柱的5个面都相11112切，求球O与球O的体积之比与表面积之比。12分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。EA图4CiEiBi解：如图4,由题意得两球心0、0是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA和它们的球12R2=寻A，正三棱柱的高为H二2R2二TA'心作截面，设正三棱柱底面边长为A，则RtAADO中，得ii5——AI3丿=A212，二R1Y/.S:S=R2:R2=5:1,1212典型例题分析：例1.（2010新课标文科）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.3兀a2B.6兀a2C.12兀a2D.24兀a2例2．长方体一个顶点上出发的三条棱的长分别是3,4,5，且它的八个顶点在同一个球面上，这个球的表面积是A.25\/2兀B.20\：2兀C.55D.205例3.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2厘米的球面上，如果边正棱柱的底面边长为1厘米，那么棱柱体积是例4.（2008新课标理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为^3，底面周长为3，那么这个球的体积为例5.（2010新课标理科）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都等于a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是C.11兀A23D图5例6.半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为\；'6，求半球的表面积和体积。例7.（2009全国卷I理）直三棱柱ABC-ABC的各顶点都在同一球111面上，若AB二AC二AA二2,ZBAC二120。，则此球的表面积等1于。四、棱锥的内切、外接球问题例2.棱长为A正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：正棱锥的外接球和内切球的球心都在高上。解：如图5所示，设点O是内切球的球心，由图形的对称性知，点O也是外接球的球心.设内切球半径为r，外接球半径为R.正四面体的表面积S表=4xa2=\.；3a24正四面体的体积VA-BCD-1x込a2xAE-卫a23412\AB2-BE2-込a2；a2-12——a2〔3—a3120-S-r—V3表A-BCD3V:.r———ABCDS表3x迢a312■<3a2、":6a12在RtABFO中,BO2=BE2+EO2,J3——a3丿得R=乎a，得R=3r练习：一个正四面体内切球的表面积为3n，求正四面体的棱长。（
答案
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为：「2）【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正h3h四面体高的四等分点，即内切球的半径为2（h为正四面体的高），且外接球的半径—，从44而可以通过截面图中RtAOBE建立棱长与半径之间的关系。体积分割是处理内切球常用的
方法
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。典型例题分析：例8.（2008福建卷15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是.例9.在球面上有P,A,B,C如果PA,PB,PC两两垂直，PA=1，PB=PC=迈,则这个球的体积是例10.（2008浙江卷）如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA丄平面ABC，AB丄BC，DA=AB=BC^-'3，则球0点体积等于例1.四面体S-ABC的三组对棱分别相等，且依次为2点"3,5，该球的体积是例12.（2009全国卷I文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3兀，则球O的表面积等于例13•正四棱锥S-ABCD底面边长和各侧棱长都为x/2,点S,A,B,C,D都在同一个球面上，该球的体积是例14.（2010辽宁文数）已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA丄平面ABC,AB丄BC,SA=AB=1,BC=\:2，则球O的表面积等于TOC\o"1-5"\h\zA.4兀B.3兀C.2兀D.兀例15.（2012新课标理科）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为（）例16.（2011全国新课标理）。已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6,BC=2羽，则棱锥O-ABCD的体积为.例17.（2011辽宁文科）已知球的直径SC=4,。A.,B是该球球面上的两点，AB=2，ZASC=ZBSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为例18.（2008湖北文科）用与球必距离为1的平面去截面面积为兀，则球的体积为A.32n3B弓C.8“2兀D.叵3例19.（2012新课标文科）平面a截球O的球面所得圆的半径为1，球心0到平面a的距离为弋'2，则此球的体积为A.\：6nB.4叮3兀C.4J6兀D.6^3兀【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。
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