高中数学人教A版必修五 第二章 数列 学业分层测评10 Word版含答案

PAGEwww.ks5u.com学业分层测评（十）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝(　　)A．7B．15C．20D．25【解析】　S5＝eq\f(5×a1＋a5,2)＝eq\f(5×a2＋a4,2)＝eq\f(5×6,2)＝15.【答案】　B2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(a5,a3)＝eq\f(5,9)，则eq\f(S9,S5)等于(　　)A．1B．－1C．2D．eq\f(1,2)【解析】　eq\f(S9,S5)＝eq\f(\f(9,2)a1＋a9,\f(5,2)a1＋a5)＝eq\f(9×2a5,5×2a3)＝eq\f(9a5,5a3)＝eq\f(9,5)×eq\f(5,9)＝1.【答案】　A3．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n等于(　　)A．9B．10C．11D．12【解析】　∵a3＋a5＝2a4＝14，∴a4＝7.d＝eq\f(a4－a1,3)＝2，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)·d＝n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2＝100，∴n＝10.【答案】　B4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)A.eq\f(17,2)B.eq\f(19,2)C．10D．12【解析】　∵公差为1，∴S8＝8a1＋eq\f(8×8－1,2)×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝eq\f(1,2)，∴a10＝a1＋9d＝eq\f(1,2)＋9＝eq\f(19,2).故选B.【答案】　B5．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　)A．15B．12C．－12D．－15【解析】　a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.【答案】　A二、填空题6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝.【解析】　a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋eq\f(1,2)×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝eq\f(1,2).【答案】　eq\f(1,2)7．{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则S10＝.【解析】　设公差为d，则由已知得S7＝eq\f(7a1＋a7,2)，即21＝eq\f(7a1＋5,2)，解得a1＝1，所以a7＝a1＋6d，所以d＝eq\f(2,3).所以S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝10＋eq\f(10×9,2)×eq\f(2,3)＝40.【答案】　408．若数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)))的前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(19,20)，则n＝.【导学号：05920068】【解析】　Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn＋1)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).由已知得eq\f(n,n＋1)＝eq\f(19,20)，解得n＝19.【答案】　19三、解答题9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.【解】　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10＝a1＋9d＝30，,a20＝a1＋19d＝50，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋eq\f(nn－1,2)×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.10．在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图2­3­2所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则：图2­3­2(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？【解】　(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为：a9＝a1＋(9－1)·d＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈石板总数为：S9＝9a1＋eq\f(9×9－1,2)d＝9×9＋eq\f(9×8,2)×9＝405(块)．答：第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板．[能力提升]1．如图2­3­3所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　)图2­3­3A.eq\f(3n2,2)B.eq\f(nn＋1,2)C.eq\f(3nn－1,2)D．eq\f(nn－1,2)【解析】　由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝eq\f(n－13＋3n－3,2)＝eq\f(3nn－1,2).【答案】　C2．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a(　)＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为(　　)A．15B．24C．18D．28【解析】　设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，∴6a1＋(n＋12)d＝24.又S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，所以a1＋5d为定值．所以eq\f(n＋12,6)＝5，n＝18.【答案】　C3．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于．【解析】　由a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为eq\f(1,2)的等差数列，故S9＝9a1＋eq\f(9×9－1,2)×eq\f(1,2)＝9＋18＝27.【答案】　274．(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，aeq\o\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和．【解】　(1)由aeq\o\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3，①可知aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②②－①，得aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由an>0，得an＋1－an＝2.又aeq\o\al(2,1)＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2n＋12n＋3)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3))).设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))＝eq\f(n,32n＋3).