2021届人教A版（文科数学）“杨辉三角”与二项式系单元测试

PAGE2021届人教A版（文科数学）“杨辉三角”与二项式系单元测试一、选择题1．在(a＋b)10的展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　)A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项解析：∵Ceq\o\al(2,10)＝Ceq\o\al(8,10)，∴第3项与第9项的二项式系数相等． 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：C2．(2019·武钢三中高三月考)在(1－3x)n的展开式中，偶数项的二项式系数的和为128，则展开式中的中间项为(　　)A．5670B．－5670x4C．5670x4D．1670x4解析：偶数项的二项式系数的和为2n－1＝128＝27，即n＝8，故展开式中的中间项为T5＝Ceq\o\al(4,8)(－3x)4＝5670x4，故选C.答案：C3．若Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝729，则Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)的值等于(　　)A．64B．32C．63D．31解析：由Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝(1＋2)n＝3n＝729，得n＝6，∴Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(5,6)＝eq\f(26,2)＝32.答案：B4．若(x＋3y)n展开式的系数之和等于(a＋7b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　)A．5B．8C．10D．15解析：令x＝y＝1，由题意得4n＝210，∴n＝5.答案：A5．(2019·辽宁省实验中学高三月考)若多项式x＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a0＋a2＋…＋a8的值等于(　　)A．509B．510C．511D．1022解析：令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，令x＝－2，得a0－a1＋a2－…＋a10＝1022，两式相加，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1022，即a0＋a2＋…＋a10＝511.易知a10＝1，所以a0＋a2＋…＋a8＝510.答案：B6．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3,\r(x))))n展开式中各项系数之和为625，则展开式中含x项的系数为(　　)A．216B．224C．240D．250解析：由题可知(2＋3)n＝625，∴n＝4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3,\r(x))))4的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)(2x)4－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,4)24－r3rx4－r－eq\f(r,2)，∴4－r－eq\f(r,2)＝1，∴r＝2，∴T3＝Ceq\o\al(2,4)2232＝216，故选A.答案：A二、填空题7．(2019·南昌二模)已知(x2－2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a3＋a4＝________.解析：由题知a3和a4就是展开式中x3和x4的系数，因为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(x2)6－r·(－2)r＝(－2)rCeq\o\al(r,6)x12－2r，令12－2r＝3，得r＝eq\f(9,2)(舍去)，所以a3＝0，令12－2r＝4，得r＝4，所以a4＝(－2)4Ceq\o\al(4,6)＝240，所以a3＋a4＝240.答案：2408．(2019·济南一中高三月考)若(1－3x)2019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019x2019，则eq\f(a1,3)＋eq\f(a2,32)＋…＋eq\f(a2019,32019)的值为________．解析：由题意，知(1－3x)2019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019x2019，令x＝0，可得a0＝1.令x＝eq\f(1,3)，可得a0＋eq\f(a1,3)＋eq\f(a2,32)＋…＋eq\f(a2019,32019)＝0，所以eq\f(a1,3)＋eq\f(a2,32)＋…＋eq\f(a2019,32019)＝－1.答案：－19．如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为eq\f(1,n)(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：eq\f(1,1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)，…，则第n(n≥3)行第3个数字是____________________．解析：杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼兹三角形．∵杨辉三角形中第n(n≥3)行第3个数字是Ceq\o\al(2,n－1)，则“莱布尼兹调和三角形”第n(n≥3)行第3个数字是eq\f(1,nC\o\al(2,n－1))＝eq\f(2,nn－1n－2).答案：eq\f(2,nn－1n－2)(n∈N*，n≥3)三、解答题10．已知(3x－1)7＝a0x7＋a1x6＋a2x5＋a3x4＋a4x3＋a5x2＋a6x＋a7.(1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7的值；(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|的值；(3)求a1＋a3＋a5＋a7的值．解：(1)令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(3×1－1)7＝27＝128.(2)易得a1，a3，a5，a7为负值，|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－(－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7)＝－[3×(－1)－1]7＝47.(3)令f(x)＝(3x－1)7，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7，f(－1)＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7，∴2(a1＋a3＋a5＋a7)＝f(1)＋f(－1)＝27－47，∴a1＋a3＋a5＋a7＝26－213＝－8128.11．已知a＝－2eq\i\in(0,π,)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))dx，求二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(a,x)))5的展开式中x的系数及展开式中各项系数之和．解：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4π,3)－cos\f(π,3)))＝－2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(a,x)))5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))5.设展开式中含x的项是第r＋1项，则Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2,x)))r＝Ceq\o\al(r,5)(－2)r(x)10－3r，令10－3r＝1，则r＝3，∴展开式中x的系数是：Ceq\o\al(3,5)(－2)3＝－80，令ƒ(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))5，∴二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(a,x)))5的展开式中各项系数之和是ƒ(1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12－\f(2,1)))5＝－1.12．已知(eq\r(3,x)＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992.求在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．解：由题意知22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5.(1)由二项式系数的性质知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))10的展开式中第6项的二项式系数最大，即Ceq\o\al(5,10)＝252.∴二项式系数最大的项为T6＝Ceq\o\al(5,10)(2x)5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－8064.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(2x)10－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,10)·210－r·x10－2r，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,10)·210－r≥C\o\al(r－1,10)·210－r＋1，,C\o\al(r,10)·210－r≥C\o\al(r＋1,10)·210－r－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,10)≥2C\o\al(r－1,10)，,2C\o\al(r,10)≥C\o\al(r＋1,10)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11－r≥2r，,2r＋1≥10－r，))解得eq\f(8,3)≤r≤eq\f(11,3)，∵r∈Z，∴r＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－Ceq\o\al(3,10)·27·x4＝－15360x4.13．(2019·福建省高三质量检查测试)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))n展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是________．解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))n展开式的二项式系数之和为2n，∴2n＝64，∴n＝6，∴二项展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2x2)6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)26－r(－1)rx12－3r，令12－3r＝0，得r＝4，∴展开式中的常数项为T5＝Ceq\o\al(4,6)26－4·(－1)4＝60.答案：60