N阶行列式的几种常见的计算方法

第 24卷第 2期 2008年 4月 山西大同大学学报(自然科学版) Journal of Shanxi Datong University(Natural Science) V01．24．No．2 Apr．2008 Ⅳ阶行列式的几种常见的计算方法 王丽霞 (山西大同大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 与计算机科学学院，山西大同037009) 一 一 ， 摘 要：该文通过具体实例给出了n阶行列式的几种常见的计算方法，仅供读者参考． 关键词 ：行列式 三 角形行列式 降阶 法 递推 法 范德 蒙行列式 中图分类号：0151．21 文献标识码：A 文章编号：1674—0874(2008)02—0011～04 行列式的产生和最早的应用都是出现在解线 性方程组中，不过它现在的应用范围已较为广泛， 成为许多学科相当重要的工具．所以，对于许多人来 说，掌握行列式的计算是十分必要的．为此，笔者在 查阅部分参考资料的基础上 ，结合 自己的教学实 践 ，对行列式的计算方法进行了初步探讨，总结出 以下几种常用方法． 1 定义法 利用 n阶行列式的定义计算其值． 例 1．计算 n阶行列式 D = O 1 O O ： ： ● ● 0 0 n 0 O O ： ● 一 1 O 解：据行列式的定义，行列式展开后每项都是 n 个元素相乘，且这 n个元素是 D 中位于不同行与不 同列的，故D 中只有一个非零项 12⋯(n一1)n---n!这 一 项行标为自然数顺序排列，对应的列标构成的排 列为23⋯n1，其逆序数为n一1，故D (一1)，卜 n 1 2 化为三角形的方法 运用行列式的性质把行列式变换成位于主对 角线一侧的所有元素全等于零，这样得到的行列式 等于主对角线上元素的乘积，对于次对角线的情 i = ) 形，行列式的值等于(一1) 与次对角线上所有元 素的乘积． 例 2．计算 n阶行列式 On= 0 b b 0 b b ： ： ● - b b ⋯ b · · · b · · · b ： ： ● - ⋯ 0 解：这个行列式的特点是每一行有一个元素。， 其余n一1个元素是 b，根据行列式的性质，把第二列 JJtJ~J第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列， 行列式不变，⋯，直到第 n列也JJtJ~J第一列，即得 D ： 口 b b 0 b b ： ： ● ● b b · · · b · · - b · · · b ： ： ● ● ⋯ 0 b b 0 b b 0 ： ： - ● b b · - · b · · - b · · - b ： ： ● ● ⋯ 0 第二行到第n行都分别加上第一行的(一1)倍， 收稿 日期：2008一叭一08 作者简介：王丽霞(1979一)，女，山西阳高人，助教，在读硕士，研究方向：高等代数 维普资讯 http://www.cqvip.com 山西大同大学学报(自然科学版) 2008笠 就有 1 b b 0 n—b 0 0 0 n—b 0 0 0 b 0 0 ： ● n—b 依此类推来计算行列式的值 例 4．计算 凡阶行列式 ： Dn： [n+(凡一1)6](n一6) ． 3 降阶法 运用行列式按行(列)展开的相关定理使高阶 行列式转化为低阶行列式来计算其值． 例 3．计算 凡阶行列式 D ： Y 0 ● ● ： ： 0 0 Y 0 0 0 0 0 ： ： ● ● Y 0 解 ：据行列式按行展开定理，将 D 按第一行展 开，则 D n ： 一 Y ⋯ 0 ⋯ 0 ● ● ： ： ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ● ● ： ： ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ● ● ： ： ⋯ ⋯ 0 将后面的行列式按第一列展开，则 ， D ： 一y~(-1)× 0 ⋯ Y ’。’ ： ： ● ● 0 ⋯ n ⋯ 4 递推法 0 0 0 0 ： ： ● ● Y 0 Y 1 0 0 0妇 +8 0 0 0 0 +8 1 0 0 ● ： 0妇 1． 解：将D 按第一行展开后再将第二个行列式按 第一列展开得 D ：( )D 一 D，卜z． 即 D 一 D 1=归rD 1一 D，卜2)． 此式对一切 凡都成立，故递推得 D 一0lD 1：卢 (D~_2-ctD 3)： 卢 fD 一o3)~-4)：⋯ ： fD2一 1)： 卢n-2[( + 一0 一 ( +卢)]= (1) 在上式中， ， 的地位等同，故同理可得 D D l= ． (2) (2)× 一(1) ，得 — D =O／ — ． 故 ． 5 加边法(升阶法) 在运算中可以通过增加一行一列，使行列式在 原来的基础上增加一阶，同时保证行列式的值不 变，从而使行列式的计算变得容易 一 ● ． 例 5．计算 凡阶行列式 D ： 解 ：加边，使得 D ： 1 1 0 1+al 0 1 0 1 0 1 1 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ 1 1+ 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ 1+n 设法找出凡阶行列式D 与低阶行列式的关系 将第一行的(一1)倍分别加到其它各行，得 0 0 ； y 0 0 y 1 1 1 ； 1 } ； 1 1 0 } 1 ； 1 1 维普资讯 http://www.cqvip.com 2008焦 王丽霞：Ⅳ阶行列式的几种常见的计算方法 ·13· D = (爪型行列式) 从第--yO开始，将各列的 l／o~(i=l，2，⋯，n)倍加 到第一列得 D 1+ + +⋯ +1 1 1 1 ⋯ 1 1 0 0 ： ● 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 仉 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ ala／2⋯a~(1+l／al+1／oa+⋯ +1／( = ⋯锄(1+∑1／ai)． = 1 6 范德蒙行列式计算法 利用范德蒙行列式的结果计算 n阶行列式． 例6．计算n阶行列式 D = 解：加边得 D = l+xl l+x 2 1+X1 2 l+x2 l+x 1+x 1+X1 1+x2 ● ： n 1 0 0 ⋯ 0 1 1+x1 l+x1 ⋯ 1 l+x + ⋯ l+xl n 2 2 1 1+x 1+x ⋯ 1+x 将第一列的(一1)倍加到其它各列得 D = 1 ⋯ 将此行列式拆分为两项得 D = 2x1 2⋯ n 2 0 0 ⋯ 0 2 1 2 X2 1 ⋯ 2 1 2 X2 1 ⋯ n一1 1 n一】 2 ： ● n一1 n 1 0 0 ⋯ 0 1 l-1 1 2—1 ● ● ： ： 1 一1 1 l-1) 2 2—1) - 1) 2x。 ×n -4)一 1 1