在重力场中考察真实气体的内能
缪波
1重庆大学机械工程学院(4000044)
email:zbl1905@126.com
摘 要：真实气体的内能包括动能和势能，假定动能只与温度有关，与体积和密度无关。利用
气体静力平衡得到气体在重力场中密度分布的规律；利用气体对流平衡得到气体相互作用势能
与宏观分布的关系；根据以上关系得出真实气体的内能和外在热力学量压强、温度、密度的关
系。
关键词：真实气体，静力平衡，对流平衡，内能
0. 引言
真实气体的内能主要包括动能和势能，假设气体的动能与气体的密度（或者体积无关），
表
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示为：
RTxEk 2
= （0.1）
真实气体的势能是密度的函数，1mol气体的内能为 ( )ρPP EE = ，一个分子具有的势能
( )ρP
a
P EN
u 1= （0.2）
外力作用下，气体密度不均匀，分子作用力在宏观表现为
r
uf ∂
∂−=1
在外场作用下，气体的内部相互作用影响宏观分布，通过
分析
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气体的宏观分布可以得出气体的
内能。本文主要研究重力场中气体
这里讨论的气体密度 ρ 的单位是摩尔/立方米，后面要用到的一个密度 'ρ ,单位是千克/立
方米。两者之间的关系
ρρ M='
M—气体克分子量。
1． 重力场中气体的静力平衡和对流平衡
真实气体压强是密度的航数： ( )ρPP = ，微分为
ρρ d
PdP ∂
∂= （1.1）
气体在重力场中产生压强变化为：
mgdhNMgdhgdhdP aρρρ −=−=−= ' （1.2）
由静力平衡得到
=∂
∂ ρρ d
P mgdhNaρ− （1.3）
爱因斯坦研究外场中的布朗运动提出了一种对流平衡的理解[1]：
0=+∂
∂−= ρμρ f
h
DJ （1.4）
h
DJ ∂
∂−= ρ 是扩散流， ρμfJ = 是力场漂流。其中
kTD μ= （1.5）
在重力场中的气体的受力为重力和宏观表现出的分子力
1fmgf +−= （1.6）
由（1.4）（1.5）（1.6）得到
mg
h
kTf +∂
∂= ρ
ρ
1 （1.7）
由（1.3）得到：
h
P
N
mg
a ∂
∂
∂
∂−= ρρρ
1
（1.8）
（1.8）代入（1.7）得到
h
P
Nh
kTf
a ∂
∂
∂
∂−∂
∂= ρρρρ
ρ 1
1 （1.9）
积分可以得到气体分子势能在重力场中的分布
∫∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂−∂
∂−=−= dh
h
P
Nh
kTdhfu
a
ρ
ρρρ
ρ 1
1 （1.10）
在 ∞→h 时，气体无限稀薄 0=u ，有
−=−=Δ ∫∞ 01
h
dhfu ( )hu ＝ ( )hu−
( ) =hu ∫∞
h
dhf1 （1.11）
可以将 dh
h
d ∂
∂= ρρ 代入（1.10），“ ∞→h ”对应“ 0=ρ ”，“ hh = ”对应“ ρρ = ”。考虑
气体的量为 1MOL,（1.11）变为
( ) ∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −∂
∂=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−=
ρ
ρ
ρρρρρρρρρ 0
0 11 dRTPdPRTEP （1.12）
气体的内能为：
( )ρPERTxE += 2 （1.13）
对（1.13）对密度微分得到
ρρρρ
RTPE −∂
∂=∂
∂ 1
（1.14）
考虑气体的量为 1MOL,
V
1=ρ ， VV ∂−=∂ −2ρ 代入（1.14），得到
V
RT
V
PV
V
E +∂
∂=∂
∂
（1.15）
2.结束语
本文和现有热力学第 2 定律不同，热力学第 2 定律是根据经验唯象引入熵的概念，包含一
个热力学运算：
∫∫ == 0TdQdS （2.1）
所有热力学第 2 定律的运算都是建立在这个基础之上的。
本文是通过两个经验归纳提升得到的结论，但是两种方法的优劣只有通过试验判别。定压
比热和定容比热之差为.
T
VP
V
ECC VP ∂
∂⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∂
∂=− （2.2）
代入（1.15）得到：
T
V
V
RT
V
PVPCC VP ∂
∂⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∂
∂+=− （2.3）
（2.3）可以作为检验的依据
参考文献
[1] 欧阳容百，非平衡态统计物理学， 南京大学出版社， 1998
[2] 缪波，真实气体在重力场中做功与过程有关， 中国科技论文在线(http://www.paper.edu.cn)， 2006.10
0=+∂
∂−= ρμρ f
h
DJ （1.4）
kTD μ= （1.5）
1fmgf +−= （1.6）
r
uf ∂
∂−=1
由（1.4），（1.5），（1.6）得到
kTumgheA /)(* +−=ρ （3.1）
这和统计力学的核心原理是一致的，这样好理解一些了，而（3.1）有 mgh，而在静力平衡（这
个应该好理解）中也有 mgh，通过代换可以消去。
=∂
∂ ρρ d
P mgdhNaρ− （1.3）
11.pdf
注解.pdf
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