高中数学第二章-函数
考试内容：
数学探索©版权所有www.delve.cn映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
数学探索©版权所有www.delve.cn反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
数学探索©版权所有www.delve.cn指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
数学探索©版权所有www.delve.cn对数．对数的运算性质．对数函数．
数学探索©版权所有www.delve.cn函数的应用．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质．
数学探索©版权所有www.delve.cn（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
数学探索©版权所有www.delve.cn（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构：
二、知识回顾：
（1） 映射与函数
1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数
的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=
(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=
(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=
(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=
(y) (y
C)叫做函数
的反函数，记作
,习惯上改写成
（二）函数的性质
⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1
f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
7. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数：
设（
）为偶函数上一点，则（
）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于
轴对称，例如：
在
上不是偶函数.
②满足
，或
，若
时，
.
⑵奇函数：
设（
）为奇函数上一点，则（
）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：
在
上不是奇函数.
②满足
，或
，若
时，
.
8. 对称变换：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如：已知函数f（x）= 1+
的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是 .
解：
的值域是
的定义域
，
的值域
，故
，而A
，故
.
11. 常用变换：
①
.
证：
②
证：
12. ⑴熟悉常用函数图象：
例：
→
关于
轴对称.
→
→
EMBED Flash.Movie
→
关于
轴对称.
⑵熟悉分式图象：
例：
EMBED Equation.3 定义域
，
值域
→值域
EMBED Equation.3 前的系数之比.
（三）指数函数与对数函数
指数函数
的图象和性质
a>1
00时，y>1;x<0时，00时，01.
（5）在 R上是增函数
（5）在R上是减函数
对数函数y=logax的图象和性质:
对数运算：
（以上
）
注⑴：当
时，
.
⑵：当
时，取“+”，当
是偶数时且
时，
，而
，故取“—”.
例如：
中x＞0而
中x∈R）.
⑵
EMBED Equation.3 （
）与
互为反函数.
当
时，
的
值越大，越靠近
轴；当
时，则相反.
a>1
00
时
时
（5）在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算：
（以上
）
注⑴：当
时，
.
⑵：当
时，取“+”，当
是偶数时且
时，
，而
，故取“—”.
例如：
中x＞0而
中x∈R）.
⑵
EMBED Equation.3 （
）与
互为反函数.
当
时，
的
值越大，越靠近
轴；当
时，则相反.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x
,x
是所研究区间内任两个自变量，且x
＜x
；②判定f(x
)与f(x
)的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
� EMBED Flash.Movie ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
高中数学高考总复习 高三数学总复习二—函数 — 1 —
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