第 6粥 高中I 学基与学
向量——求空间距离的有力工具
俞汉林
(江苏省海门市锡类中学，226100)
向量除了用来求解有关角度(包括垂直)
问题，还可以用来求各种距离，包括两点间的
距离，点到直线的距离，点到平面的距离，异
面直线之间的距离，等等．具体途径如下：
(1)欲求两点E、F之间的距离，改为求向
量E 的模 ；
(2)欲求点E到直线AB的距离，在AB上
取一点 F，令 = 商 ，由 上 或求
I萄 I的最小值，求得参数 值，以确定 F的
位置，则商 的模 l蕾 f即为点E到直线AB
的距离．
(3)欲求点 E到平面ABC的距离，可设 Jl
为平面ABC的法向量，F为平面上任一点，则
． ．：
E到平NABC的距离d：L
．
I 乃 I
(4)求异面直线 AB，cD之间的距离 ，可
在 AB，CD上各取一点E、F，转化为(2)的情
形来解决 ．
例 l 已知正方体
AB(3)一AlBlClDl的
棱长为 l，点 M 是 AD1
的中点 ， 是 BD上 的
1
一 点，DN = 1 DB，求
M、N两点间的距离． 图1
解 。．。AAD1B1为正三角形 ，
．
。
． AD1B1= 60。，
．
。
．AD 与 DB所成的角为 60。．
易求得AM = ，AD=1，DN=迮
4
·
．
。 = + +菌 ．
．
·
． I—lVlN I 2：(商 + +-D~)2
： I t2+I I2+ +2 ．
+2 ． +2商 ．
= 吉+1+ 1+2×譬×c0s l35。
+2×等×0。6 135"
+2× ×
f 2×,x~s 60~
一 三
～
8
．
·
．
}一MN I=
．
此题也可以 D为原点， ，一DC，面 所
在直线分别为 轴、Y轴、：轴建立空间直角坐
标 ，得到更简洁的解法．
例 2 已知正方体 A／~'D ～AlBlClDl
的棱长为 1，点 E是ADl的中点，求点 E到直
线 BD 的距 离 ．
解 建立空间直
角坐标系 D —xyz如图
2所示，设 EF上 BD，F
为垂足．由于 F的位置
没 有 确 定 。设 D —
D—B
， 则 F点坐标为
( 。 。0)．
图2
·
．
。魂=( 1，0， ，
．
-
．
一EF=(z，枷)一( 1，0，吉) ．‘． =(z， ，0)一I— ，，—=}J
= ( ～吉 一吉)．
-
．
‘ 商 上商 ，且亩 =(1，】，0)，
．
·
． 莳 ．商 =0．
即 (z— 1)+ =0， ={．
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高中般学教与学
一EF=(一百1， 1，一 )．
I—EF I：
4 ．
例3 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB
： 2，AD=1，AA1=3，E，F分别是棱B1B，
DC的中点，求点 E到平NA1FD1的距离．
解 如 图 3建立
坐标系，则 D(O，0，0)，
A(1，0，0)，C(O，2，0)，
A1(1，0，3)，D1(0，0，3)，
V(O’1’0)_E(1’2’号)．
D1A1= (1，0，0)，
图 3
DlF：(0，1，一3)，ED1=【一1，一2，—手J．
设 H= (z，Y，z)为平面 A1D1F的法向
量，由 H上 ，H上面 可知A1D1F的一
个法向量 H = (0，3，1)．
．
’
． 点 E到平面A1D1F的距离d为向量
E 沿 Hl方向射影的绝对值，即
， I ED1·nl I
— I 。1 I 一
例4 已知正方体
ABCD —A1B1C1D1的
棱长 为 1，试求 面对 角
线 AD 与 BD 的距离．
解法 1 设 PQ 为
9 _0
20
AD1，BD 的公 垂线 段， 图4
P在ADl上，Q在DB上(如图4)，令 =
窳A，一DQ：yD—B，一DA：口，一DC：6， DD： D1 ， = ， ：口， =6， 1=
2003 年
c，贝0 =口+6，D1A ：口一c，而
．
·
． 商 ：商 + D + ．’． ：PD1+ 1D+DQ
= 一 姐 + jDc — c + +
= (Y—x)a+ +(z一1)c．
— — — ● ——— —————+
’
．’DB上 尸Q，D1A jI PQ，
．
·
．
一
DB． =(口+6)．[( —z)口
+ +( 一1)c]
= 2y—z：0， ①
． = (口一c)．[( —z)口 D1A·PQ =(口一c)·l( —z)口
+ +(z一1)c]
： Y一2z+1=0． ②
由①，②解得 =了1
，
z=了2
．
．
·
．
= f一了1口+号6一号c 譬．
解法2 以D为原点， ：口， ：6，
DD1=c为坐标向量建立空间直角坐标系D
一
，PQ为AD1，1317的公垂线段，仿解 1，可
得 =( — ， ，z一1)．
·
．
‘ 上 平面 AB1D1，
又易证百 _lI平面AB1D1，
．
·
． ∥ ．
而 =(一1，1，一1)，
． 二 一 上 一 ：兰 =
‘ ‘
一 1 — 1 一 一 1 ’
解得 Y=了1
，
z ： 号．
= (一{，号，一号)．
，．； ， 43 i PQ j
：
．
· l6 ·
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