处理解析几何中定值问题的几种策略

处理解析几何中定值问题的几种策略 安徽省太湖中学 　李昭平 　(邮编 :246400) 　　摘要 　对于解析几何中的圆锥曲线有关的定值问题 ,可利用定义或焦半径公式、直线和圆锥曲线方 程的多种 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示形式、巧用向量知识以及运用其它有关知识等策略 ,确定其相关的定值。 　　解析几何中的定值问题 ,一般是在一些动态事物 (如动点、动直线、动弦、动角、动圆、动三角形、动轨迹 等) 中 ,寻求某一个不变量 ———定值 ,它是高考中一种 常见的题型。由于这种问题往往涉及的知识点多、覆 盖面广、综合性较强 ,因此不少学生常常因缺乏解题策 略 ,而导致解答过程繁难、运算量大 ,甚至半途而废。 本文将结合自己多年的教学实践 ,谈谈解这类问题的 几种策略 ,供大家参考。 1 　运用定义或焦半径公式 解几中某些定值问题常常与圆锥曲线上的点到焦 点的距离有关 ,这时若能灵活运用圆锥曲线的定义或 相应的焦半径公式 ,往往会出奇制胜。 例 1 　设点 P 是双曲线 x 2 a 2 - y2 b2 = 1 上除顶点外的 任意一点 , F1 、F2 分别为左右焦点 , c 为半焦距 , △PF1 F2 的内切圆与边 F1 F2 切于点 M 。求证 : | F1 M | ·| F2 M | 为定值。(1998 年杭州高考模拟题) 图 1 略证 　如图 1 ,设 P 是双曲线上任意一点 (顶点除外 ) , 由双曲线 的定义得 , | PF1 | - | PF2 | = ±2 a ,即| PF| + | FF1 | - | PE| - | EF2 | = ±2 a , 因为| PF| = | PE| , | FF1 | = | F1 M | , | EF2 | = | F2 M | , 所以| F1 M | - | F2 M | = ±2 a。 又| F1 M | + | F2 M | = 2 c , 故 　当点 P 在双曲线左支上时 , | F1 M | = c - a , | F2 M | = c + a ; 当点 P 在双曲线右支上时 , | F1 M | = c + a , | F2 M | = c - a , 无论哪一种情况 ,均有 | F1 M | ·| F2 M | = c2 - a2 = b2 (定值) 。 例 2 　设 A ( x1 , y1) 是椭圆 x2 + 2 y2 = 2 上任意一 点 ,过 A 作一条斜率为 - x12 y1的直线 l 。又设 d 为原 点到 l 的距离 , r1 、r2 分别为 A 到两点焦点的距离。 求证 　 r1·r2·d 为定值。(1990 年上海高考题) 略证 　由题意得 l 的方程为 y - y1 = - x1 2 y1 ( x - x1) , 即 x1 x + 2 y1 y = 2 　(因 x21 + 2 y21 = 2) , 故 d = 2 x 2 1 + 4 y21 = 2 4 - x21 。 由椭圆的焦半径公式可得 r1·r2 = ( a + ex1) ( a - ex1) = 2 - 12 x 2 1 = 4 - x21 2 , 于是 r1·r2·d = 2 (定值) 。 2 　活用方程的形式 直线与圆锥曲线的方程有多种形式 ,解定值问题 时 ,根据解题的目标 ,恰当选用方程的形式 ,可以简化 解题过程。例如 ,处理直线上的动点与直线上定点的 距离问题时 ,选用直线的参数方程比较简便 ,因为它的 参数具有特定的几何意义 ;处理圆锥曲线上动点与定 点 (焦点、顶点、中心等) 问题时 ,选用圆锥曲线的参数 方程可简化运算。 例 3 　已知过抛物线 y2 = - 2 px ( p > 0) 的焦点 F 的任一直线与抛物线交于 M 、N 两点。求证 : 1| FM | + 1 | FN | 为定值。(1996 年合肥市高考模拟题) 略证 　设经过定点 ( - p2 , 0) 的直线 M N 的参数 方程为 x = - p 2 + tcosθ, y = tsinθ ( t 为参数) ,代入 y2 = - 2 px 中 ,得到 sin2θ·t2 + 2 pcosθ·t - p2 = 0 ,由题意 知 ,sin2θ≠0 , 所以 t1 + t2 = - 2 pcosθ sin2θ , 　t1·t2 = - p2 sin2θ,显然 t1 、t2 异号。由 t1 、t2 的几何意义可知 , | FM | ·| FN | = - t1·t2 = p 2 sin2θ, | FM | + | FN | = | t1 - t2 | = ( t1 + t2) 2 - 4 t1 t2 = ( - 2 pcosθ sin2θ ) 2 + 4 p2 sin2θ= 2 p sin2θ,故 62　　　　　　　　　　 　　　　　　　中学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 教学 　　　　　　　　　　　2003 年第 6 期 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 1 | FM | + 1 | FN | = | FM | + | FN | | FM | ·| FN | = 2 p (定值) 。 例 4 　已知 M 、N 是椭圆 x 2 a 2 + y2 b2 = 1 ( a > b > 0) 上关于原点对称的两点 ,点 P 是椭圆上任意一点 ,若 直线 PM 、PN 的斜率都存在 ,那么 kPM ·kPN是否是与 点 P 的位置无关的定值 ,并加以证明。(2003 年上海 市春招 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ) 略证 　如右图 2 , 因为椭圆的参数方程为 图 2 x = acosθ y = bsinθ (θ为参数 ) , 因 此可设动点 P 的坐标为 ( acosα, bsinα) , M 点的坐 标为 ( acosβ, bsinβ) , 则 N 点的坐标为 ( - acosβ, - bsinβ) , 且 PM 与 PN 的 斜率均存在 ,于是 , kPM = bsinα- bsinβ acosα- acosβ, 　kPN = bsinα+ bsinβ acosα+ acosβ, ∴　kPM·kPN = bsinα- bsinβ acosα- acosβ· bsinα+ bsinβ acosα+ acosβ = b2 (sin2α- sin2β) a 2 (cos2α- cos2β) = b2 (sin2α- sin2β) a 2 (sin2β- sin2α) = - b2 a 2 (定值) 。 3 　巧用向量知识 平面向量是第一次进入中学数学 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 ,它是一个 很好的工具 ,应用非常广泛。由于平面向量在直角坐 标系下可以用坐标表示 ,这就为用向量法处理平面解 析几何问题提供了可能性。对于某些定值问题若能巧 用向量知识 ,往往能起到事半功倍之效。 例 5 　A ( x1 , y1) 、B ( x2 , y2) 是抛物线 x2 = 2 py ( p > 0) 上的两点 ,且 OA ⊥OB ( O 为原点) ,求证 : x1·x2 为定值 , y1·y2 也为定值。(2000 年安徽省安庆市高考 模拟题) 图 3 略证 　如图 3 ,因为 x 2 1 = 2 py1 , x22 = 2 py2 ,所以 y1 = x 2 1 2 p , y2 = x 2 2 2 p , OA = ( x1 , y1) = ( x1 , x 2 1 2 p) , OB = ( x2 , y2) = ( x2 , x 2 2 2 p) , ∵OA ⊥OB , ∴OA·OB = 0 , 即 x1 x2 + 14 p2 ( x1 x2) 2 = 0 ,而 x1 x2 ≠0 , ∴x1·x2 = - 4 p2 (定值) 。 进而 y1·y2 = 14 p2 ( x1 x2) 2 = 4 p2 (定值) 。 例 6 　如图 4 ,设 P 为双曲线 x 2 a 2 - y2 b2 = 1 上任意 一点 ,过点 P 分别作两条渐近线的平行线交两渐近线 图 4 于 A、B 两点 ,求证 :平行 四边形 OA PB 的面积为 定值。( 1992 年广东高 考题) 略证 　双曲线的两 条渐近线方程分别是 : y = b a x 和 y = - b a x , 设 A ( x1 , b a x1 ) , 　 B ( x2 , - b a x2) , 　P( x , y) , ∵OA = B P , ∴( x1 , b a x1) = ( x - x2 , y + b a x2) , ∴x1 = x - x2 , 　 b a x1 = y + b a x2 , ∴x = x1 + x2 , 　y = b a ( x1 - x2) ,代入双曲线方程 得 　( x1 + x2) 2 a 2 - 1 b2 [ b a ( x1 - x2) ]2 = 1 , 化简得 , x1 x2 = a 2 4 。 由向量知识可知 ,以 OA 、OB 为邻近的平行四边 形 OA PB 的面积为 : | x1 ( - b a x2) - b a x1 x2 | = 2 b a ·| x1 x2 | = 2 b a ·a 2 4 = 1 2 ab(定值) 。 4 　设而不求 对于有关圆锥曲线的弦的定值问题 ,常常可以尝 试设弦的端点坐标 ,代入圆锥曲线方程 ,再利用作差 法、斜率关系、中点坐标公式、韦达定理等等 ,设而不 求 ,往往能快速获解。 例 7 　若椭圆 m x2 + ny2 = 1 ( m > 0 , n > 0) 与直线 y = 1 - x 交于 A 、B 两点 ,过原点与线段 AB 中点的连 线的斜率为 22 。求证 : n m 为定值。(2002 年南京市高 考模拟题) 略证 　设弦 AB 的端点坐标为 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2) ,则 m x21 + ny21 = 1 ,且 m x22 + ny22 = 1 ,两式相减得 , m ( x1 + x2) ( x1 - x2) + n ( y1 + y2) ( y1 - y2 ) = 0 ,因为 kAB = - 1 ,故 y1 - y2 x1 - x2 = - 1 ] y1 - y2 = - ( x1 - x2 ) ,又 因为 ( y1 + y2) / 2( x1 + x2) / 2 = 2 2 ] y1 + y2 = 22 ( x1 + x2) ,所以 m ( x1 + x2) ( x1 - x2) - n·22 ( x1 + x2) ( x1 - x2) = 0 , 因为直线 y = 1 - x 不过原点 ,所以 x1 + x2 ≠0 ,故 ( x1 + x2) ( x1 - x2) ≠0 , m - 22 n = 0 , n m = 2 (定值) 。 722003 年第 6 期 　　　　　　　　　　中学数学教学 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 运用转化构建数模解中考数学新题型 福建三明市宁化县安乐初级中学 　邓忠文 　(邮编 :365409) 　　纵观近几年的中考数学试题 ,重点仍然是考查“双 基”,进而考查学生的创新意识和实践能力。但命题的 形式在不断地推陈出新 ,“提供新材料、创设新情景、提 出新问题”正成为新题型的主要特点。而新题型的解 决给学生带来了不小的困难 ,学生既没有现成的模式 可套用 ,又不能靠知识的简单复现来解决 ,它要求学生 在扎实掌握基本知识、基本技能的基础上学会分析、思 考 ,勇于创新、探索 ,运用转化等数学思想 ,构造数学模 型 ,解决有关中考数学新题型。初中数学所涉及到的 数学模型主要包括有 :方程、不等式、函数、三角、几何 等。本文就从以上几种数学模型在近几年中考数学试 题中的运用 ,谈谈我们是如何运用转化思想 ,构造数学 模型 ,解决新问题的。 1 　构造有关方程 (组) 的数学模型 中考数学命题越来越贴近实际生活 ,关注社会热 点 ,要求学生对一些问题能作出判断、决策、设计运行 方案等 ,考查学生分析问题、解决问题的能力。 例 1 　2002 年世界杯足球赛韩国组委会公布的四 分之一决赛门票价格是 :一等席 300 美元 ,二等席 200 美元 ,三等席 125 美元。某服装公司在促销活动中 ,拟 组织获得特等奖、一等奖的 36 名顾客到韩国观看比 赛 ,除去其它费用后 , 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 买两种门票 ,用完 5025 美 元 ,你能设计出几种购票方案 ,供该服装公司选择 ? 并 说明理由。(2002 年山东中考题) 析解 　依据题意共有 3 种门票只选购 2 种 ,应分 三种情况讨论 ,并转化为“列出方程组 ,求出整数解”的 数学模型 ,从而设计出购票的方式。 第一种情况 :设购一等席票为 x 张 ,二等席票为 y 张 ,可列出方程组 : x + y = 36 , 300 x + 200 y = 5025 , 因方程组无整数解 ,此方案行不通。 第二种情况 :设购一等席票为 x 张 ,三等席票为 y 张 ,得 x + y = 36 , 300 x + 125 y = 5025 , 整数解为 x = 3 , y = 33。 得第一种方案。 第三种情况 :设购二等席票为 x 张 ,三等席票为 y 张 ,得 : x + y = 36 , 200 x + 125 y = 5025 , 整数解为 x = 7 , y = 29。 得第二种方案。 2 　构造不等式数学模型 中考数学命题经常渗透着相关的物理、化学、生物 　　5 　运用三角知识 涉及到以原点为端点的动射线问题 ,往往尝试运 用三角知识求解。 例 8 　已知圆 x2 + y2 = 1 和直线 y = 2 x + m 相交 于 A 、B 两点 ,且 OA 、OB 与 x 轴正向所成的角分别为 α和β。求证 :cos (α+β) 为定值。(2001 年西安市高 考模拟题) 略证 　这里 OA 、OB 是以原点为端点的动射线 , 且 A 、B 在单位圆上 ,于是 ,由三角函数的定义立即可 得 , A (cosα,sinα) , B (cosβ,sinβ) ,则 kAB = sinα- sinβ cosα- cosβ= 2 ,即 2cosα+β2 sin α - β 2 - 2sinα+β2 sin α - β 2 = 2 , ∴tanα+β2 = - 1 2 , cos (α+β) = 1 - tan2 α+β2 1 + tan2 α+β2 = 3 5 (定值) 。 6 　借助平几知识 由于解几问题与平几图形有着密切联系 ,因此对 某些定值问题 ,若能根据图形特征 ,借助于平几知识 (如中位线定理、角平分线定理、垂径定理、勾股定理 等) ,往往能迅速找到解题的突破口。 例 9 　椭圆 x 2 12 + y2 3 = 1 的焦点为 F1 、F2 ,点 P 在 椭圆上 ,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上 ,求证 : | PF1 | :| PF2 | 为定值。(1998 年全国高考题) 图 5 略证 　如图 5 , 设 F1 、 F2 分别为左、右焦点 , M 为 PF1 的中点 , 则立即可知 , OM 是 △PF1 F2 的中位线 , 因此 PF2 ⊥x 轴于点 F2 , F2 (3 ,0) 。 由椭圆的焦半径公式得 | PF1 | ∶| PF2 | = ( a + 3 e) ∶( a - 3 e) = 7 (定值) 。 以上介绍了处理解几定值问题的六种策略 ,解题的 关键在于根据问题的特征选择恰当的策略 ,有时需几种 策略融为一体 ,共同作用。 (收稿日期 　2003 - 09 - 18) 82　　　　　　　　　　 　　　　　　　中学数学教学 　　　　　　　　　　　2003 年第 6 期 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. 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