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湖北黄岗中学高考数学二轮
复习
预应力混凝土预制梁农业生态学考研国际私法笔记专题二标点符号数据的收集与整理
考点解析6:导数与单调性的综合考查
一、小
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(共10题)
1、函数
是减函数的区间为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2. 在函数
的图象上,其切线的倾斜角小于
的点中,坐标为整数的点的个数( )
A.3 B.2
C.1 D.0
3. 对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)
(0,则必有( )
A.f(0)+f(2)(2f(1) B. f(0)+f(2)(2f(1)
C. f(0)+f(2)(2f(1) D. f(0)+f(2)(2f(1)
4.设
,曲线
在点
处切处的倾斜角的取值范围为
,则P到曲线
对称轴距离的取值范围( )
A.
B.
C.
D.
5.与直线
的平行的抛物线
的切线方程是
( )
A.
B.
C.
D.
6.设
分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
,当
时,
且
则不等式
的解集是 ( )
A.
B.
C.
D.
7.函数f(x)=x(x-1)(x-2)·…·(x-100)在
处的导数值为 ( )
A.0 B.
C.200 .100!
8.过点(-1,0)作抛物线
的切线,则其中一条切线为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
小题答案:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
B
B
D
D
D
D
9.设函数
,(
、
、
是两两不等的常数),则
.0
10.解析:曲线
和
在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x-1,它们与
轴所围成的三角形的面积是
.
二.解答题
1.已知抛物线C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.
(Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;
(Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.
解:本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力,满分12分
(Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,x
+2x1)的切线方程是:
y-(x
+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即 y=(2x1+2)x-x
①
函数y=-x2+a的导数y′=-2x, 曲线C2 在点Q(x2,-x
+a)的切线方程是
即y-(-x
+a)=-2x2(x-x2). y=-2x2x+x
+a . ②
如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程,
消去x2得方程 2x
+2x2+1+a=0.
若判别式△=4-4×2(1+a)=0时,即a=-
时解得x1=-
,此时点P与Q重合.
即当a=-
时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为 y=x-
.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知.当a<-
时C1和C2有两条公切线
设一条公切线上切点为:P(x1,y1),
Q(x2 , y2 ).
其中P在C1上,Q在C2上,则有x1+x2=-1,
y1+y2=x
+2x1+(-x
+a)= x
+2x1-(x1+1)2+a=-1+a .
线段PQ的中点为
同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.
2.已知f(x)=x2+ax+b, g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且
,f(5)=30,则求g(4)。
解:
∵f(2x+1)=4g(x) ∴
∴
又 f(5)=30=25+10+b ∴b=-5 d=
∴g(x)=x2+2x
∴g(4)=
3.已知向量
=(1,0),
=(0,1),函数
的图象在
轴上的截距为1,在
=2处切线的方向向量为
,并且函数当
时取得极值。
(1)求
的解析式;(2)求
的单调递增区间;(3)求
的极值。
4.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数
(Ⅰ)求
的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线
轴仅有一个交点.
解:(I)
=3
-2
-1 若
=0,则
==-
,
=1
当
变化时,
,
变化情况如下
表
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:
(-∞,-
)
-
(-
,1)
1
(1,+∞)
+
0
-
0
+
极大值
极小值
∴
的极大值是
,极小值是
(II)函数
,由此可知,取足够大的正数时,有
>0,取足够小的负数时有
<0,所以曲线
=
与
轴至少有一个交点结合
的单调性可知:
当
的极大值
<0,即
时,它的极小值也小于0,因此曲线
=
与
轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上。
当
的极小值
-1>0即
EMBED Equation.DSMT4 (1,+∞)时,它的极大值也大于0,因此曲线
=
与
轴仅有一个交点,它在(-∞,-
)上。∴当
∪(1,+∞)时,曲线
=
与
轴仅有一个交点。
6.(湖南卷)设
,点P(
,0)是函数
的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.;(Ⅰ)用
表示a,b,c;
(Ⅱ)若函数
在(-1,3)上单调递减,求
的取值范围.
解:(I)因为函数
,
的图象都过点(
,0),所以
,
即
.因为
所以
.
又因为
,
在点(
,0)处有相同的切线,所以
而
将
代入上式得
因此
故
,
,
(II)解法一
.
当
时,函数
单调递减.
由
,若
;若
由题意,函数
在(-1,3)上单调递减,则
所以
又当
时,函数
在(-1,3)上单调递减.
所以
的取值范围为
解法二:
因为函数
在(-1,3)上单调递减,且
是(-1,3)
上的抛物线,
所以
即
解得
所以
的取值范围为
7.(安徽卷)设函数
,已知
是奇函数。
(Ⅰ)求
、
的值。(Ⅱ)求
的单调区间与极值。
解析:(Ⅰ)∵
,∴
。
从而
=
是一个奇函数,所以
得
,由奇函数定义得
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,从而
,由此可知,
和
是函数
是单调递增区间;
是函数
是单调递减区间;
在
时,取得极大值,极大值为
,
在
时,取得极小值,极小值为
。
8.(北京卷)已知函数
在点
处取得极大值
,其导函数
的图象经过点
,
,如图所示.求:(Ⅰ)
的值; (Ⅱ)
的值.
解析:解法一: (Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上
,在(1,2)上
,在
上
, 故
在
,
上递增,在(1,2)上递减,因此
在
处取得极大值,所以
.
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设
又
所以
由
,即
得
, 所以
.
9.(湖南卷)已知函数
.
(I)讨论函数
的单调性;
(Ⅱ)若曲线
上两点A、B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围.
解 (Ⅰ)由题设知
.令
.
当(i)a>0时,
若
,则
,所以
在区间
上是增函数;
若
,则
,所以
在区间
上是减函数;
若
,则
,所以
在区间
上是增函数;
(i i)当a<0时,
若
,则
,所以
在区间
上是减函数;
若
,则
,所以
在区间
上是减函数;
若
,则
,所以
在区间
上是增函数;
若
,则
,所以
在区间
上是减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线
上的两点A、B的纵坐标为函数的极值,且函数
在
处分别是取得极值
,
.
因为线段AB与x轴有公共点,所以
.即
.所以
. 故
.
解得 -1≤a<0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1,0)∪[3,4].
10.(全国卷I)设
为实数,函数
在
和
都是增函数,求
的取值范围。
解:f'(x)=3x2-2ax+(a2-1),其判别式△=4a2-12a2+12=12-8a2.
(ⅰ)若△=0,即a=± eq \f(\r(6),2),当x∈(-∞, eq \f(a,3)),或x∈( eq \f(a,3),+∞)时,
f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数.所以a=± eq \f(\r(6),2).
(ⅱ)若△=12-8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数,
所以a2> eq \f(3,2),即a∈(-∞,- eq \f(\r(6),2))∪( eq \f(\r(6),2),+∞)
(ⅲ)若△12-8a2>0,即- eq \f(\r(6),2)
0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥ eq \r(3-2a2) ,解得1≤a< eq \f(\r(6),2)
由x2≤1得 eq \r(3-2a2) ≤3-a,解得- eq \f(\r(6),2)
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