第3朝
圆锥曲线中离心率的求法
张卫如
(江苏省启东中学，226200)
解析几何中求离心率的问题在高考中经
常出现，其解法较灵活．下面介绍一些常用的
方法．
一
、定义法
例1 已知椭圆 !+5y =5，”的离心
率 ： ，求 的值．
解 将椭圆方程化为
标准
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方程．得
芒+v--：1．
J ，7Z
(1)当0< z<5时，
。
．
‘
(22： 5，b2= ，7z，
．
‘
． (，rl一1)(，／-'2—1)+YlY2< 0．
‘
．
’ 音=4xl， j=：4x2，由于直线，恒过定
点(一1，0)，所以 BDC≠ 180 且 l3，2>0，
．
。
． yly2— 4．
．
·
．
+6<：0，解得 k2< 1
．
定一 二
综 一t：可得 ．．、／’-5- ：k< √52-且 k≠ 0
．
评注 在解析 L何中涉及到直线与二次
曲线相交于A、B两点， AMB为锐角、直角、
钝角的问题，町以设出交点的坐标，转化为向
量数量积的坐标形式，结合韦达定理进行求
解，从而回避夹角公式 中斜率是否存在的讨
论，减少运算量．当然仍然要注意 △>0及二
次项系数不等于零．
例3 (1999年高考题)给定定点A(口，0)
和直线 ，： =一1，B是直线 ，上的动点，
BOA的平分线交AB于点C，求点C的轨迹
方程，并讨论方程
表
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示的曲线类型与“值的关
系 ．
解 如图 2，设 C( ，Y)，B(一1，b)，则
： (一1一 ，6)，： ：( 一。， )．
高中盘学教与学
．
‘
． C = 5一 z．
f 、
==_
P 一 = ——— 一 ．
n 0 5
由 = ，可得 =3．
(2)当 z>5时，‘．‘a2=，"，，】 =5，
．
·
． f
2 ：
一 5， ： ： ．
“ ~／
由 = ，可得" 了25；
．
·
．
z=3或 ，”= 25
．
＼
，
曰
o A＼
图 2
‘
．‘A、B、C三点共线，
．
‘
． (一1一日)Y—b( ～＆)=0， ①
‘
．‘OC平分 BOA，
．
‘
． cos／Aft：= cos,／BOC．
．
． 穗 ．
· _『而 ：= ’
得 1 b ， ~／ +
即 LT√1+b ：一LT+b3，． ②
由 ①、② 消去 b，化简得
(1一a) ～2oa-+(1+口) =0(0< LT< 口)
以下略．
评注 在解析几何中涉及到角平分线的
问题，可以利用向量的数量积转化，这为我们
提供了一种新的解题途径，同时也拓展了思
维空间．
· 17 ·
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高中数学教与学
例 2 已知双曲线的渐近线为 =
±丢 ，求双曲线的离心率．
解 (1)当双曲线的焦点在 轴上时，有
一
a 一 4 ’
f ~／a2+b
— —
= √-+(鲁) =专 √l+(詈)=
(2)当双曲线的焦点在 轴上时，可得
=
3
，同理可得e：=寻．
．
·
． 双曲线的离心率为号或丢．
二 、几何法
求与焦点三角：形有关的离心率，可根据
三角形的特征设定一条边，再想办法求出2a，
2c，从而可得离心率．
例3 以椭圆的右焦点 F，为圆心作圆，
使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点 M，若直
线MFl(Fl为左焦点)是圆F2的切线，M是切
点，则椭圆的离心率是( )
(A) 一1 (g)2一,／5
(c) (D)
M
、
P
图 1 图2
解 如图1，由题意得AMFlF2为直角
三角形，设 『ME2 l==1，则 『FlF2『=2，从而
J MFl『=,／3，
! !
ME1 I+I ME2 ： 1=-
2_ ：
+1 一
一 1，故选A．
例4 Fl，F2为椭圆的左、右两个焦点，过
F2的直线交椭圆于P、Q两点，PFl 1L PQ，且
I PFl『=I PQ J，求椭圆的离心率．
解 如图2，设 1 PFl}=1，则
l PQ l=l，『FlQ 1=√2，
。
．’『PFl『+『P,Q l+1 QFl『=4a，
· 1 8 ·
2005 聋
．
。 ： = ·+ ，
2c=√{PFl I +I PF2 I
： 、 ： ，
．
·
．
： ： 一
．
三、方程法
寻求关于a，C的齐次关系式，化归为关于
e的方程，再通过解方程求出离心率．
例5(1996年高考题)设双曲线≤一y．，-
a 6‘
= 1(0
2
， 。。 丁 l+ > ，
．
。
．e =4，故 e=2，故选A．
例6 过双曲线的一个焦点 F作垂直于
实轴的弦MN，A为双曲线的距F较远的顶
点，且 MAN=90。，则双曲线的离心率等于
解
得 『MF
不妨设 F为左焦点，如图3，由已知
AF『，即
a
又 b = C 一a2，即 c
两边同除以a 并整理，得
＆ 十 C．
a =口(a+C)，
e 一e一2=0，P=2或 e=一1(舍去)，
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第3朝
’
． 双曲线的离心率为2
，
， ／／ N
t
图 3
四、数形结合法
与渐近线及其夹角有关的问题，抓住双
曲线中矩形的边角关系来处理问题就简单易
求．
例7 若双曲线 X2
一 b2=1(口>0，6>
0)的两条渐近线的夹角为 ，则离心率为
( )
(A)sec导 (B) 号
(c)se 或 sc． (D) 一 或csc导
僻 如图4，(1．)当a≥b>0时， AOB
= 号，c0s号=詈，从而e：Sec号；
(2)当0
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