2001年第 6期 数 学 教 学 研 究
如何解圆锥曲线的离心率问题
周 华 生
(江 苏省 常 熟 市 中学 215500)
2900年高考压轴题是求飘 曲线 的离 心率问题 ，
这类问题是考查学生 素质和能力 的综 台 问题．它要
求解题者能从较 复杂的变量关 系中抓住 主要矛盾 ，
通过引人适 当的参数 ，找出参数和离心率的关系 ，再
对参数 作估计 ，最后求取 离心率及其范围 为 帮助学
生掌握这种闸 题解法 ，我们 分类介绍 如下一些 方法
和 技 巧
1 选取 曲线上的点为参数
选 取曲线上的点作 为参数 ，可借 助点 的坐标 所
满足的条件 ，解有关的不等式，求取
倒 1 已知椭 圆 C：b2 +a：y ：。 6 (。 >6>
0)，长轴两端点为 A、B．若 c上存在 点P，使 ．4PB=
120。，求椭圆 c的离心率取值 范围
解 由对称 性，不妨设 P( ，Yo) 使 0≤ <
口，0≤ Y
0．6>0，
≠b)的右焦点为 F(c，0)，一条渐近线 j方程为 ：
，j与右准线交于 ^，FA与左 准线交于 B．与双 曲
线左支交于 C，当B点是AC的中点时 ，求双曲线的离
心率 ．
解 由B知 =}， = =譬，点 的
坐标为(譬，譬 =一 e，而 —-詈，FA方
程为 ， ：一詈( — )，．．B点坐标
(一譬， )
口是^c的中点， =一莩
=一-g ( 一c)=告(3 +c )·
c 在双曲线上，· =÷~／瓦 =7，消去
得 25 一 100 c +c =O，
解得 e= =瓶
3 选取定比 ^为参救
如曲线上某些点 与 比值有 关 ，可考 虑进取定 比
，^再运用相应 的比值
公式
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．
倒5 (2000年高考压轴题)如 图，已知梯形
ABCD中 ．I ABI=2I CDI，点 E分有 向线段AC成定
比 ，^双曲线过C．D、E三点，且以 、^ 为焦点，当{
≤^ ≤÷时，求双曲线离心率 的取值范围
解 以 AB为 轴 ，
AB中垂 线 为 轴 ，建立
直角 坐标 系，设 双 曲线
方程为 6 一口 ， =
口 6 ，Y I AB I=
2I CDI，．．可设 C点坐
标为(÷ ，Yo，
＼D
一
A／ {
将 C点坐标代人双曲线方程之中得
一 一 T 一2¨ c^ ^
f『口 —丁 _ _ — ’h ’
将 E点坐标代人双曲线方程 中得
(一2c+ ^) ^(c 一4d )
4d (1+ )^ ’4d (1+^)
j 4c 一 4 ^ ： 40 + 8Aa
^ ：
，
解得号 乒寻 ÷ e
4 选 角参 数 ’
如 e可惜助特殊的角的三角函数表示 ，也可考虑
选取角为参散来 解．
倒6 巳知椭圆等+杀=1(f>0)r ． 为
其焦点 ，村 为椭 圆上一点 ．且 M 与长轴端点 不重台
设 MF =n． MF： =口，若÷ ．an詈 孚
_^
1
，求离心率 e的范围
解 (1)0
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