1994考研数二真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)sin2xe2ax1(1)若f(x)x,x0,在(,)上连续,则a＿＿＿＿＿＿.a,x0xtln(1t),2(2)设函数y所确定,则dy＿＿＿＿＿＿.y(x)由参数方程t3t2ydx2(3)dcos3xf(t)dt＿＿＿＿＿＿.dx0x3ex2dx＿＿＿＿＿＿.(5)微分方程ydx(x24x)dy0的通解为＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ,把所选项前的字母填在题后的括号内.)ln(1x)(axbx2)()(1)设limx22,则x0(A)a1,b5(B)a0,b22(C)a0,b5(D)a1,b22(2)设f(x)2x3,x11处的()3,则f(x)在点xx2,x1(A)左、右导数都存在(B)左导数存在,但右导数不存在(C)左导数不存在,但右导数存在(D)左、右导数都不存在(3)设yf(x)是满足微分方程yyesinx0的解,且f(x0)0,则f(x)在()(A)x0的某个领域内单调增加(B)x0的某个领域内单调减少(C)x0处取得极小值(D)x0处取得极大值1x2x1(4)曲线yex2arctan的渐近线有()(x1)(x2)(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条(5)设Msinx43x42sin3x42x2cosxdx,N2(sincosx)dx,P2(xcosx)dx,2122则有()(A)NPM(B)MPN(C)NMP(D)PMN三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)设yf(xy),其中f具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求d2y.dx213(2)计算x(1x4)2dx.0(3)计算limtann(2).n4n(4)计算dx.sin2x2sinx1(5)如图,设曲线方程为yx2,梯形OABC的面积为D,曲边梯形OABC的面积为2D1,点A的坐标为(a,0),a0,证明：D3D1.y2BCyx212OAx四、(本题满分9分)设当x0时,方程kx11有且仅有一个解,求k的取值范围.x2五、(本题满分9分)x34设y2,x求函数的增减区间及极值；求函数图像的凹凸区间及拐点；求其渐近线；作出其图形.六、(本题满分9分)求微分方程ya2ysinx的通解,其中常数a0.七、(本题满分9分)设f(x)在[0,1]上连续且递减,证明：当01时,f(x)dx1f(x)dx.00八、(本题满分9分)求曲线y3|x21|与x轴围成的封闭图形绕直线y3旋转所得的旋转体体积.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】2【解析】sin2xe2ax1在x0时是初等函数,因而连续；要使f(x)在(,)上连x续,f(x)在x0处也连续,这样必有limf(x)f(0).x0由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,x0时,sinx:x；ex1:x.limsin2xe2ax1lim(sin2xe2ax1)x0xx0xxlim2xlim2ax22ax0xx0x从而有a2.,(2)【答案】(t1)(6t5)tdydydtdydxyt3t22t2【解析】dtdxdtdtxt3tdx111tyxx(yx)t6t5(t1)(6t5).xt11t1t【相关知识点】复合函数求导法则：如果ug(x)在点x可导,而y导,则复合函数yfg(x)在点x可导,且其导数为dyf(u)g(x)或dydydudxdxdu.dx(3)【答案】3sin3xf(cos3x)【解析】原式f(cos3x)(cos3x)f(cos3x)(sin3x)3【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：(t)f(x)dx,(t),(t)均一阶可导,则若F(t)(t)F(t)(t)f(t)(t)f(t).(4)【答案】1(x21)ex2C,其中C为任意常数5t2,f(x)在点ug(x)可3sin3xf(cos3x).22【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是ex先进入积分号,原式1x2d(ex2)1x2ex2ex2d(x2)2212x2C其中C为任意常数.(x1)e2注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定uu(x)与vv(x)均具有连续的导函数,则uvdxuvuvdx,或者udvuvvdu.(5)【答案】(x4)y4Cx,C为任意常数【解析】这是可分离变量的方程.分离变量得dxdy0,两项分别对x和对y积分得到x(x4)y1lnx4lnyC1,4x化简有x4y4C,即(x4)y4Cx,C为任意常数.x二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)【答案】(A)【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得ln(1x)(axbx2)(xx22))(axbx2)o(x2(1a)x(1b)x2o(x2),21a05由假设,应该有,故由此a1,b1b),故应选(A).(222方法2：用洛必达法则.limln(1x)(axbx2)为“0”型的极限未定式,又分子分母在x20x0点0处导数都存在,所以,1a2bx原式左边lim1xx02xlim(1a)(a2b)x2bx2(若1a0,则原式极限为,必有1a0)x02x(1x)12ba1,b5.22,2故应选(A).【答案】(B)【解析】方法1：因f(x)2x3,(x1)f(x)左可导,f(1)2x32.33x1又limf(x)limx21f(1)f(x)不右连续f(x)在x1的右导数不存在,x1x1故选(B).方法2：f(1)2,而limf(x)limx21f(1),3x1x1所以,f(x)在x1点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.f(x)f(1)x22f(1)limlimx3,x1x1x11f(x)f(1)2x32f(1)limlim332.x1x1x1x1故f(x)在x1点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B).(3)【答案】(C)【解析】由于f(x)满足微分方程yyesinx0,当xx0时,有f(x0)f(x0)sinx0.e又由f(x0)0,有f(x0)sinx00,因而点x0是f(x)的极小值点,应选(C).e(4)【答案】(B)【解析】用换元法求极限,令t1时,t0,且有,则当xxlimyt2t2t1,limy,limearctanxt0(1t)(12t)4x0所以y轴和y是曲线的两条渐近线.4e而x1和x2并非曲线的渐近线,因当x1和x2时,y分别趋向于和21e4.故应选(B).2【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有limf(x)a,则ya为水平渐近线；x铅直渐近线：若有limf(x),则xa为铅直渐近线；xa斜渐近线：若有af(x)lim[f(x)ax]存在且不为,则yaxb为斜渐lim,bxxx近线.(5)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故M0,且由定积分的性质,如果在区间a,b上,被积函数f(x)0,b0(ab).则f(x)dxa所以N22cos4xdx0,P22cos4xdxN0.00因而PMN,应选(D).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【解析】方程两边对x求导,得yf(1y),两边再求导,得yf(1y)2fy,由于一阶导数不等于1,所以1f0.f代入并解出y,得yf.以y(1f)31f【相关知识点】复合函数求导法则：如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x)在点x可导,且其导数为dyf(u)g(x)或dydydudxdxdu.dx(2)【解析】用换元积分法.观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.令x2sint,则2xdxcostdt.当x0时,t0；当x1时,t,故2原式12cos4tdt1(312)3.2024232【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：(n1)!!,n为偶数，In2sinnxdx2cosnxdxn!!200(n1)!!n为奇数.n!!,注：对于双阶乘n!!的定义如下:当n为奇数时,n!!13Ln；当n为偶数时,n!!24Ln.2)展开,再化为重要极限lim(11)x(3)【解析】方法1：用三角函数公式将tan(e的4nxx形式,利用等价无穷小因子替换,即x0时,tanx:x,从而求出极限.tan2n2tan2n2)lim1limtann(nlim1nn4nn2n21tan1tannn2tan2lim1nntan21n221tan4tan12nn4tan2tan221tan2limn1nnn2tan2n14enne.limlnf(x)方法2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式exlimf(x).x因为2)1tan22tan2limlntann(4limnlnnlimnln1nnnn2n21tan1tannn2tan24tan2limnnlimn4,n12n22tan1tannnnn2lntann(2)4于是n.4limtan()limee4nn(4)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin22sincos,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得dxdxsin2x2sinx2sinx(cosx1)sinxdxcosxu11u)2du2sin2x(cosx1)2(1u)(1(Qsin2x1cos2x)1(1u)(1u)du1(1112)du4(1u)(1u)281uu(1u)21ln|1u|ln|1u|2C8(1u)1ln1cosxln1cosx2C,81cosx其中C为任意常数.方法2：换元cosxu后,有dxsinxdx1du原式2sinx(cosx1)2sin2x(cosx1)2(1u)(1u)2.用待定系数法将被积函数分解:1ABD(1u)(1u)21u1u(1u)2(AB)u2(2AD)u(ABD)(1u)(1u)2,AB01,D1.2AD0ABABD142于是,原式＝1(11(122)du1ln1uln1u2C81u1uu)81u1ln1cosxln1cosx12C.8cosx(5)【解析】对梯形OABC的面积为D,可用梯形面积公式h(ab),其中h为梯形的高,a、2b分别为上底和下底长度.对于曲边梯形OABC的面积则用积分式求解.112D2(2a)a(1a2),2a22)Da12)dx131aa(32a.(xa102326由于1a23a2,所以1a21,由此,23a22Da(1a2)3(1a2)31a23.2D1a(32a2)32a223a2262四、(本题满分9分)【解析】方程kx11的解即为(x)kx3x21的零点.x211有且仅有一个解,只需要证明(x)是单调函数,且它的函数图要证明方程kxx2像仅穿过x轴一次就可以了.以下是证明过程.对(x)求一阶导数,有(x)3kx22xx(3kx2).当k0时,(x)0,(x)单调减少,(0)10,lim(),(x)在x0有xx唯一的零点；当k0时,(x)在(0,2)单调减少,在(2,)单调增加,(2)14,而3k3k3k27k2(0)10,lim(x),当且仅当最小值(20时,(x)才在x0有唯一零点,)x3k这时应该有k23.92总之,当k0或k3时,原方程有唯一实根.9五、(本题满分9分)【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域分成不同区间,然后根据y在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根据y的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外,还要注意有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.yx48240.x2,y1x3,yx4无定义点：x0,驻点：x2.(,0)0(0,2)2(2,)y+无定义0+y+无定义+++y上升无定义下降极小上升函数在(,0)U(2,)单调增加,在(0,2)单调减少,在(,0)U(0,)凹,在x2取极小值yx23；由于limy,所以x0为垂直渐近线.x0由于limy1,lim(yx)lim40,所以yx是斜渐近线.xx2xxx粗略草图如下：yyx3O2x【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有limf(x)a,则ya为水平渐近线；x铅直渐近线：若有limf(x),则xa为铅直渐近线；xa斜渐近线：若有alimf(x),blim[f(x)ax]存在且不为,则yaxb为斜渐xxx近线.六、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程r2a20有两个根为r1,r2ai.当a1时,非齐次方程的特解应设为YAsinxBcosx.代入方程可以确定A1,B0,Ysinx.a21a21当a1时,应设YxAsinxxBcosx,代入方程可以确定A0,B1,Yxcosx.22由此,所求的通解为当a1时,yc1cosaxc2sinaxsinx；a21当a1时,yc1cosxc2sinxxcosx.2【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(x)是二阶线性非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程yP(x)yQ(x)y0的通解,则yY(x)y*(x)是非齐次方程的通解.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即yP(x)yQ(x)y0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程变为ypyqy0.其特征方程写为r2prq0,在复数域内解出两个特征根r1,r2；分三种情况：两个不相等的实数根r1,r2,则通解为yC1erx1C2er2x;(2)两个相等的实数根r1r2,则通解为yC1C2xerx1;(3)一对共轭复根r1,2i,则通解为yexC1cosxC2sinx.其中C1,C2为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解y*(x),可用待定系数法,有结论如下：如果f(x)()x,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*kxPmxey(x)xQm(x)e的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f(x)x[Pl(x)cosx(x)sin]ePnx,则二阶常系数非齐次线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的特解可设为y*xkex[Rm(1)(x)cosxRm(2)(x)sinx],其中Rm(1)(x)与Rm(2)(x)是m次多项式,mmaxl,n,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为01或.七、(本题满分9分)【解析】方法一：用积分比较定理.,令xt,则f(x)dx1首先需要统一积分区间：换元f(t)dt,00f(x)dx11由此f(x)dxf(x)f(x)dx.000因为f(x)递减而xx,所以f(x)f(x),上式的右端大于零,问题得证.方法二：用积分中值定理.为分清两中值的大小,需要分别在(0,),(,1)两区间内用积分中值定理：11f(x)dxf(x)dxf(x)dx,00由此,11f(x)dxf(x)dx(1)f(x)dxf(x)dx000(1)f(1)(1)f(2)(1)f(1)f(2),其中,0121；又因f(x)递减,f(1)f(2).上式的右端大于零,问题得证.方法三：作为函数不等式来证明.令()f(x)dx1[0,1].0f(x)dx,0()f()1则f(x)dx.0由积分中值定理,有()f()f(),其中(0,1)为常数.由f()递减,为唯一驻点,且()在由正变负,是()的极大值点也是最大值点；由此,最小点必为端点0或1.从而有()(0)(1)0,01.命题得证.【相关知识点】积分上限的函数的求导公式：若F(t)(t)(t)均一阶可导,则f(x)dx,(t),(t)F(t)(t)f(t)(t)f(t).八、(本题满分9分)【解析】如右图所示,曲线左右对称,yy3y3x21与x轴的交点是(2,0),(2,0).只计算右半部分即可.作垂直分割,相应于x,xdx的小竖条的体积微元：dV32(3y)2dx32(x21)2dx(82x2x4)dx,0x2,于是V2(82x2x4)dx448.2015