湖南省邵阳市中考数学提分训练：图形的相似解析版

湖南省邵阳市中考数学提分训练：图形的相似（解析版）第PAGE页2019年中考数学提分训练:图形的相似一、选择题1.如图，△ABC中，∠BCD＝∠A，DE∥BC，与△ABC相似的三角形（△ABC自身除外）的个数是（   ）A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个2.在△ABC中，点D,E分别为边AB,AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（  ）A.                                           B.                                           C.                                           D. 3.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（  ）A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 44.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（  ）A. 1∶2                                    B. 1∶4                                    C. 1∶5                                    D. 1∶65.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（  ）①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．A. ①②③④                                B. ①②③                                C. ①③④                                D. ①②6.如图，与中，交于．给出下列结论：①∠C=∠E；②△ADE∽△FDB；③∠AFE=∠AFC；④FD=FB．其中正确的结论是（   ）．A. ①③                                     B. ②③                                     C. ①④                                     D. ②④7.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为（  ）A. 11                                          B. 10                                          C. 9                                          D. 88.如图，已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（  ）A. 1：2                                   B. 1：3                                   C. 2：3                                   D. 2：5．9.如图，△ABC中，D，E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（     ）A. 4：2：1                         B. 5：3：1                         C. 25：12：5                         D. 51：24：1010.如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点F与点C是一对对应点，点F的坐标是（1，1），点C的坐标是（4，2）；则它们的位似中心的坐标是（  ）A. （0，0）                       B. （﹣1，0）                       C. （﹣2，0）                       D. （﹣3，0）11.已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（  ）A. AB2=AC•BC                 B. BC2=AC•BC                 C. AC=BC                 D. BC=AB12.如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点，连分别交，于点，，过点作交于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤.A. 5                                           B. 4                                           C. 3                                           D. 2二、填空题（共8题；共8分）13.已知，则=________14.已知点在线段上，且,那么________．15.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3，于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，则=________。16.如图，矩形ABCD中，，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，且EH∥BC，则AG∶GH∶HC=________．17.如图，等腰直角三角形ABC的顶点A，C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=，反比例函数y=（k>0）的图象过BC中点E，交AB于点D，连接DE，当△BDE∽△BCA时，k的值为________.18.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，BC＝8，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则AE的长为________．19.如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是米，那么路灯A的高度AB等于________米．20.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为________步．三、解答题21.已知：如图，在△ABC的中，AD是角平分线，E是AD上一点，且AB：AC=AE：AD．求证：BE=BD．22.如图，已知菱形BEDF，内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上．若AB=15cm，BC=12cm，求菱形边长．23.一块 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．24.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝，BD＝．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．25.如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q（1）【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 .________②如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.________③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为________,其中的取值范围是________(直接写出结论，不必证明)（2）【探究二】若且AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：①S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.②随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.答案解析一、选择题1.【答案】B【解析】∵DE∥BC∴  ∴△BCD∽△ABC∴有两个与△ABC相似的三角形故答案为：B.【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC, 由有两个角对应相等的三角形三角形相似得出△BCD∽△ABC，从而得出有两个与△ABC相似的三角形。2.【答案】C【解析】：如图，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=．故答案为：C．【分析】根据三角形的中位线定理得出DE∥BC，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出答案。3.【答案】B【解析】：∵△ABC∽△DEF，相似比为1∶2∴∴∴EF=2故答案为：B【分析】根据相似三角形的性质及相似比，得出，即可求解。4.【答案】B【解析】：∵D、F分别是OA、OC的中点，∴DF是△AOC的中位线。∴DF=AC，∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的∴△DEF与△ABC的相似比是1:2，∴△DEF与△ABC的面积比是1:4 故答案为：B【分析】根据D、F分别是OA、OC的中点，可证得DF是△AOC的中位线。可证得DF和AC的数量关系，再根据△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，即可求得结果。5.【答案】B【解析】①由折叠的性质可得：∠ADG=∠AFG（故①正确）；②由折叠的性质可知：∠DGE=∠FGE，∠DEG=∠FEG，DE=FE，∵FG∥CD，∴∠FGE=∠DEG，∴∠DGE=∠FEG，∴DG∥FE，∴四边形DEFG是平行四边形，又∵DE=FE，∴四边形DEFG是菱形（故②正确）；③如图所示，连接DF交AE于O，∵四边形DEFG为菱形，∴GE⊥DF，OG=OE=GE，∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，∴△DOE∽△ADE，∴，即DE2=EO•AE，∵EO=GE，DE=DG，∴DG2=AE•EG，故③正确；④由折叠的性质可知，AF=AD=5，DE=FE，∵AB=4，∠B=90°，∴BF=，∴FC=BC-BF=2，设CE=x，则FE=DE=4-x，在Rt△CEF中，由勾股定理可得：，解得：.故④错误；综上所述，正确的结论是①②③.故答案为：B.【分析】①由折叠的性质可得：∠ADG=∠AFG（故①正确）；②由折叠的性质可知：∠DGE=∠FGE，∠DEG=∠FEG，DE=FE，根据平行线的性质得出∠FGE=∠DEG，根据等量代换得出∠DGE=∠FEG，根据平行线的判定得出DG∥FE，进而根据平行四边形的判定得出四边形DEFG是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形DEFG是菱形（故②正确）；③如图所示，连接DF交AE于O，根据菱形的性质得出GE⊥DF，OG=OE= GE，然后判定出△DOE∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例得出DE2=EO•AE，又EO= GE，DE=DG，从而得出结论DG2=12AE•EG，故③正确；④由折叠的性质可知，AF=AD=5，DE=FE，根据勾股定理得出BF的长度，由FC=BC-BF得出FC的长，设CE=x，则FE=DE=4-x，在Rt△CEF中，由勾股定理可得关于x的方程，求解得出x的值，进而判断出④错误。6.【答案】B【解析】证明：在△ABC和△AEF中，∴△ABC≌△AEF（SAS）∴∠C=∠AFE，故①错误；∵∠B=∠E，∠ADE=∠FDB∴△ADE∽△FDB故②正确；∵△ABC≌△AEF∴AF=AC，∠AFE=∠C∴∠AFC=∠C∴∠AFE=∠AFC故③正确；∵AB=AE≠AD∴∠E≠∠ADE∵∠B=∠E，∠ADE=∠BDF∴∠B≠∠BDF，∴FD≠FB故④错误故答案为：B【分析】根据全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，可对①③④作出判断；根据相似三角形的判定，可对②作出判断；即可得出答案。7.【答案】D【解析】：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD,AD∥BC，∴∠BAE=∠AFD，∠DAF=∠AEB，∵AF为∠BAD的角平分线，∴∠BAE=∠EAD，∴∠AFD=∠EAD，∠BAE=∠AEB，∠CEF=∠CFE，∴△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，又∵AB=6，AD=9，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴CE=CF=3.∵BG⊥AE,BG=4，由勾股定理可得：AG2=AB2−BG2AG2=62-（4）解之：AG=2∴AE=2AG=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△FCE.∴=∴AE=2EF即4=2EF∴EF=2，△EFC的周长为：CE+CF+EF=3+3+2=8故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，可证△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出CE、CF的长度，然后利用勾股定理求得AG的长度，继而可得出AE的长度，根据相似三角形的性质求出EF的长度，然后可求出△EFC的周长。8.【答案】B【解析】∵DE∥BC，∴=2，∴CE：CA=1：3， ==，∵AF：FC=1：2，∴AF：AC=1：3，∴AF=EF=EC，∴EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m，∴DE=m，DG=m﹣m=m，∴DG：GE=m：m=1：3，故答案为：B．【分析】由平行线分线段成比例定理可得,所以CE：CA=1：3，,由已知可得AF：AC=1：3，所以AF=EF=EC，EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m，则DE= m，DG= m﹣m=m，所以DG：GE= m：m=1：3。9.【答案】D【解析】连接EM，∵CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10，故答案为：D．【分析】连接EM，根据平行线分线段成比例定理可得EM平行于AD，由相似三角形的判定可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，所以可得比例式HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3，则AH=AD-DH=3ME-ME=（3-）ME=ME，所以AH：ME=12：5，则HG：GM=AH：EM=12：5，设GM=5k，GH=12k，由EM平行于AD可得比例式BH：HM=BD：DE=3：2=BH：17k，解得BH=K，所以BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10。10.【答案】C【解析】∵点F与点C是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是CF与x轴的交点，设直线CF解析式为y=kx+b，将C（4，2），F（1，1）代入，得，解得，即y= x+，令y=0得x=﹣2，∴O′坐标是（﹣2，0）；故答案为：C．【分析】由位似图形的性质可得位似中心在直线CF上，已知点F与点C是一对对应点，所以两个位似图形在位似中心同旁，由图形所在位置可得位似中心就是CF与x轴的交点，所以设直线CF解析式为y=kx+b，将C（4，2），F（1，1）代入解析式可得关于k、b的方程组，解得k=,b=,则直线CF解析式为y=x+,因为CF与x轴相交，所以y=0，即x+=0,解得x=﹣2，所以O′坐标是（﹣2，0）。11.【答案】D【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，∴，即AC2=BC•AB，故A、B不符合题意；∴AC==AB，故C不符合题意；∴BC===AB，故D符合题意；故答案为：D．【分析】点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，从而得出BC∶AC=AC∶AB=,根据等比性质即可一一作出判断。12.【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP=x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE-BH=a+2x-2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴，即，整理，得：2x2=（-1）ax，由x≠0得2x=（-1）a，即AF=（-1）EF，故⑤正确；故答案为：B．【分析】根据等腰直角三角形及等边三角形的性质，及它们有一条公共边得出∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，从而得出△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，从而判断出∠ADC=15°，故①正确；根据三角形的内角和得出∠DAE=45°，根据三角形的外角定理得出∠AFG，∠AGF的度数，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由三角形的内角和得出∠FAP=30°，根据角的和差及等量代换得出∠BAH=∠ADC=15°，由ASA判断出△ADF≌△BAH根据全等三角形对应边相等得出DF=AH，故③正确；由∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，判断出△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x，根据勾股定理 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出AP，设EF=a，由△ADF≌△BAH，得出BH=AF=2x，根据等腰直角三角形的性质得出BE=AE=AF+EF=a+2x，进而得出EH=BE-BH=a+2x-2x=a，然后判断出△PAF∽△EAH，根据相似三角形对应边成比例得出PF∶EH＝AP∶AE，从而得出关于x的方程，求解得出结论2x=（ -1）a，即AF=（ -1）EF，故⑤正确。二、填空题13.【答案】【解析】：∵设a=2x，b=3x∴=故答案为：【分析】根据a与b的比值，可设a=2x，b=3x，代入计算即可求解，或利用合比性质求解即可。14.【答案】5:3【解析】由题意AP：BP=2：3，设AP=2x,BP=3X∴AB=5XAB：PB=5：3.故答案为：5:3.【分析】根据AP：BP=2：3，从而说明AP占两份，BP占三份，从而得出AB占5份，进一步得出答案。15.【答案】2【解析】：由和BC=AC-AB，则,因为直线l1∥l2∥l3，所以=2故答案为2【分析】由和BC=AC-AB，可得的值；由平行线间所夹线段对应成比例可得16.【答案】3∶2∶3【解析】连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，OG=OH，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°,AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO与△AOE中，∴△CFO≌△AOE，∴AO=CO，∴AG=CH，∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°，     ∴△AOE∽△ABC，∴==tan∠BAC=，∵HE∥BC，∴∠AEH=90°，∴∠HEO=∠GEO=∠BAC，∴=，∴AO=4OG，∴AG═CH=3OG，∵CH=2OG，∴AG:GH:HC=3:2:3，故答案为：3:2:3.【分析】连接EF交AC于O，根据菱形的性质得出EF⊥AC，OE=OF，OG=OH，根据矩形的性质得出∠B=∠D=90°,AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得出∠ACD=∠CAB，然后利用AAS判断出△CFO≌△AOE，根据全等三角形对应边相等得出AO=CO，根据等式的性质得出AG=CH，然后判断出△AOE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出∶OA＝BC∶AB=tan∠BAC= ，根据平行线的性质及等量代换得出∠HEO=∠GEO=∠BAC，根据等角的同名三角函数值相等得出AO=4OG，进而得出AG═CH=3OG，从而得出答案。17.【答案】3【解析】：如图，过点D作DF⊥BC于点F，∵△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC=，反比例函数y=（k>0）的图象过BC中点E，∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（，），∵△BDE∽△BCA∴三角形BDE也是等腰直角三角形，∴DF=EF∴F（，）∴D（-，）∴解得：k=3【分析】过点D作DF⊥BC于点F，△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y= （k>0）的图象过BC中点E，∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（，），由△BDE∽△BCA得出三角形BDE也是等腰直角三角形，，根据等腰三角形的三线合一得出DF=EF，进而得出F,D的坐标，根据反比例函数的比例系数的性质得出关于k的方程，求解得出k的值。18.【答案】5【解析】：∵矩形ABCD，OE⊥AC∴∠ADC=∠AOE=90°,AB=CDAO=AC在Rt△AOD中，AB=4，AD=8∴AC=BD=∵∠EAO=∠DAO，∠ADC=∠AOE∴△AEO∽△ACO∴8AE=4×2解之：AE=5故答案为：5【分析】根据矩形的性质得出∠ADC=∠AOE=90°,AB=CD，求出AO的长，再根据勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACO，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可。19.【答案】6【解析】：∵FH∥AB∴∴∵CG∥AB∴∴∴2（1+BC）=5+BC解之：BC=3∴（1+BC）（1+3）=6故答案为：6【分析】抓住题中的隐含条件：FH∥AB，CG∥AB，得出对应线段成比例，从而得出方程2（1+BC）=5+BC，解方程求出BC的长，继而可求出AB的长。20.【答案】【解析】：∵DEFG是正方形，∴∠EDG=90°，∴∠KDC+∠HDA=90°．∵∠C+∠KDC=90°，∴∠C=∠HDA．∵∠CKD=∠DHA=90°，∴△CKD∽△DHA，∴CK：KD=HD：HA，∴CK：100=100：15，解得：CK=．故答案为：．【分析】根据正方形的性质及已知证明∠C=∠HDA，∠CKD=∠DHA，再证明△CKD∽△DHA，得出对应边成比例，就可求出CK的长。三、解答题21.【答案】解：如图所示：∵AD是角平分线，∴∠1=∠2，又∵ABAD=AEAC，∴△ABE∽△ACD，∴∠3=∠4，∴∠BED=∠BDE，∴BE=BD．【解析】【分析】利用角平分线的定义得出∠1=∠2，根据AB：AD=AE：AC，可证得△ABE∽△ACD，得对应角相等即∠3=∠4，再根据等角的补角相等证出∠BED=∠BDE，然后根据等角对等边证得结论。22.【答案】解：设菱形的边长为xcm，则DE=DF=BF=BE=xcm，∵四边形BEDF是菱形，∴DE∥BC，DF∥AB，∴∠ADE=∠C，∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴，∴=，x=，即菱形的边长是cm【解析】【分析】设菱形的边长为xcm，根据菱形的性质得出DE=DF=BF=BE=xcm，DE∥BC，DF∥AB，根据二直线平行同位角相等得出∠ADE=∠C，∠A=∠CDF，进而判断出△AED∽△DFC，根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解即可得出答案。23.【答案】解：∵四边形PQMN是矩形，∴BC∥PQ，∴△APQ∽△ABC，∴，由于矩形长与宽的比为3：2，∴分两种情况：①若PQ为长，PN为宽，设PQ=3k，PN=2k，则，解得：k=2，∴PQ=6cm，PN=4cm；②PN为6，PQ为宽，设PN=3k，PQ=2k，则，解得：k=，∴PN=cm，PQ=cm；综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为cm，宽为cm．【解析】【分析】先利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”证得△APQ∽△ABC，即可得到，再分两种情况①若PQ为长，PN为宽与②PN为6，PQ为宽，求得k的值即可求得矩形的长与宽.24.【答案】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴∆ABC∽∆ADE，∴，又∵AD=AB+BD，，BC＝1，DE＝，∴，∴AB＝17，即河宽为17米【解析】【分析】首先很容易判断出∆ABC∽∆ADE，根据相似三角形对应边成比例即可得出AD∶AB=DE∶BC，从而即可求出河的宽度。25.【答案】（1）解：当时，PE=QE.即E为AC中点，理由如下：连接BE，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE=CE，∠PBE=∠C=45°，又∵∠PEB+∠BEQ=90°，∠CEQ+∠BEQ=90°，∴∠PEB=∠CEQ，在△PEB和△QEC中，∵,∴△PEB≌△QEC（ASA），∴PE=QE.；EP：EQ=EA:EC=1:2；理由如下：作EM⊥AB，EN⊥BC，∴∠EMP=∠ENQ=90°，又∵∠PEN+∠MEP=∠PEN+∠NEQ=90°，∴∠MEP=∠NEQ,∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=ME:NE,又∵∠EMA=∠ENC=90°，∠A=∠C，∴△MEA∽△NEC，∴ME:NE=EA:EC，∵,∴EP：EQ=EA:EC=1:2.；EP：EQ=1:m；02+时，EF与BC不会相交）.【分析】【探究一】①根据已知条件得E为AC中点，连接BE，根据等腰直角三角形的性质可BE=CE，∠PBE=∠C=45°，由同角的余角相等得∠PEB=∠CEQ，由全等三角形的判定ASA可得△PEB≌△QEC，再由全等三角形的性质得PE=QE.②作EM⊥AB，EN⊥BC，由相似三角形的判定分别证△MEP∽△NEQ，△MEA∽△NEC，再由相似三角形的性质得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案.③作EM⊥AB，EN⊥BC，由相似三角形的判定分别证△MEP∽△NEQ，△MEA∽△NEC，再由相似三角形的性质得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案.【探究二】①设EQ=x，根据【探究一】（2）中的结论可知则EP=x，根据三角形面积公式得出S的函数关系式，再根据当EQ⊥BC时，EQ与EN重合时，面积取最小；当EQ=EF时，S取得最大；代入数值计算即可得出答案.②根据（1）中数据求得当EQ与BE重合时，△EPQ的面积，再来分情况讨论即可.