平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AECF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF⑵BFDE⑶证明：连结DB,DF,设DB,AC交于点O∵四边形ABCD为平行四边形∴AOOC,DOOB∵AEFC∴AOAEOCFC即OEOF∴四边形EBFD为平行四边形∴BFDEDCDCFOOEABABE图1图2第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC12，BD10，ABm，那么m的取值范围是（）A1m11B2m22C10m12D5m6解：将线段DB沿DC方向平移，使得DBCE,DCBE,则有四边形CDBE为平行四边形,∵在ACE中,AC12,CEBD10,AE2AB2m∴12102m1210，即22m22解得1m11故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形求证：AC2BD2AB2BC2CD2DA2证明：过A,D分别作AEBC于点E，DFBC的延长线于点F∴AC2AE2CE2AB2BE2(BCBE)2AB2BC22BEBCBD2DF2BF2(CD2CF2)(BCCF)2CD2BC22BCCF则AC2BD2AB2BC2CD2DA22BCCF2BCBE∵四边形ABCD为平行四边形∴AB∥CD且ABCD,ADBC∴ABCDCF∵AEBDFC900∴ABEDCF∴BECF∴AC2BD2AB2BC2CD2DA2CED1D3APF2BECFBAK图3图4第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：APAB证明：延长CF交BA的延长线于点K∵四边形ABCD为正方形∴AB∥CD且ABCD,CDAD,BADBCDD900∴1K又∵DDAK900,DFAF∴CDF≌KAF∴AKCDAB∵CE1CD,DF1AD∴CEDF22∵BCDD900∴BCE≌CDF∴12∵13900∴23900∴CPB900,则KPB900APAB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有AED∽FEC,FAB∽FEC,AED∽FABAADDENOFBCFBE图6C图5第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD中，ANBN,BE1BC,NE3交BD于F，求BF:BD解：连结AC交BD于点O,连结ON∵四边形ABCD为平行四边形∴OAOC,OBODBD2∵ANBN∴ON∥1BC且ON1BC∴BEBF22ONFO∵BE1BC∴BE:ON2:3∴BF23FO3∴BF2∴BF:BD1:5BO5综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。课堂练习1、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。2、如图，在矩形1ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC。2若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为____________。3、如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。（只需研究一组线段相等即可）。（1）连结_________；（2）猜想：_____________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）。4、如图，在□ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连结DE、BF、BD。1）求证：△ADE≌△CBF。2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论。
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