概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章

文档鉴赏第三章多维随机变量及其散布1.[一]在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：0,若第一次取出的是正品,X1,若第一次取出的是次品0,若第二次取出的是正品,Y1,若第二次取出的是次品试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的结合散布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)P(X=0,Y=0)=101025121236P(X=0,Y=1)=1025121236P(X=1,Y=0)=2105121236221P(X=1,Y=1)=121236或写成X10Y255036365113636（2）不放回抽样的情况10945P{X=0,Y=0}=12116610210P{X=0,Y=1}=121166文档鉴赏P{X=1,Y=0}=21010121166P{X=1,Y=1}=211121166或写成X01Y045106666110166663.[二]盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的结合散布律。X123Y000032353510612235353521630353535解：（X，Y）的可能取值为(i,j)，i=0，1，2，3，j=0，12，i+j≥2，结合散布律为P{X=0,Y=2}=C22C221C7435P{X=1,Y=1}=C31C21C226C7435P{X=1,Y=2}=C31C22C216C7435P{X=2,Y=0}=C32C223C7435P{X=2,Y=1}=C32C21C2112C7435文档鉴赏C32C223P{X=2,Y=2}=C7435C33C212P{X=3,Y=0}=C7435C33C212P{X=3,Y=1}=C7435P{X=3,Y=2}=05.[三]设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)k(6xy),0x2,2y40,其余（1）确定常数k。（2）求P{X<1,Y<3}（3）求P(X<1.5}（4）求P(X+Y≤4}剖析：利用P{(X,Y)∈G}=f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy再化为累次积分，其GGDo0x2,中Do(x,y)y42解：（1）∵1211f(x,y)dxdyk(6xy)dydx，∴k802（2）P(X1,Y3)131(6xy)dy3dx2880（3）P(X1.5)P(X1.5,Y)1.5dx41(6xy)dy2702832（4）P(XY4)2dx4x1(6xy)dy200836．（1）求第1题中的随机变量（X、Y）的边缘散布律。y2）求第2题中的随机变量（X、Y）的边缘散布律。解：（1）①放回抽样（第1题）X120x+y=4Y125503636ox1513636文档鉴赏边缘散布律为X01Y01P51P51i·66·j66②不放回抽样（第1题）X01Y04510666611016666边缘散布为X01Y01P51P51i·66·j66（2）（X，Y）的结合散布律如下X0123Y00330883100188解：X的边缘散布律Y的边缘散布律X0123Y13Pi·1331P·j628888887.[五]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)4.8y(2x)0x1,0yx求边缘概率密度.0其余x4.8y(2x)dy2.4x2(2x)0x1解：fX(x)f(x,y)dy00其余12.4y(34yy2)0y1fY(y)f(x,y)dx4.8y(2x)dxy0其余8.[六]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为文档鉴赏f(x,y)ey,0xyyx=y求边缘概率密度。0,其余.解:fX(x)f(x,y)dyeydyex,x0x0,x0xyydxyey,y0,ofY(y)f(x,y)dxe00,y0,9.[七]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)cx2y,x2y10,其余（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。1ycx2ydx15解:l=f(x,y)dxdydyc2y2dy4cc210y0321412122124yX~fX(x)x24xydy8x(1x),1x10,其余5y=x2Y~fY(y)y21d2ydx7y20y1y402其余ox15.第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。解：放回抽样的情况P{X=0,Y=0}=P{X=0}·P{Y=0}=25365P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{Y=1}=36P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0}=3651P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=在放回抽样的情况下，X和Y是独立的不放回抽样的情况：P{X=0,Y=0}=10945121166P{X=0}=文档鉴赏105126P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{Y=0,X=1}=1092105P{X=0}·P{Y=0}=12111111655256636{X=0,Y=0}≠P{X=0}P{Y=0}X和Y不独立16.[十四]设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上听从平均散布。Y1y2的概率密度为fY(y)2e,y00,y0.（1）求X和Y的结合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。1,x(0,1)解：（1）X的概率密度为fX(x)0,其余的概率密度为y1e2,y0且知X,Y相互独立，fY(y)2yy=x2D0,y0.于是（X，Y）的结合密度为yf(x,y)fX(x)fY(y)1e20x1,y020其余o1x（2）由于a有实跟根，进而鉴别式4X24Y0即：YX2记D{(x,y)|0x1,0yx2}x21yx2yx2P(YX2)f(x,y)dxdy12dy1de211dxedxe2dxD002000文档鉴赏1x212012((1)(2))12(0.84130.5)e2dx2012.50663120.341310.85550.144519.[十八]设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为tet,t0f(t)0t0并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量设第二周需要量为Y，它是随机变量且为同散布，其散布密度为f(t)tet,t00t0Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：f(x,y)xexyeyx0,y00其余∵≥z0∴当z<0时，fz(z)=0当z>0时，由和的概率公式知fz(z)fx(zy)fy(y)dyzz3(zy)yeydyez(zy)e06fz(z)z3ez,z0∴60z0（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为z3ez,z0fz(z)60z0设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：文档鉴赏xex,x0fξ(x)0x0与ξ相互独立=z+ξ表示前三周需要量则：∵η≥0，∴当u<0，fη(u)=0当u>0时fη(u)f(uy)fξ(y)dyu1(uy)3e(uy)yeydy065ueu所以η的概率密度为u5euu0fη(u)1200u022.[二十二]设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地听从N（160，202）散布。随机地选用4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同散布，其概率密度为：1(t160)2fT(t)e22π20220f{X180}FX(180)11180(t160)22202202dt令t160u11u21806020e2du2()20查表0.8413设N=min{X1，X2，X3，X4}P{N>180}=P{X1>180,X2>180,X3>180,X4>180}=P{X>180}4={1－p[X<180]}4=(0.1587)4=0.0006327.[二十八]设随机变量（X，Y）的散布律为文档鉴赏X12345Y0000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.051）求P{X=2|Y=2}，P{Y=3|X=0}2）求V=max(X,Y)的散布律3）求U=min(X,Y)的散布律解：（1）由条件概率公式P{X2,Y2}P{X=2|Y=2}=P{Y2}=0.050.030.050.050.050.080.01=0.050.20.25同理P{Y=3|X=0}=13（2）变量V=max{X,Y}显然V是一随机变量，其取值为V：012345P{V=0}=P{X=0Y=0}=0{V=1}=P{X=1，Y=0}+P{X=1，Y=1}+P{X=0，Y=1}=0.01+0.02+0.01=0.04P{V=2}=P{X=2，Y=0}+P{X=2，Y=1}+P{X=2，Y=2}+P{Y=2,X=0}+P{Y=2,X=1}=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P{V=3}=P{X=3，Y=0}+P{X=3，Y=1}+P{X=3，Y=2}+P{X=3，Y=3}+P{Y=3,X=0}+P{Y=3,X=1}+P{Y=3,X=2}=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28文档鉴赏P{V=4}=P{X=4，Y=0}+P{X=4，Y=1}+P{X=4，Y=2}+P{X=4，Y=3}=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P{V=5}=P{X=5，Y=0}+⋯⋯+P{X=5，Y=3}=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28（3）然U的取0，1，2，3P{U=0}=P{X=0，Y=0}+⋯⋯+P{X=0，Y=3}+P{Y=0，X=1}+⋯⋯+P{Y=0，X=5}=0.28同理P{U=1}=0.30P{U=2}=0.25P{U=3}=0.17或写成表格形式（2）V012345P00.040.160.280.240.28k（3）U0123P0.280.300.250.17k（4）W=V+U然W的取0，1，⋯⋯8P{W=0}=P{V=0U=0}=0P{W=1}=P{V=0,U=1}+P{V=1U=0}V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能上式中的P{V=0，U=1}=0，又P{V=1U=0}=P{X=1Y=0}+P{X=0Y=1}=0.2故P{W=1}=P{V=0,U=1}+P{V=1，U=0}=0.2P{W=2}=P{V+U=2}=P{V=2,U=0}+P{V=1，U=1}=P{X=2Y=0}+P{X=0Y=2}+P{X=1Y=1}=0.03+0.01+0.02=0.06P{W=3}=P{V+U=3}=P{V=3,U=0}+P{V=2，U=1}=P{X=3Y=0}+P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1}+P{X=1，Y=2}=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13P{W=4}=P{V=4,U=0}+P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2}=P{X=4Y=0}+P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3}+P{X=2，Y=2}=0.19文档鉴赏P{W=5}=P{V+U=5}=P{V=5,U=0}+P{V=5，U=1}+P{V=3，U=2}=P{X=5Y=0}+P{X=5，Y=1}+P{X=3，Y=2}+P{X=2，Y=3}=0.24P{W=6}=P{V+U=6}=P{V=5,U=1}+P{V=4，U=2}+P{V=3，U=3}=P{X=5，Y=1}+P{X=4，Y=2}+P{X=3，Y=3}=0.19P{W=7}=P{V+U=7}=P{V=5,U=2}+P{V=4，U=3}=P{V=5，U=2}+P{X=4，Y=3}=0.6+0.6=0.12P{W=8}=P{V+U=8}=P{V=5,U=3}+P{X=5，Y=3}=0.05或列表为W012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.05[二十一]设随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)be(xy),0x1,0y0,其余（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x)，fY(y)（3）求函数U=max(X,Y)的散布函数。解：（1）1f(,)dydx1be(xy)dydx[1e1]xy00b∴b11e1（2）fX(x)f(x,y)dy0或x1x0be(xy)dy1ex,0x10e1fY(y)f(x,y)dx0,y01ey0be(xy)dxy0（3）Fu(ω)=P{U≤u}=P{max(X,Y)u)=P{X≤u,Y≤u}文档鉴赏=F(u,u)=uuf(x,y)dxdyu<0,FU(u)=00u1,FU(u)uu(1eu)20be(xy)dxdy101euu1dxdy1eu1,F(u)be(xy)U00