高三一轮复习函数的值域与最值

高三总复习 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 (大纲版)第二节　函数的值域与最值高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版) 考纲要求 1.会求简单函数的值域或最值．2．了解最值的应用． 考试热点 1.利用函数图象、单调性、反函数的定义域求函数的值域或最值；通过换元法、配 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 、基本不等式法、数形结合法、判别式法、求导法求函数的值域或最值．2．通过函数的最值求有关参数的范围，解决实际生活中的优化问题.高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)求函数值域与最值的方法1．基本函数法(直接根据函数求最值)对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解．2．配方法(二次函数法)对形如F(x)＝a[f2(x)＋bf(x)＋c](a≠0)类的函数的值域问题，可用配方法求解．3．反函数法对形如y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(a≠0)的函数值域可用此法．高三总复习数学(大纲版)4．判别式法把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域．形如y＝eq\f(a1x2＋b1x＋c1,a2x2＋b2x＋c2)(a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解．高三总复习数学(大纲版)5．换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．形如y＝ax＋b±eq\r(cx＋d)(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用此法求解．6．不等式法利用基本不等式：a＋b≥2eq\r(ab)(a，b>0)，求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”．高三总复习数学(大纲版)7．单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性，求出函数的值域．8．数形结合法当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．高三总复习数学(大纲版)9．函数的有界性法形如y＝eq\f(sinx,1＋sinx)，可用y表示出sinx.再根据－1<sinx≤1，解关于y的不等式，可求得y的取值范围．10．导数法设y＝f(x)的导数为f′(x)，由f′(x)＝0可求得极值点坐标，若函数定义域为[a，b]，则最值必定为极值点和区间端点函数值中的最大值和最小值．高三总复习数学(大纲版)1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)A．y＝x2－x＋1　　　　　B．y＝x＋eq\f(1,x)(x>0)C．y＝esinxD．y＝(x＋1)－eq\f(2,3)高三总复习数学(大纲版)答案：D解析：∵y＝x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)，∴y≥eq\f(3,4)，∴排除A项．又y＝x＋eq\f(1,x)≥2(x>0)，故排除B项．∵－1≤sinx≤1，∴y＝esinx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))，∴排除C项．高三总复习数学(大纲版)3．函数f(x)＝eq\f(1,1＋x2)(x∈R)的值域是(　　)A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)高三总复习数学(大纲版)答案：C解析：设y＝f(x)，则y＝eq\f(1,1＋x2).∴x2＝eq\f(1,y)－1.由x2≥0，即eq\f(1－y,y)≥0，解得0<y≤1.高三总复习数学(大纲版)4．函数y＝x＋eq\r(1－2x)的值域是(　　)A．(－∞，－1)B．(－∞，1]C．RD．[1，＋∞)高三总复习数学(大纲版)答案：B解析：令t＝eq\r(1－2x)，则t≥0，且x＝eq\f(1－t2,2)，从而y＝eq\f(1－t2,2)＋t＝－eq\f(1,2)t2＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t2－2t)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1.∵t∈[0，＋∞)，∴当t＝1时ymax＝1，∴y∈(－∞，1]．高三总复习数学(大纲版)5．已知函数y＝eq\r(mx2－6mx＋m＋8)的定义域为R.(1)求实数m的取值范围；(2)当m变化时，若y的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．高三总复习数学(大纲版)解：(1)依题意，当x∈R时，mx2－6mx＋m＋8≥0恒成立．当m＝0时，x∈R；(2)当m＝0时，y＝2eq\r(2)；当0<m≤1，y＝eq\r(m(x－3)2＋8－8m).∴ymin＝eq\r(8－8m).因此，f(m)＝eq\r(8－8m)(0<m≤1)．∴f(m)的值域为[0,2eq\r(2)]．高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)[例1]　求下列函数的值域．(1)y＝eq\f(x－2,x＋1)；(2)y＝eq\f(1,2＋x－x2)；(3)y＝2x－eq\r(x－1).高三总复习数学(大纲版)[解]　(1)原式等价于y＝1－eq\f(3,x＋1)，显然eq\f(3,x＋1)≠0，∴y≠1.∴函数的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．高三总复习数学(大纲版)解法2：∵x≠2且x≠－1，∴所给的函数式可以转化为yx2－yx－2y＋1＝0，∵必有实数满足这个方程，并对任意实数x，都有y≠0，于是Δ＝(－y)2－4y(1－2y)≥0，(2)解法1：∵2＋x－x2＝－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4)≤eq\f(9,4)，此时有三种情况，若－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4)<0，则y<0；若－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4)＝0，则y无意义；若0<－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4)≤eq\f(9,4)，则y＝eq\f(1,－(x－\f(1,2))2＋\f(9,4))≥eq\f(4,9).∴函数的值域为(－∞，0)∪[eq\f(4,9)，＋∞)．高三总复习数学(大纲版)解得y∈(－∞，0)∪[eq\f(4,9)，＋∞)．当x＝2或x＝－1时函数式无意义，∴函数的值域为(－∞，0)∪[eq\f(4,9)，＋∞)．(3)设t＝eq\r(x－1)≥0，则x＝t2＋1(t≥0)，∴y＝2(t2＋1)－t＝2(t－eq\f(1,4))2＋eq\f(15,8)，∵t≥0，∴y∈[eq\f(15,8)，＋∞)，∴函数y＝2x－eq\r(x－1)的值域是[eq\f(15,8)，＋∞)．高三总复习数学(大纲版)[拓展提升]　求函数值域时一定要先考虑其定义域，如利用函数的单调性，必须要有定义域；用重要不等式求值域时，若忽视定义域，则可能会导致等号成立的条件出错；用导数求函数值域时要注意把极值与定义域区间端点的函数值作比较；用换元法求值域要注意换元前后范围保持一致．高三总复习数学(大纲版)[例2]　已知函数f(x)＝log3eq\f(mx2＋8x＋n,x2＋1)的定义域为R，值域为[0,2]，求m，n的值．高三总复习数学(大纲版)[解]　令y＝eq\f(mx2＋8x＋n,x2＋1)，因为f(x)的定义域为R，所以对任意x∈R，y>0恒成立，即mx2＋8x＋n>0恒成立，故判别式Δ＝64－4mn<0且m>0.即m>0，mn>16.高三总复习数学(大纲版)由y＝eq\f(mx2＋8x＋n,x2＋1)，得(m－y)x2＋8x＋(n－y)＝0.因为x∈R，所以Δ＝82－4(m－y)(n－y)≥0，即y2－(m＋n)y＋mn－16≤0①依题意，f(x)∈[0,2]，则y∈[1,9]，所以关于y的不等式①的解集为[1,9]．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝10mn－16＝9))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5n＝5))且满足m>0，mn>16.故所求的m，n值为m＝n＝5.高三总复习数学(大纲版)已知函数y＝eq\f(ax＋b,x2＋1)的值域为[－1,4]，求实数a、b的值．高三总复习数学(大纲版)解：由y＝eq\f(ax＋b,x2＋1)，得yx2－ax＋y－b＝0.∵x∈R，∴当y≠0时，Δ＝a2－4y(y－b)≥0.∴4y2－4by－a2≤0.依题意，4y2－4by－a2＝4(y＋1)(y－4)＝4y2－12y－16，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4b＝12，a2＝16，))∴a＝±4，b＝3.高三总复习数学(大纲版)[例3]　若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，eq\f(1,2)]成立，则a的最小值为(　　)A．0B．－2C．－eq\f(5,2)D．－3高三总复习数学(大纲版)[答案]　C[解]　∵x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，eq\f(1,2)]恒成立∴a≥－(x＋eq\f(1,x))恒成立，即a≥[－(x＋eq\f(1,x))]max令f(x)＝x＋eq\f(1,x)，0<x≤eq\f(1,2).∵在(0，eq\f(1,2)]上f(x)为减函数，故f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(5,2)，∴a≥－eq\f(5,2).高三总复习数学(大纲版)[拓展提升]　恒成立问题在高中数学解题中常常转化为最值问题．注意函数y＝x＋eq\f(k,x)(k≠0)这一类函数的值域问题，解决方法常常借助单调性或均值不等式．高三总复习数学(大纲版)若函数y＝lg(1＋2x＋a·4x)当x∈(－∞，2]时有意义，求实数a的范围．高三总复习数学(大纲版)解：当x≤2时，因为1＋2x＋a·4x>0恒成立，即x≤2时a>－eq\f(1＋2x,4x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，令y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，则y为增函数，故x＝2时ymax＝－eq\f(5,16)，所以a>－eq\f(5,16).高三总复习数学(大纲版)[例4]　(2009·湖南高考)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋eq\r(x))x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？高三总复习数学(大纲版)[ 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ]　对(1)，先设辅助未知数，再确定函数关系；对(2)，先利用导数求出最优解．高三总复习数学(大纲版)[解]　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256(eq\f(m,x)－1)＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256,x)m＋meq\r(x)＋2m－256.高三总复习数学(大纲版)(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)(xeq\f(3,2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．高三总复习数学(大纲版)[拓展提升]　本题主要考查应用导数解决实际问题．考题的命制，将导数应用于工程的最优化问题的解决之中，可以说是一个很好的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ，不仅考查了考生对函数、导数等相关知识的掌握程度，还考查了考生数学建模能力及其解决实际问题的能力．高三总复习数学(大纲版)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图1所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．高三总复习数学(大纲版)(Ⅰ)将y表示为x的函数；(Ⅱ)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．图1高三总复习数学(大纲版)图2解：(Ⅰ)如图2所示，设矩形的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝eq\f(360,x)，所以y＝225x＋eq\f(3602,x)－360(x>0)．高三总复习数学(大纲版)(Ⅱ)∵x>0，∴225x＋eq\f(3602,x)≥2eq\r(225×3602)＝10800，∴y＝225x＋eq\f(3602,x)－360≥10440.当且仅当225x＝eq\f(3602,x)时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)1．用换元法求函数的最值时，要注意新变元的取值范围．2．用判别式法求函数的最值时，要注意自变量的范围，一般自变量取值范围是自然范围时，求出的最值是正确的，否则不一定正确．如：用判别式法求y＝eq\f(x＋1,x2－2x－3)(x≠3，x≠－1)的最值可以，但要求y＝eq\f(x＋1,x2－2x－3)(x>5)的最值就不适用了．高三总复习数学(大纲版)3．当前对函数最值的考查多以导数的方法解决，当前，了解一些其他解法对快速解题是有好处的，特别是在导数表达式很复杂的情况下．4．二次函数在闭区间上的最值必须掌握，若含有参数，要对参数进行讨论．高三总复习数学(大纲版)