RevisedbyBLUEontheafternoonofDecember12,2020.华师大版解直角三角形
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中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载
解直角三角形测量教学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系。教学重点：探索测量距离的几种方法。教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。教学过程：一。复习引入：当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗二。新课探究：书.试一试.如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC画在纸上，并记为△A1B1C1,用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方法吗解：∵△ABC∽△A1B2C3,∴AC:A1C1=BC:B1C1=500:1∴只要用刻度尺量出纸上B1C1的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度。若量得B1C1=a㎝，则BC=500a㎝=5a㎝。故旗杆高(1+5a)m.说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。例2.为了测出旗杆的高度，
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
了如图所示的三种
方案
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，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m图(c)中BD=9m,EF=；此人的臂长为0.6m。说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。（a）（b）（c）
分析
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：图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质。解：（1）∵△AOB∽△COD,∴即∴AB=3(m).（2）∵同一时刻物高与影长成正比，∴即∴AB=3(m).（3）∵△CEF∽△CAB∴即∴AB=3(m).方法技巧：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度。三、引申提高：例3。设计一种方案，测量学校科技楼的高度。请写出测量的过程，并简要说明这样做的理由。分析：测量大楼的高度的方法很多，现采用一种方法，利用人的身高和标杆，依据相似三角形三角对应成比例和平行线的性质，可测出大楼的高度。解答：测量过程如下：1、在地面上立一个标杆，使人眼、杆顶、楼顶在一条直线上。2、测出CF、CH的距离。大楼3、算出KE的长度。4、用标杆长度减去人的身高，即DE的长度。标杆5、由DE∥AB得△KDE∽△KAB。又因为相似三角形三边对应成比例，∴。6、再将刚才测量的数值代入比例式中，计算出AB的长度。7、用AB加上人的身高即得出大楼的高度。探究点拔：1.选择测量的方法应是切实可行的。如本题中人眼、杆顶、楼顶在一条直线上（人是站立的）。2．大楼的高度=AB+人高。3．测量的过程要清楚，力求每步都有根有据，达到学以至用。四．巩固练习：1.如图1，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=31.4m求AB长。(AB=62.8m)(1)(2)2.如图2,为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显
标志
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的点A，再在所在的一边找到两点B、C，使△ABC构成Rt△。如果测得BC=50米，∠ABC=73°，试设计一种方法求河的宽度AC。(在地面上另作Rt△A’B’C’，使B’C’=5米，∠C’=Rt∠,∠B’=73°,测得A’C’=16.35米，得AC=16.35米).五课时小结：选择适当的方法测量物体的高度或长度等是新时期素质教育的要求，运用所学相似三角形知识设计测量方案时一定要考虑可行性，力求操作简便，计算简洁，同时注意分析环境、天气等要素。六．课堂作业：《教科书》87－1、2、3锐角三角函数（1）教学目标：1.直角三角形可简记为Rt△ABC2.理解Rt△中锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念。教学重点：四种锐角三角函数的定义。教学难点：理解锐角三角函数的定义。教学过程：一．复习提问：什么叫Rt△它的三边有何关系△中角、边之间的关系是：①∠A+∠B=90°②二．新课探究：△ABC中，某个角的对边、邻边的介绍。2.如图，由Rt△ABC∽Rt△ABC∽Rt△ABC得可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的。同样，其对边与斜边，邻边与斜边，邻边与对边的比值也是惟一确定的。3.四种锐角三角函数。分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数.显然，锐角三角函数值都是正实数，并且0
0,cotA>0.4.四种三角函数的关系。三．四种三角函数值例1.①求出如图所示的Rt△ABC中，∠A的四个三角函数值。解：Rt△ABC中，AB===17∴sinA=，cosA=tanA=，cotA=8②若图中AC︰BC=4︰3呢15解：设AC=4，BC=3，则AB=5∴sinA=，cosA=，tanA=，cotA=③若图中tanA=呢（解法同上）例2.△ABC中，∠B=90°，a=5，b=13，求∠A的四个三角函数值。解：Rt△ABC中，c===12∴sinA=，cosA=，tanA=，cotA=注意：解Rt△，如无图，应根据题意自己画图，寻找线段比值也应根据定义，不能死记公式。四．巩固练习：书P1-3五．引申提高：例3．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=2，BD=8。求cosB。你还能求什么法一：Rt△BCD,法二：Rt△ABC中，变式：若AD:BD=9:16,求∠A的四个三角函数值。()六．课时小结：灵活运用四个三角函数求值。七．课堂作业：教科书：。1—4锐角三角函数（2）--------特殊值教学目标：1、使学生熟记30°、45°、60°的三角函数值2、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。教学重点：特殊角的三角函数值。教学过程：复习：1.什么叫锐角A的正弦、余弦、正切、余切2.如图，∠C=90°，AC=7，BC=2求∠A和∠B的四个三角函数值（∠A：∠B：）比较求值结果，你发现了什么（sinA=cosB,cosA=sinB,tanA=cotB,cotA=tanB）得出：如果两个锐角互余，则有sin(90°－A)=cosA,cos(90°－A)=sinA,tan(90°－A)=cotA,cot(90°－A)=tanA新授1.推导特殊角的三角函数值例1、直角△ABC中，∠A=30°，求sinA、cosA、tanA、cotA由sin30°=得出：在直角三角形中如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。练习：∠A=45°、∠A=60°呢归纳特殊角的三角函数值：sincostancot30°45°1160°2.已知特殊角的三角函值求锐角例2.①已知sinA=,则∠A=30°;②已知tanA=1,则∠A=45°;③已知cosB=,则∠B=60°;④已知sinB=,则∠B=60°;⑤已知则∠=60°;⑥已知则∠75°;⑦已知,A,B为△ABC的内角，则∠C=75°；⑧已知，则45°或60°；3.计算：例3.①（）②（）③（1）④（）引申提高：()注意:①②0＜＜1,0＜＜1巩固练习计算①（）②（0）③（）④（1）课时小结1.特殊角30°45°60°的四种三角函数值，2.注意30°、60°角的函数值的区别六、课作教科书P93－3；《学习指导》锐角三角形函数（4）—复习教学目标：熟练运用三角函数知识解题教学重点：锐角三角函数教学难点：锐角三角函数的运用教学过程：复习直角三角形中四个锐角三角函数的求法特殊三角的三角函数值新授例1.如图，菱形ABCD中，对角线AC=16，BD=30，求:①∠ABD的四个三角函数值。②sin∠ABC解：①在菱形ABCD中，AO=CO=8，BO=DO=15，AC⊥BD，∴AB===17在Rt△ABO中，sin∠ABD=，cos∠ABD=，tan∠ABD=，cot∠ABD=②过C作CE⊥AB于E，菱形ABCD中，AB=BC=17，S=∴×16×30=，∴CE=Rt△BCE中，sin∠ABC=例2.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA的值分析：本题可有两种方法求解利用∠A的正弦、余弦的定义来解利用同角三角函数中的平方关系式解法一：设a=，c=，则b=，∴cosA=解法二：∵sinA+cosA=1，sinA=，∴cosA=三。引申提高：例3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9，求BE、CE的长。分析：由sinB=，可设DE=CD=，DB=，则BC=8，AC=6，AB=10，再由AC+CD=9，可求出各边长。在Rt△BDE中，由勾股定理求BE长，过C作CF⊥AB，再用勾股定理求解。解：∵sinB=，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴sinB=，设DE=CD=3，则DB=5又CD=DE=3，∴CB=8，∴AC=6，AB=10，∵AC+CD=9，∴6，∴∴DE=3，DB=5，∴BE=过C作CF⊥AB于F，则CF∥DE，∴，求得CF=，BF=∴EF=，在Rt△CEF中，四、巩固练习△ABC中，∠C=90°，a=40,c=41.求的值。(0)2.计算①()②(1)3.△ABC中,AB=AC=5,BC=8,求cosB。（）五、课时小结．熟记锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值。三角函数定义的理解在复杂图形中求某角的三角函数值。通过作垂线构造Rt△，运用勾股定理列方程求解。六、课作：△ABC中,,∠C=60°2.△ABC中,∠C=90°,斜边上的中线长为m,且，求最小角的余弦值。()△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，且DC=2BD，DE⊥AB于E，求sin∠AEC的值。（）△ABC中，∠C=30°，D为AC上一点，DB⊥BC，已知AD︰DC=1︰2，求tan∠ABD的值。（）△ABC中，∠C=90°，D为BC中点，DE⊥AB于E，tanB=，AE=7，求DE长。（）解直角三角形（1）教学目标：利用直角三角形边角之间的关系，解决与直角三角形有关的实际问题教学重点：解直角三角形的有关知识教学难点：运用所学知识解决实际问题教学过程：复习提问Rt△中的关系式.（∠C=90°）角：∠A﹢∠B=90°边；a﹢b=c边角关系：sinA=coA=tanA=cotA=△ABC中,若∠C=90°,∠A=30°,c=10㎝,则a=c=5㎝,b=a=5㎝；若∠A=40°,c=10㎝,则由sinA=,∴,由cosA=,∴由已知的边角关系，求得未知的边与角，叫做解直角三角形。新授看书P例1、例2得出：1.解Rt△的定义；在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。2.解Rt△，只有下面两种情况：1）已知两条边2）已知一条边和一个锐角3.在解Rt△的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′。例3.某施工人员在离地面高度为5米的C处引拉电线杆，若固定点离电线杆3米，如图所示，则至少需要多长的缆线AC才能拉住电线杆（结果保留两位小数）分析：由图可知，AC是Rt△ABC的斜边，利用勾股定理就可求出。解：在Rt△ABC中，AC===≈（米）答：至少需要5.83米的缆线AC才能拉住电线杆。三、引申提高：例4.如图，上午8时，小明从电视转播塔C的正北方向B处以15千米/时的速度沿着笔直的公路出发，2小时后到达A处，测得电视转播塔在他的南偏东50°的方向，试求出发前小明与电视转播塔之间的距离，并求出此时距电视转播塔有多远（精确到1千米）解：在RtABC中，∠CAB=90°－50°=40°，AB=15×2=30（千米），∵tan∠CAB=，∴≈25（千米），∵cos∠CAB=，∴AC=≈39（千米）答：出发前小明与电视转播塔的距离约25千米，此时距电视塔39千米。变式：若已知敌舰与A炮台的距离及∠DAC的读书分，如何求两炮台间的距离测量中能应用解直角三角形的知识吗四。巩固练习课内练习1-5五．课时小结：本节的重要内容是解Rt△的有关知识，解Rt△的依据是勾股定理.两锐角互余和边角之间的关系,一般有两种类型：已知两边，已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能使用原题数据和避免做除法运算。解Rt△（2）教学目标：分清仰角、俯角等概念的意义，准确把握这些概念解决一些实际问题教学重点：仰角、俯角、等位角等概念教学难点：解与此有关的问题教学过程：仰角、俯角的概念铅垂线几个概念1.铅垂线2.水平线仰角3.视线俯角4.仰角：视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角。5.俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角。练习：1.由A测得B的仰角为36°，由B去测A时的俯角为。2.一棵树AC在地面上的影子BC为10米，在树影一端B测得树顶A的俯角为45°，则树高米；若仰角为60°，树高米。（精确到1米）应用例1．书P114例4例2.如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼，AB⊥CD，CD⊥BD，从甲楼顶A测乙楼顶C的仰角=30°，已知甲楼高15米，两楼水平距离为24米，求乙楼高。解：Rt△ACE中，CE==8m，∴CD=CE+DE=CE+AB=（8+15）（米）答：乙楼高为（8+15）米。三、引申提高：例3.如图，为了测量顶部不能达到的建筑物AB的高度，现在地平面上取一点C，用测量仪测得A点的仰角为45°，再向前进20米取一点D，使点D在BC延长线上，此时测得A的仰角为30°，已知测量仪的高为米，求建筑物AB的高度。解：在Rt△AEG中，EG==AG，在Rt△AFG中，FG==AG∴EF=FE－EG=（－1）AG=20，∴AG=+（米）答：建筑物AB的高度为（+）米。说明：解此类问题的关键是建立实际问题的数学模型，即构建Rt△。必要时可添加适当的辅助线，解题时应选择适当的关系式进行解题，并按照题目中的要求进行近似计算。变式：若点E在FG的延长线上，且∠AEG=45°，已知FE的长度，其他条件不变，如何求建筑物AB的高度例4.如图，在一座山的山顶处用高为1米的测顶器望地面C、D两点，测得俯角分别为60°和45°，若已知DC长为20㎝，求山高。分析：已知∠FAD=45°，∠FAC=60°，要求山高，只需求AE。解；设AE=，在Rt△ADE中，，在R△ACE中，，DC=DE－CE==20，∴，∴BE=AE－AB=29＋10，∴山高为（29+10）米。四．巩固练习。了解仰角、俯角的概念。学会几何建模，通过解Rt△求解。五．课作。1—5解直角三角形（3）教学目标：弄清铅垂高度、水平长度、坡高（或坡比）、坡角等概念；教学重点：理解坡度和坡角的概念教学难点：利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题教学过程：一、复习提问：什么叫仰角、俯角二、坡度、坡角的概念几个概念：1、铅垂高度2、水平长度3、坡度（坡比）:坡面的铅垂高度和水平长度的比4、坡角：坡面与水平面的夹角.显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。练习：1、沿山坡前进10米，相应升高5米，则山坡坡度，坡角30°，2、若一斜坡的坡面的余弦为，则坡度,3、堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）若AB=10,CD=4,高h=4，则坡度=,AD=5②若AB=10,CD=4,,则2，例1、书P115例4例2、如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD,DC∥AB,迎水坡AD长为米，上底DC长为2米，背水坡BC长也为2米，又测得∠DAB=30°,∠CBA=60°,求下底AB的长.解：过D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,在直角△ADE中,∠A=30°，AD=∴DE=ADsin30°=,AE=ADcos30°=3.30°60°在直角△CBF中,BF=BCcos60°=1∴AB=AE+EF+BF=3+2+1=6答：下底的长为6米。思考：延长两腰或平移一腰能求出下底的长吗说明：以上解法体现了“转化”思想，把梯形的有关问题转化为解直角三角形可多角度的分析，添加辅助线，灵活、恰当地构造直角三角形，使解法合理化。例3.铁道路基的横断面是等腰梯形,其尺寸如图所示,其中=1:是坡度每修1m长的这种路基,需要土石多少立方解:过A、D分别作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F.则AE=DF=.∵=1:为等腰梯形.∴BE=CF=∴BC=+10+=∴SABCD=㎡∴V=1×=答:需要土面立方米。三、引申提高：例4.沿水库拦水坝的背水坡,将坝顶加宽2m,坡度由原来的1:2改为1:,已知坝高6m,坝长50m,求：加宽部分横断面的面积完成这一工程需要的土方是多少分析：加宽部分的横断面AFEB为梯形，故通过作梯形的高构造直角三角形，利用坡度的变化求解。解：①设梯形ABCD为原大坝的横截面图，梯形AFEB为加宽部分，过A、F分别作AG⊥BC于G，FH⊥BC于H，在直角△ABG中，由AG=6,得BG=12在直角△EFH中,由FH=6,得EH=15∴EB=EH-BH=EH－(BG－HG)=15－(12－2)=5∴SAFEB=㎡②V=50×SAFEB=21×50=1050四、巩固练习P102课内练习123五、课时小结理解坡度、坡角的概念在复杂图形中求解时要结合图形，理解题意，运用所学知识通过构造直角三角形求解。六、作业A、B组1—6解Rt△（4）教学目标：综合运用前面所学的知识，通过添加适当的辅助线来构造Rt△,从而解决较复杂的实际问题。教学重点难点:利用前面所学知识，解决教复杂的实际问题教学过程：一、复习、练习△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB于D,若AD=2，CD=4,则tanB=△ABC中，∠A=90°,sinB=,c=2,则b=△ABC中，∠C=90°，斜边上中线CD=3，AC=，tan∠DCB=二、应用如图△ABC中，∠B=45°，∠C=60，AD⊥BC于D，AD=2，求：（1）BC的长（2）S解：（1）∵AD⊥BC，∠B=45°，∠C=60°，AD=2∴BD=2，CD=∴BC=2+（2）∴S=×2×（2+）=2+如图，为调整数学格局，充分发挥资源优势，现将地处A、B两地的两所技校合并成职业技术教育中心，为方便A、B两校师生的交往，学校准备在相距5千米的A、B两地修筑一条笔直公路AB，经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°方向的C处有一半径为千米的湖泊，问计划修筑的这条公路会不会穿过湖泊分析：要想知道公路会不会穿过湖泊，就必须知道点C到AB的距离是否大于千米。解：过C作CD⊥AB于D由题意知∠CAD=30°，在Rt△ACD中，AD=，在Rt△BCD中，同理可得CD=DB，∴AB=AD+BD=（+1）CD=5，∴CD≈（千米）＞千米答：计划修筑的这条公路不会穿过湖泊。如图，河对岸有一电线杆CD，从A点测得电线杆顶端的仰角为18°，前进30米，到B处测得D点的仰角为36°，求电线杆的高度（精确到米）解：∵∠ADB=∠DBC-∠A=36°-18°=18°=∠A，∴DB=AB=30，在Rt△ABC中，CD=≈（米）答：电线杆的高度约为米。三、引申提高：如图，A城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°的海面生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向，若台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城是否会受9号台风影响分析：A城是否会受台风影响，就是A城到台风移动路线BC的距离是否大于120千米。解：过A作AE⊥BC于E，设AE=EC=，则BE=，∵BC=2×40=80，∴BC=BE-CE=（-1）=80，∴≈＜120，∴A城会受台风影响。三、巩固练习课内练习1，2，3四、课时小结运用所学知识解决实际问题，学会几何建模，通过解Rt△求解小结与复习(1)数学目标：1、正确运用勾股定理2、掌握三角函数定义，正确运用直角三角形边角关系3、理解实际问题的相关概念教学过程：一、复习知识结构与学习要点；书二、练习：（一）.△中一直角边为7，三边长都为正整数，则周长为532.Rt△中，斜边上中线为1，周长为，则面积为3.Rt△中，两边长为2，4.则第三边长为或（二）1.一Rt△被斜边上的高分得的两个三角形面积之比为4：9，则Rt△中最小角的正切为，2.Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=则4，6，3.如图△ABC中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S△ADC=，求BD；解；S△ADC=∴Rt△AED中，Rt△ABE中，∴4.△ABC中.AD⊥BC，M为BA中点，∠B=30°，cos∠ACD=，求tan∠BCM。解：设则，∵为中点∴5.计算或化简：①（）②（45°＜＜90°（）（三）.1.甲、乙两人与一路灯站在一直线上，从甲处看路灯顶部仰角为，从乙处看路灯顶部仰角，若路灯高h米，求甲、乙两人相距多少米分析：应考虑两种情况：路灯在线段BC上，BC=h（）2）路灯在线段BC延长线上，BC=h（）2、一登山运动员在山脚C处仰望山顶B，仰角=45°.他沿坡比为的坡面走了1000m到达D处，此时仰角，则山高多少米略解：Rt△CDF中米，米设，在Rt△BDE中，∵∠BCA=45°，∴AC=AB∴∴米三、课作：1——8.小结与复习（2）数学目标：熟练运用直角三角形边角关系解决相关问题.教学过程：一、复习：计算：(1)(1)(2)(1)(3)()(4)()(5)求（0）二、应用举例：1、如图∠ACB＝90°.CD⊥AB于D.1）∠A＝30°.求（）2）若∠BCD＝30°，AC＝6.求DB长（）2.在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（两树间的水平距离）为6m，则相邻两树间的实际距离为多少（）3、一长为的梯子AB下端B与墙角O的距离，如滑动后停在DE位置，测得BD=。求梯子下落距离。解：在Rt△ABO中.AB=.BO=.∴AO=2m.在Rt△DEO中.DO=2m.ED=.∴EO=∴AE=AO－EO=2－=.∴梯子下落.4、将截面为等腰梯形的沙河改造，使两坡度由1：变为1：1，已知河道深7m，长90m，求完成这一工程挖土多少方解：设ABCD为原截面，EBCF为改造后的截面.∵∴∵∴S=2S△ABE=2×××7=㎡5、△ABC中.∠C=90°.D在B、C上.DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE：AE=1：5，BC=3cm。求；（1）Sin∠DAE.（2）cos∠B（3）S△ABD.解：设则由△BDE∽△DAC得得得（舍）∴sin∠ADE=COS∠B=S△ABD=136、如图：平面镜EF的同侧有相距㎝的两点，它们与平面镜距离分别为5cm、7cm.现要从A点射出的垂线经平面镜反射出后通过点B，求出光线的投射角。解：过A作AM⊥BF于M，则∴在Rt△AOE中，，∴∴即投射角为30°三、课作教科书102：9－13
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