结构力学课件(华中)_10矩阵位移法

nullnull《结构力学教程》（I）第10章 矩阵位移法第10章 矩阵位移法null§10-1 概述 §10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵 §10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵 §10-4 连续梁的整体刚度矩阵 §10-5 刚架的整体刚度矩阵 §10-6 荷载列阵 §10-7 计算步骤及算例 §10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析 §10-9 桁架结构的整体分析主要内容§10-1 概述§10-1 概述 1、结构分析方法 1）传统方法——前面介绍的力法、位移法、力矩分配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分析较简单的结构。 2）矩阵分析方法——矩阵力法和矩阵位移法，或称为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。 2、基本思路2、基本思路 1）手算位移法 （1）取基本体系——构造各自独立的单跨超静梁的组 合体； （2）写出杆端弯矩表达式——建立各杆件的杆端弯矩与杆端位移间的关系； 3）矩阵位移法——它是以结点位移作为基本未知量的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化，故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元法。§10-1 概述null （3）根据结点、截面的平衡条件——建立力的平衡方程，即位移法方程。 2）矩阵位移法 （1）结构离散化——划分单元； （2）单元分析——建立单元的杆端力与杆端位移间的关系，形成单元刚度矩阵； （3）整体分析——建立整个结构的结点位移与结点荷载间的关系，形成结构刚度矩阵。 §10-1 概述下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。用位移法解该题 ：2、杆端弯矩： §10-1 概述null3、建立方程：5、回代得：杆端弯矩§10-1 概述null把以上解题过程写成矩阵形式： 1、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一个转角未知量）。 2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）1-2杆单元刚 度方程§10-1 概述null2-3杆单元刚 度方程§10-1 概述3、位移法方程：null位移法方程写成 矩阵形式：整体刚度矩阵4、解方程得：5、回代得：杆端弯矩 以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的。§10-1 概述结点荷载列阵结点位移列阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵 1、单元划分及编号②①③ 在杆系结构中以自然的一根杆件 为一个单元，并以加圈的数字为记号。 如图所示为刚架的单元划分。 2、结点编号及未知量确定结点编号的作用：用于单元定位 确定未知量结点编号的方法：先处理法 后处理法§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵 因此一个刚结点就有3个位移： ，而且支 座位移也要作为未知量。 在确定未知量时：● 不忽略轴向变形；● 所有单元都是两端固定的。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法： 结点编号如图所示，先处理法：例1： 因此未知量为6个。结点编号如图所示， 编号顺序为：先水平， 后竖向，再转动。位移 为零编“0”号。由于：§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法： 单元编号如图所示，先处理法：例1： 单元编号如图所示， ①单元两头的结点号为： “1”、“2”，如果结点的 坐标已知，单元的位置 就定了。①单元两头的结点号为： “1,2,3”、“4,5,6”，如 果结点的坐标已知，单 元的位置同样定了。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法： 结点编号如图所示， 例2： 由于：因此未知量为7个。先处理法： 结点编号如图所示， 7个未知量，号就编到7。 §10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵先处理法：后处理法：例3：结点编号如图所示，由于：因此未知量为8个。结点编号如图所示， 8个未知量，号就编到8。 §10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵先处理法：后处理法：例3：单元编号如图所示，单元编号如图所示。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：例4：结点编号如图所示，桁架一个结点2个线 位移，由于：因此未知量为5个。先处理法：结点编号如图所示，8个未知量，号就编到8。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：例4：单元编号如图所示，先处理法：单元编号如图所示，……§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵 3、建立坐标坐标系：局部坐标 整体坐标1）局部坐标作用：用于表明杆端力及单元定位方法：x 轴与杆件重合及顺时针转原则。 标法如图所示，箭头表示x 轴的方向，y轴 不标出。①单元的起始点是“1”，终点是“2”。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵null后处理法：例4：局部坐标如图所示，…单元定位向量：先起始点后终点§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵null例4：先处理法：局部坐标如图所示，…单元定位向量：§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵2）整体坐标作用：用于建立位移法方程方法：可根据结构情况及顺时针转原则建立。 表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但 建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵4、单元刚度矩阵 单元刚度矩阵——两端固定单元，由两端发生单 位位移产生的杆端力的矩阵形式。单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵 以两端固定单元为研究对象，让其两端各发生3 个位移，求出6个杆端力，然后写成矩阵形式，即可 得到单元刚度矩阵。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵单元形式 ——两端固定单元 杆端位移 ——每端各三个位移， 杆端力 ——每端各三个杆力， 正负号规定 ——与局部坐标一致为 正，相反为负。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵 当两端固定单元的两端同时发 生六个位移时，六个杆端力可利用 叠加原理求出： 1 号 杆 端 2 号 杆 端§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：=§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵=----单元刚度方程§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵单元刚度方程： 其中：§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵=也可写成：1221…①§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵null单元刚度矩阵的性质● 单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。● 第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个 杆端力分量。 §10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵=1221 由上述一般单元的刚度矩阵，可以根据实际情况处理后， 得到特殊情况下的单元刚度矩阵。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 例如：已知两端固定单元两头只发生转角，其它位移等于 零，同时只需要写杆端弯矩。处理的方法是：把下面刚度 矩阵的第1、2、4、5行和列划掉即可。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵 两端固定单元两头只发生转角的单元刚度矩阵：§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 又如：已知两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端 轴力。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第1、4行和列划 掉即可。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵 两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度矩阵：§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 再如：对于轴力杆件的单元刚度矩阵，处理的方法是： 把下面刚度矩阵的第2、3、5、6行和列划掉即可。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵 轴力杆件的单元刚度矩阵应该是2×2的，但考虑到 斜杆在整体坐标中的需要，写成4×4的。§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵null§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 如前所述，为了表述杆端力，需要每个单元都要 有自己的一套局部坐标系。但当要建立位移法方程时， 则需要结构有一套统一的整体坐标系，因此在建立方 程之前，必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整 体坐标下的。下面以一根斜杆为例，说明两套坐标系 的转换方法。null§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵局部坐标系 中的杆端力整体坐标系 中的杆端力null局部坐标系中杆端力与整体坐标系中杆端力之间的关系：局部坐标系 中的杆端力整体坐标系 中的杆端力§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null其中：[T]——单元坐标转换矩阵同理：可缩写成：写 成矩阵形式§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null[T]——单元坐标转换矩阵； 0000100000[T]=其中：是一正交矩阵,[T]-1 =[T]T。 ……②§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null整体坐标系中的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度方程：将④、⑤式代入③式，有：杆端力、杆端位移局部坐标和整体坐标的关系式：§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null整体坐标下的单元刚度矩阵：……⑥ §10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵计算步骤： 计算步骤： 1）对每个结点（包括支座结点）用先处理法或后处 理法进行编号；对每个单元进行编号；对每个单元分 别建立局部坐标；对结构建立一套整体坐标。2）对每个单元按式①写出局部坐标下的单元刚度矩阵。3）对每个单元按式②写出坐标转换矩阵。4）对每个单元按式⑥求出整体坐标下的单元刚度矩阵。§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null例1：求图示结构各单元的整体刚度矩阵，杆长5m, A=0.5m2,I=1/24m4,E=3×104Mpa。解：1）编号、建立坐标如图所示。①②2）写出各单元局部坐标下的刚 度矩阵。§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null3）写出各单元整体坐标下的刚度矩阵§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null1 2 3 0 0 01 2 3 0 0 01221§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null例2：求整体坐标下的单元刚度矩阵 A=0.5m2,I=1/24m4, E=3×107Mpa。解：编号建立坐标如图所示。§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null由于①单元的局部坐标与整体坐标一致，因此：§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null转换矩阵为：§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null②②§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵null1、编号、建立坐标如图所示。 2、单元刚度矩阵（局部坐标与整体坐标是一致的）。 §10-4 连续梁的整体刚度矩阵重做一下概述中的例题： ①②3、位移法方程——整体刚度方程这是目前会做的null由前面得到的位移法方程：§10-4 连续梁的整体刚度矩阵写成矩阵形式：可以缩写成：——整体刚度方程null§10-4 连续梁的整体刚度矩阵整体刚度方程：其中：——整体刚度矩阵——结构位移列阵——结构荷载列阵本节中主要讨论连续梁的整体刚度矩阵。整体刚度矩阵形成步骤： 整体刚度矩阵形成步骤： 把单元的定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上； 把单元刚度矩阵中已知支座位移为零的行和列划去； 整体刚度矩阵[K]的阶数等于结构未知量数，若未知量为n，[K]就是n×n的方阵； 把各单元刚度矩阵[k]e按定位向量对入座于整体刚度矩阵，形成[K]。§10-4 连续梁的整体刚度矩阵null例1：2）单元刚度矩阵§10-4 连续梁的整体刚度矩阵解：1）编号及建立坐标null3）整体刚度矩阵 2 3 4 5 6 2 3 4 5 64i1§10-4 连续梁的整体刚度矩阵null例2：单元刚度矩阵：0 0 0 1 0 0 0 1 §10-4 连续梁的整体刚度矩阵null整体刚度矩阵：0 1 2 0 0 1 2 0 §10-4 连续梁的整体刚度矩阵1221§10-5 刚架的整体刚度矩阵§10-5 刚架的整体刚度矩阵 刚架的整体刚度矩阵一定求解方法与连续梁的 基本相同，步骤如下： 1）编号、建立坐标。 2）写出局部坐标下的单元刚度矩阵。 3）把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐 标下的。 4）把单元定位向量标在整体坐标下的单元刚度 矩阵边上，并划去已知支座位移等于零的行和列。 5）按定位向量号用对号入座的方法集合成整体 刚度矩阵。§10-5 刚架的整体刚度矩阵例1：求图示结构各单元的整体刚度矩阵，杆长5m, A=0.5m2,I=1/24m4,E=3×104Mpa。解：1）编号、建立坐标如图所示。①②2）写出各单元局部坐标下的刚 度矩阵。§10-5 刚架的整体刚度矩阵§10-5 刚架的整体刚度矩阵1 2 3 0 0 41 2 3 0 0 4 1 31 3§10-5 刚架的整体刚度矩阵§10-5 刚架的整体刚度矩阵1 2 3 0 0 01 2 3 0 0 01221§10-5 刚架的整体刚度矩阵§10-5 刚架的整体刚度矩阵拼装整体刚度矩阵： 0 0 0 0 12 30 30 0 30 100 50 0 30 50 1001 2 3 41 2 3 4 +100+12-30+300-30§10-5 刚架的整体刚度矩阵 整体刚度矩阵的特点： 整体刚度矩阵的特点：1）整体刚度系数（ki j）的意义 ——表示当第j个结点位移分量Δ1=1（其它结点位移分量为零）时所产生的第i个结点力Fi； 2）整体刚度是对称矩阵（反力互等定理）； 3）整体刚度矩阵是满秩非奇异矩阵（先处理法，已考虑约束条件）； 4）整体刚度矩阵是稀疏、带状矩阵（有许多零元素，且非零元素都分布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内）。§10-5 刚架的整体刚度矩阵例2：图示有中间铰刚架，求其整体刚度矩阵。例2：图示有中间铰刚架，求其整体刚度矩阵。§10-5 刚架的整体刚度矩阵①②1421,2,3杆长5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3×104Mpa。③34,5,64,5,70,0,00,0,05解：1）编号、建立坐标2）整体坐标下的单元刚度矩阵104×1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1122null§10-5 刚架的整体刚度矩阵1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1144null§10-5 刚架的整体刚度矩阵4 5 7 0 0 0 4 5 7 0 0 0 3355null§10-5 刚架的整体刚度矩阵 1 2 3 4 5 6 7K1 2 3 4 5 6 7null§10-6 荷载列阵把位移法方程写成矩阵形式：---整体刚度方程其中{ F } ----荷载列阵 荷载列阵通常有两部分组成:null§10-6 荷载列阵例：例：null由节间荷载组成：例：（a）内力=（b）内力+（c）内力 （b）内力：固端力——可查表 （c）内力：用矩阵位移法求解原结构 （a） （b） （c）=+等效结点荷载§10-6 荷载列阵null 把所有有结点位移的地方用附加刚臂或链杆固定起来，求出这些刚臂和链杆中的反力，把反力反向的加在结点上，即为等效结点荷载。=+§10-6 荷载列阵null取出“1”号结点等效结点荷载 下一步的工作是如何把以上 的计算过程用矩阵形式来表示。§10-6 荷载列阵null 取①、②单元，求出固端力，并按局部 坐标写成矩阵形式，称为局部坐标下的单元 固端力列阵。§10-6 荷载列阵null 把局部坐标下的单元固端力列阵转换成整体坐标下的，并反号，称为整体坐标下的单元固端力列阵。FP§10-6 荷载列阵null 把定位向量标在整体坐标下的单元固端力列阵边上。§10-6 荷载列阵null 按对号入座的方式，求出等效结点荷载列阵。0+ 01）求出局部坐标下的单元固端力列阵；2）求出整体坐标下的单元固端力列阵；3）按定位向量形成等效结点荷载列阵。§10-6 荷载列阵null例：求图示结构的等效结点荷载{P}。 解:1）求单元①单元②8kN§10-6 荷载列阵2）求1 2 3 0 0 4 null1 2 3 0 0 0{P}=1 2 3 4§10-6 荷载列阵=§10-7 计算步骤和算例1）编号及建立坐标；§10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例例1：求图示结构的内力。横梁b1×h1=0.5m ×1.26m, 立柱b2×h2=0.5m ×1m。解:1)编号、建立坐标§10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例2）局部坐标下的单元刚度矩阵梁的原始数据：柱的原始数据：§10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例×10－3②§10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例3)整体坐标下的单元刚度矩阵单元①、③(α=90o)坐标转换矩阵为： §10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例转换后单元①、③在整体坐标下的刚度矩阵为：1 2 3 0 0 01 2 3 0 0 04 5 6 0 0 04 5 6 0 0 0§10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例×10－3②单元②的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换。 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6§10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例4）按单元定位向量形成整体刚度矩阵 三个单元的定位向量如下： 把三个单元的定位向量标在整体单元刚度边上。 §10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6§10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例5）求荷载列阵 （1）固端力列阵 局部坐标下的（2）固端力列阵 整体坐标下的（3）等效结点 荷载列阵1 2 3 0 0 01 2 3 4 5 6 由于没有结点荷载，因此荷载列阵等于等效结点 荷载列阵。§10-7 计算步骤和算例§10-7 计算步骤和算例由方程解得结点位移如下：null§10-7 计算步骤和算例7）求杆端力单元①： null§10-7 计算步骤和算例单元②： null§10-7 计算步骤和算例单元③： null§10-7 计算步骤和算例8）根据杆端力绘制内力图 nullM图 (kN.m)FQ图 (kN)FN图 (kN)0.43§10-7 计算步骤和算例 1.24null 对图示刚架进行分析时忽略 轴向变形。2）单元定位向量§10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析2 因此，1、2、3号点的竖向位 移等于零，并且水平位移相等。1）编号及建立坐标0,0,00,0,0null1 0 2 1 0 3 1 0 2 1 0 3 11223）整体坐标下的单元刚度矩阵§10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析null1 0 2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1144§10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析null1 0 4 0 0 0 1 0 4 0 0 0 3355§10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析null 1 2 3 4 K1 2 3 4§10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析null 1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7§10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析 上述工作还可以这样处理：对考虑轴向变形的整 体刚度矩阵进行修正：把已知位移为零的行和列划掉， 把已知位移相等的行和列相加。1212-3012+12-30§10-9 桁架结构的整体分析局部坐标下的单元刚度方程： §10-9 桁架结构的整体分析坐标转换矩阵： §10-9 桁架结构的整体分析§10-9 桁架结构的整体分析例： 求图示桁架内力(EA=常数)。解：1）编号及坐标如图： e=①②③④e=⑤⑥§10-9 桁架结构的整体分析§10-9 桁架结构的整体分析3）整体坐标下的单元刚度矩阵[k]e单元①、③α=90°单元②、④α=90°§10-9 桁架结构的整体分析§10-9 桁架结构的整体分析单元⑤α=45°单元⑥α=135°§10-9 桁架结构的整体分析§10-9 桁架结构的整体分析4）整体刚度矩阵[K]5）结点荷载列阵1 2 3 41 2 3 41 2 3 4§10-9 桁架结构的整体分析§10-9 桁架结构的整体分析6）解方程 解得： null§10-9 桁架结构的整体分析7）杆端力计算