中考数学专题3 动态几何问题

中考数学专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 3 动态几何问题 【前言】第一讲和第二讲我们探讨了有关中考几何综合题的静态问题，相信很多同学已经有所掌握了。但是静态问题的难度最多也就是中等偏上，真正让人抓狂的永远是动态问题。从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，代数方面的动态问题我们将在第七，第八讲来解决。由于有些题目比较难和繁琐，建议大家静下心来慢慢研究，在这些题上花越多时间，中考中遇到类似题目就会省下越多的时间。 第一部分 真题精讲 【例1】（2010，密云，一模） 如图，在梯形 中， ， ， ， ，梯形的高为 ．动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 （秒）． （1）当 时，求 的值； （2）试探究： 为何值时， 为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当 、 运动到 秒时，如图①，过 作 交 于 点，则四边形 是平行四边形． ∵ ， ． ∴ ． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴ ． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ ．解得 ． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： ① 当 时，如图②作 交 于 ，则有 即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． ② 当 时，如图③，过 作 于H． 则 ， ∴ ． ∴ ． ③ 当 时， 则 ． ． 综上所述，当 、 或 时， 为等腰三角形． 【例2】（2010，崇文，一模） 在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝ ， ，CD= ，求线段CP的长．（用含 的式子 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示） 【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】： （1）结论：CF与BD位置关系是垂直； 证明如下： AB=AC ，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º． 由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º， ∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD． 【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 （2）CF⊥BD．(1)中结论成立． 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD 【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP. （3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x， 易证△AQD∽△DCP，∴ ， ∴ ， ． ②点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x． 过A作 交CB延长线于点G，则 ． CF⊥BD， △AQD∽△DCP，∴ ， ∴ ， ． 【例3】（2010，怀柔，一模） 已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形． （1）求证：梯形是等腰梯形； （2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式； （3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由． 【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】 （1）证明：∵是等边三角形 ∴ ∵是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴梯形是等腰梯形． （2）解：在等边中， ∴ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) 【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。 （3）解： 为直角三角形 ∵ ∴当取最小值时， ∴是的中点，而 ∴ ∴ 以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题. 【例4】2010，门头沟，一模 已知正方形 中， 为对角线 上一点，过 点作 交 于 ，连接 ， 为 中点，连接 ． （1）直接写出线段 与 的数量关系； （2）将图1中 绕 点逆时针旋转 ，如图2所示，取 中点 ，连接 ，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中 绕 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明） 【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 （1） （2）（1）中结论没有发生变化，即 ． 证明：连接 ，过 点作 于 ，与 的延长线交于 点． 在 与 中， ∵ ， ∴ ． ∴ ． 在 与 中， ∵ ， ∴ ． ∴ 在矩形 中， 在 与 中， ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ 【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。 （3）（1）中的结论仍然成立． 【例5】（2010，朝阳，一模） 已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处． （1）当 =1 时，CF=______cm， （2）当 =2 时，求sin∠DAB′ 的值； （3）当 = x 时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）． 【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。 【解析】 （1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY） （2）① 如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M， ∵ AB∥CF，∴ △ABE∽△FCE，∴ ． ∵ =2， ∴ CF=3． ∵ AB∥CF，∴∠BAE=∠F． 又∠BAE=∠B′ AE， ∴ ∠B′ AE=∠F．∴ MA=MF． 设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k． 在Rt△ADM中，由勾股定理得： k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA= ． ∴ DM= ．（设元求解是这类题型中比较重要的方法） ∴ sin∠DAB′= ； ②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′ E于点N， 同①可得NA=NE． 设NA=NE=m，则B′ N=12-m． 在Rt△AB′ N中，由勾股定理，得 m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN= ． ∴ B′ N= ． ∴ sin∠DAB′= ． （3）①当点E在BC上时，y= ； （所求△A B′ E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长） ②当点E在BC延长线上时，y= ． 【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下： 第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。 第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。 第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。 第二部分 发散思考 【思考1】2009，石景山，一模 已知：如图（1），射线 射线 ， 是它们的公垂线，点 、 分别在 、 上运动（点 与点 不重合、点 与点 不重合）， 是 边上的动点（点 与 、 不重合），在运动过程中始终保持 ，且 ． （1）求证： ∽ ； （2）如图（2），当点 为 边的中点时，求证： ； （3）设 ，请探究： 的周长是否与 值有关？若有关，请用含有 的代数式表示 的周长；若无关，请说明理由． 【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。 【思考2】2009，西城，二模 △ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若 ＜∠PBC＜180°， 且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA， （1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数； （3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形． 【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有∠PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下~ 【思考3】2009，怀柔，二模 如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB= ． 点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN． （1）当BO=AD时，求BP的长； （2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由； （3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。 【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。 【思考4】2009，北京 在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1) （1）在图1中画图探究： ①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1​​绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明； ②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. 【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。 第三部分 思考题解析 【思考1解析】 （1）证明：∵ ，∴ ．∴ ． 又∵ ，∴ ． ∴ ．∴ ∽ ． （2）证明：如图，过点 作 EMBED Equation.3 ，交 于点 ， ∵ 是 的中点，容易证明 ． 在 中，∵ ，∴ ． ∴ EMBED Equation.3 ． ∴ ． （3）解： 的周长 EMBED Equation.3 ， ． 设 ，则 ． ∵ ，∴ ．即 ． ∴ ． 由（1）知 ∽ ， ∴ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ． ∴ 的周长 EMBED Equation.3 的周长 ． ∴ 的周长与 值无关． 【思考2答案】 解：（1）∠BPD= 30 °； （2）如图8，连结CD． 解一：∵ 点D在∠PBC的平分线上， ∴ ∠1=∠2． ∵ △ABC是等边三角形， ∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA， ∴ BP=BC． ∵ BD= BD， ∴ △PBD≌△CBD． ∴ ∠BPD=∠3．- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 ∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD， ∴ △BCD≌△ACD． ∴ ． ∴ ∠BPD =30°． 解二：∵ △ABC是等边三角形， ∴ BA =BC=AC． ∵ DB=DA， ∴ CD垂直平分AB． ∴ ． ∵ BP=BA， ∴ BP=BC． ∵ 点D在∠PBC的平分线上， ∴ △PBD与△CBD关于BD所在直线对称． ∴ ∠BPD=∠3． ∴ ∠BPD =30°． （3）∠BPD= 30°或 150° ． 图形见图9、图10． 【思考3解析】 解：（1）过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB= 得BE=3． ∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6， ∴AD=EC=BC－BE=3． 当BO=AD=3时， 在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP ∵ ,∴BH= ． ∴BP= ． （2）不存在BP=MN的情况- 假设BP=MN成立， ∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC. 过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB, ∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC- 设BO=x，则PO=x,由 ，得BH= , ∴BP=2BH= . ∴BQ=BP×cosB= ，PQ= ． ∴OQ= ． ∵△PQO∽△DOC，∴ 即 ，得 ． 当 时，BP= = ＞5=AB，与点P应在边AB上不符， ∴不存在BP=MN的情况. （3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6；------7分 情况二：⊙O与⊙C相内切，此时，0＜CN≤ .-------8分 【思考4解析】 解：（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直． 证明：如图1，设直线与直线的交点为． ∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． ②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直． （2）∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． 可得． 由（1）可得四边形为正方形． ∴． ①如图2，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴． ∴． ②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时， ∵， ∴． ∴． ③当点与点重合时，即时，不存在． 综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或． A D C B P M Q 60° C A D B 图2 图1 第25题 图8 图9 图10 A B C D O P M N A B C D （备用图） A B C D O P M N Q H F D C B A E 图1 G2 G1 P1 H P2 D G1 P1 H C B A E F 图2 F G1 P1 C A B E D H 图3 _1332709808.unknown _1334757782.unknown _1335006569.unknown _1335019422.unknown _1335019817.unknown _1335073160.unknown _1335073480.unknown _1335073570.unknown _1335073597.unknown _1337065183.unknown _1335073623.unknown _1335073586.unknown _1335073507.unknown _1335073412.unknown _1335073452.unknown _1335073243.unknown _1335073384.unknown _1335073178.unknown _1335073137.unknown _1335073142.unknown _1335073095.unknown _1335019588.unknown _1335019815.unknown _1335019816.unknown _1335019675.unknown _1335019814.unknown _1335019621.unknown _1335019467.unknown _1335019488.unknown _1335019428.unknown _1335018944.unknown _1335018973.unknown _1335019010.unknown _1335019418.unknown _1335018996.unknown _1335018952.unknown _1335018840.unknown _1335018938.unknown _1335018827.unknown _1334758033.unknown _1334992373.unknown _1335006527.unknown _1335006555.unknown _1335006564.unknown _1335006543.unknown _1334992377.unknown _1334992381.unknown _1334992383.unknown _1334992385.unknown _1334992379.unknown _1334992375.unknown 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