点到直线距离公式的几种证明方法

0 ：季124 1．- ● 靠 专 题 研 究 点到直线距离公式的几种证明方法 ◎包新安 (陕西省 西安 市第六十 六中学 710021) 【摘要】点到直线的距离公式是大家都熟悉的而且是非 常重要的公式，结合多年来教学的实际 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ，给出几种证明 方法 ，各个 方法有其优 点供我们 学 习和采纳．选 择不 同的方 法，对于学生的思维能力、探 究能力、计算能力、推理能力、 叙述表达能力 、创 新能力等都起 到 了很好 的训 练作用 ，同 时 对于培养学生 的学 习兴趣 起到 了良好 的作用 ，学生感 受到 不 同方法 的特 点，唤起 了进 一步探 究问题 的好奇 心和 强 烈 的求知欲望． 【关键词】距离公式；证明方法；学习兴趣 提起点到直线的距离公式，这是大家都非常熟悉的一 个公式 ，然而要给 出一个较好 的证 明方法 ，则未 必是大家 都 熟悉的问题．在教材的变化与改革过程 中不同时期各个版 本的教材都给出了不同的证 明方法，那是因为教材知识序 列的先后顺序不同 ，编者就选择 了不 同的证 明方 法．笔 者在 多年来的教学实践 中根据需要选择相应的方法，对于学生 的思维能力 、探 究 能力 、计 算 能力 、推 理 能力 、叙 述 表达 能 力、创新能力等都 起到了很好 的训 练作用 ，同时对于培养 学 生 的学 习兴趣起 到 了良好的作 用 ，学 生感受 到不 同方法 的 特点 ，唤起 了进一步探究问题 的好奇心和强烈 的求知欲望． 就下 列几种常 用方法加 以整 理 ，愿 给学生一 点小 小 的启 发 与帮 助． 在平面直角坐标系下，已知点 P( 。，Y。)，直线 l：Ax+ By+C：0，求证 ：P点到直线 z的距离d- ． √A +B 证明 1(解析 法 ) 令 经过 P( ，Y。)且 垂 直于 z：A + 日y+C=0的直线 为 f ：B( — 。)一A(Y—Y。)=0，垂 足 为 H( ，Y)， 由 邶 Y“ =。， j 枷 y“ ：。， 【曰( 一 0)一A(Y—Yo)=0 【Bx—Ay—Bx0+A =0． rA +ABy+AC=0， 由{ 。 j 【曰 — ABy—B 0+ABy0=0 ( +曰 ) =B 。一AByo—AC． fABx+B v+BC=0． 又由iABx—A 2一Y 一ABx。+A Y。：0j 【 一 一 0+ 0= (A +B )Y=A 2Yo—ABx0一BC． 所以Hf B 0一ABy0一AC A2Yo—ABx0一BC 』4 +B ’ A +B 1，求得 = B2x o -AB yo -AC )2+A2yo-ABxo-BC一 ) A (Byo+A 0+C) (A +B ) (Ax0+ 0+C) = = —————————————————————————————————一 A ．4-B B (Axo+By0+C) — 得到点 P到直线 z的距离 d：I刖 I一 ． ,／A +B 评述 解析法的优点是证明思路简单，想法学生容易 理解和接受，但是对学生的计算能力要求较高(普通高中课 程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 实验教科书《数学》(必修2)北京师范大学出版社教 材中只给出了计算程序⋯⋯)，特别是字母运算的能力．正 是利用这一点可 以加强对 学生运 算能 力 的锻 炼 ，是一 个极 好的机会，使学生感受到计算能力的重要性，对现行初中阶 段由于大量使用计算器削弱了学生这方面能力是个很好的 补充练习． 证明 2(几何法 ) 过 P( 。，Y。)作 轴的 平行线 ，交 直 线 f于点 R( 。，Y。)，作 Y轴 的平行 线 ，交 直线 f于点 S( 。， Y：)， ^ fAx1+By0+C=0， 一By0一C —Ax0一C 由{d +肌 +C一0 l A ，y2 — ～ ‘ 【A 0+B)，2+ = 所以 。 -=l f' -= - ={ I． IRsI= 丽 = AB IA 。+By。+CI， 由三角形面积关 系可得 d．1Rs lP R1．IPSI：=~d： ± A +B 评述 几何法 的优 点是借 助几 何直 观 ，较 大地减 少 了 计算量．通过直角三角形的面积关系建立点到直线距离和 三边的关系，尤其是直角三角形的直角边和坐标轴平行或 重合，使得计算容易，作为学生阅读是个好方法，也能使得 学生体会到数和形的结合对化解数学问题能起到良好的作 用．假如让学生 自己去想未必能发现这样一个方法． 证明 3(配凑 法 ) 令 经 过 P( 。，Y。)且 垂 直于 f：Ax+ )，+C=0的直 线 为 l ：B( — 。)一A(Y—Yo)=0，垂 足 为H( ，Y)． ． fAx+By+C =0， 由i ( )一A(y )：0 (下转 126页 ) 数学 学习与研究 2012。1 臻 。 ●一-I， ● ● 专 题 研 究 解析 由正四面体的图像的对称性可知，内切球的球 心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱 中 点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球 的球 心，所以每组对棱 间的距离 即为内切球的直径 ，于是有 ： 2r= 。，．·． =__4·订·f n)一= 盯。3． 问题 3 (湖北黄 冈麻城 博达 学校 2008届 三月综合 测 试 )正三棱锥 P—ABC的三条侧棱 两两垂 直，则这个 正三棱 锥 P—ABC的内切球 与外接球 的半径之 比为( )． A．1：3 B．1：(3+√j) c．(,／3+1)：3 D．(√3—1)：3 解析 如 图 ，不 妨 设 这 个 正 三棱锥侧棱长为 1，那 么它 的底 面 正三角形 的边长为√2．由于这个 正三棱锥的侧棱两两垂直，故能 将它补成长方体．显然，这个正三 一 棱锥与补成的长方体有同一个外 C 接球，．·．球半径 ： 1、／， =譬．这个正三棱锥的 体积 = ×PA×P曰×Pc= 1 ． 设 其 内切 球的球 心为 D， 半径 为 r，那／ , 1 r(s +5 。+s 。+S ZXABC)= 1 ． · ． ，s =s 。=s 。=÷，s⋯。=字( ) =譬， ． · ．÷r(÷+÷+÷+ )=÷． 于是r= ，素= ．龃 婚 豢 一 般 地 ，有 一个 三面 角 的各 个面 角都是 直 角 的 四 面体 叫 做直 角 四面 体．直角四面体有下列性质： 如 图，在 直 角 四面 体 AOCB 中 ， AOB： ／BOC= COA=90。．OA= Ⅱ，OB=b，OC=c，则 ： C 1．体积 V：-2 -abc． 2．外切球半径R=÷ ／。 +b +c ． 3．内切球半径 r= ． 应用 1 (书本 P91：ex7)P，A，B，C是球 O面上 的 四个 点，PA，PB，Pc两两垂直，且 PA=PB：PC=l，求球的体积 与表 面积． 应 用 2 (2008年福建 15)若 三棱 锥的三条侧棱两两垂 直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 — — ． 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 91T． 应用 3 (江西省鹰潭市 2008届高三第一次模拟 )三棱 锥 P—ABC的侧棱 ，P ，PC两两垂 直 ，侧面 面积分 别是 6，4，3，则三棱锥 的体 积是 ( )． A．4 B．6 C．8 D．10 答 案 A． 应用 4 (东北 区三省 四市 2008年第一 次联合考试 )四 面体 ABCD中 ，共顶点 A的三条 棱两两相 互垂直 ，且其 长分 别为 1，√石，3，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个 球的表面积为 — — ． 答案 16 ． (上接 124页) rA(x— o)+8(Y—Yo)=一Ax0一By0一C， ) l ( — 。)一A(y—Y。)=o． ② 由① +② ( 。+B )[( 一 。) +(y—Yo) ]=(一Ax。一By0一c) (gf--9％ y0) ： 、 丽 d： JPH I： ． ／A +口 评述 证法3实际上是一种代数方法，本人简单地称 之为配凑法．这是一个奇妙的证明方法，一般教材都没有这 种方法 ，这是笔者在 优化 解析法 (证 法 1)的 时候发 现并加 以整理出来的，就是改进了证法 1中求垂足的坐标，只是设 垂足但是并不需要求出来，即设而不求的思路，然后通过整 体解出( 一‰)：+(y— 。) = 二竺丢 ，达到了 证明的目的，学生感觉有一种非常奇妙的体会． 证明 4(向量 法) 可以取直 线 z：A + +c=o的方向 向量 为 =(B，一A)，即其法向量是 n=(A，B)，设 M(x，y) 是直线 Z上的任意一点 ，P =( 一 。，Y—Y。)，PM在 n上 的 射影是 Inl ： = ． 所⋯ I 1= ． 评述 用 向量 的工具解决一些疑难 问题往往 是事半功 倍 ，对于点到直线 的距离公式 的证明 自然也不 例外 ，显然是 这几种方法里面比较理想的一种，思路简洁，计算量小．但 是 由于教材知识序 列 的问题 ，有时 候往往 把它作 为 向量 的 应用列举 ，假如把向量的学习放到解析几何前面，就为证明 铺好 了路子 ，当然还需 要学 生熟练 地掌握 有关 向量 的知识 和方法． 总之 ，对于点到直线的距离公式 的证 明 ，本 人把常 用的 方法加以小结，根据我们的教学实际可以合理选择应用，不 妥之处敬请指教． 【参考文献l [1]全 日制普通高级中学教科书．《数学》第二册(上) 北京 ：人民教育 出版 社． [2]普通高中课程标准实验教科书．《数学》(必修 2) 北京 ：北京师范大学 出版 社． 数学学 习与研究 2012 1