非线性破坏准则对竖直边坡稳定性分析的影响

第 23 卷 第 4 期 岩石力学与工程学报 23(4)：592～596 2004年 2月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Feb.，2004 2002年 4月 9日收到初稿，2002年 6月 7日收到修改稿。 * 湖南省中青年基金(OOJZY2140)资助项目。 作者 杨小礼 简介：男，1971年出生，博士后，香港理工大学访问学者，主要从事岩土极限分析与隧道工程方面的教学和研究工作。E-mail：yangxl@csu. edu.cn。 非线性破坏准则对竖直边坡稳定性分析的影响* 杨小礼 李 亮 刘宝琛 (中南大学土木建筑工程学院 长沙 410075) 摘要 在上限分析理论基础上，研究非线性 Mohr-Coulomb 破坏准则下的竖直边坡稳定性问题。首先，通过“切 线法”引进变量；其次，根据上限定理对边坡稳定性问题建立含有变量的速度场，将稳定性问题变为含有多变量 的非线性规划问题；最后，根据“序列二次规划算法”求出上限非线性规划问题的最优解。通过上限解和前人的 研究成果的比较 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明，该方法是有效和正确的。 关键词 岩土力学，边坡稳定性，上限定理，非线性破坏准则，序列二次规划 分类号 TU 457 文献标识码 A 文章编号 1000-6915(2004)04-0592-05 INFLUENCES OF NONLINEAR FAILURE CRITERION ON STABILITY ANALYSIS OF VERTICAL CUT USING NONLINEAR SQP ALGORITHM Yang Xiaoli，Li Liang，Liu Baochen (College of Civil and Architectural Engineering，Central South University， Changsha 410075 China) Abreast A new technique is described for computing rigorous upper bound on stability factors of vertical cut under the condition of plane strain. A perfectly plastic soil model is assumed. The failure of soil is governed by nonlinear yield criterion. Sequential quadratic programming(SQP) is used in conjunction with the limit analysis of classical plasticity theory. A new kinematically admissible velocity field is constructed. When using linear failure criterion that exceeds the actual nonlinear failure criterion，the stability factor formulation of the upper bound theorem leads to a classical nonlinear programming problem，where the objective function，which is to be minimized，corresponds to the dissipated power. The upper bound optimization problem may be solved efficiently by applying a nonlinear SQP algorithm，and stability factors are obtained，which agree well with previous achievements. Key words rock and soil mechanics，slope stability，upper bound theorem，nonlinear failure criterion，sequential quadratic programming 1 前 言 在边坡稳定性分析中，极限平衡法已得到广泛 应用，但是，一般无法确保它的解答是精确解答的 上限还是下限。然而，极限分析中的上限定理和下 限定理得到的解答为精确解答的上限和下限。因此， 该方法越来越得到广泛应用。对于线性 Mohr- Coulomb 破坏准则下的边坡稳定性问题，已有许多 学者利用极限分析理论进行了研究和探讨[1～3]。 但是，在许多实际工程问题中，岩土介质服从 非线性破坏准则，而传统极限分析公式中所含参数 是线性破坏准则中的抗剪强度指标。同时，许多实 验数据[4～6]也表明，岩土介质破坏准则具有非线性， 第 23卷 第 4期 杨小礼等. 非线性破坏准则对竖直边坡稳定性分析的影响 • 593 • 线性破坏准则是其中的特例。此时，传统的上限定 理不再适用。因而，寻求合适的方法求解非线性破 坏准则下岩土材料的极限分析问题是人们面临的主 要问题。为此，本文利用极限分析理论对非线性屈 服下的岩土边坡稳定性问题进行了详细分析。 2 非线性破坏准则 在岩土工程中常常采用线性 Mohr-Coulomb 强 度准则，在这个强度准则中，最大主应力 1s 和最小 主应力 3s 呈线性关系，其表达式为 3pp1 ss Mq += (1) 式中： 1s 和 3s 分别为破坏时的大、小主应力； pq ， pM 与岩土的抗剪强度指标 c，j之间的关系为 )sin1/()sin1(p jj -+=M )sin1/(cos2p jj -= cq 实际上，实验表明，在软弱的围岩中，特别是 在土中，最大主应力 1s 和最小主应力 3s 的关系是非 线性关系，而线性关系是其中的特例。1966 年， Hobbs 首次提出 Power law非线性强度准则；1974 年，Ladanyi在 Griffith裂纹理论(crack theory) 的基 础上提出新的非线性准则；1978 年，Kennedy & Lindberg 采用分段线性理论逼近非线性准则；1983 年，Brown 在前人成果的基础上提出 Hoek-Brown 准则；文[4]在对无粘性的砂土进行三轴实验时发现 破坏时的大、小主应力关系是非线性的；文[5，6] 分别对 2种不同的岩石在不同的侧限条件下进行三 轴实验发现，破坏时，线性 Mohr-Coulomb 强度准 则过高估计了岩土屈服时的大主应力，屈服面上的 最大主应力和侧限压力(小主应力)也是非线性关 系，其非线性曲线可用下式描述： ass )/( p3 * pp1 qMq += (2) 式中： *pM 和a 为由三轴实验确定的参数。式(2)是 Bieniawski于1974年首次提出的，它是在线性Mohr- Coulomb 强度准则的基础上发展起来的。在应力空 间 )( nst， 中，式(2)的等价表达式为 mc 1 tn0 )/1( sst += (3) 将表达式(3)绘制成曲线如图 1所示。在图 1和 式(3)中， 0c 为曲线与纵轴的截距， 0c ， ts ，m 为 岩土材料参数。当 1=m 时，式(3)变成线性 Mohr- Coulomb破坏准则。 图1 非线性破坏准则的切线 Fig.1 The tangential line for a nonlinear failure criterion 3 非线性破坏准则下的上限分析 3.1 基本原理 设物体 V 中存在体积力 iF 以及物体表面存在 表面力 iT 。根据虚功率原理，对于一个理想刚塑性 体，任意一组静力容许的应力场 0ijs 和任意一组机动 容许位移速度场 *iv ，外力的虚功率等于物体所能接 受的虚变形功率，即 vvvFAvT ijA v ijv iiii ddd * 0 ** es &ò òò =+ (4) 式中： *ije& 由 *iv 依照几何方程求得。 在虚功率原理的基础上可推导出上限定理为： 在所有的机动容许的塑性变形速度场相对应的荷载 中，极限荷载为最小[1]。在结构的上限分析时，提 高材料的屈服强度不会降低结构的极限荷载，其实， 众多的学者在上限分析时，已经采纳过这种思想。 在文 [3]中，线性 Mohr-Coulomb 破坏准则在以 yxX ss -= 为横轴，以 xyY t2= 为纵轴的坐标系中， 可表示成一个以原点为圆心，以 R = -q[cos2c ]sin)( qss yx + 为半径的圆域。为了便于问题的上限 分析，文[3]采用外切正多边形，这种方法实际上就 是提高了材料的屈服强度。因此，若采用的屈服强 度超过材料的真实屈服强度时，则在该屈服强度下， 任意一组机动容许速度场对应的上限解均为极限荷 载(对应真实的屈服强度)的上限。 基于上述思想，对非线性破坏准则下的上限分 析可采用“切线法”，以提高岩土材料强度为手段来 分析结构物的上限解。考察图 1中由切线 L确定的 线性破坏准则，L 为经过非线性破坏准则上的某一 点并与其外切的切线方程，若曲线的曲率随 ns 的增 加而逐步减少，则切线完全位于曲线的外侧，位于 直线破坏准则上的所有点，其对应的材料强度也相 应提高。因此，在直线破坏准则下(这里指外切线) 的上限解一定为真实极限荷载(这里指非线性破坏 准则对应的极限荷载)的上限。 t j t c t c 0 sn L • 594 • 岩石力学与工程学报 2004年 表达式(3)的切线方程为 ntt tan sjt += c (5) 式中： tc ， ttanj 分别为切线的斜率和截距，如图 1 所示。 tc ， ttanj 的表达式为 tt 1 1 0 tt 0t tan tan1 js js +÷÷ ø ö çç è æ- = -m c m c m m c (6) m m c m - ÷÷ ø ö çç è æ +== 1 t n 0 tn t 1 1 d d tan s s ss t j (7) 下面采用平动机制讨论非线性破坏准则下边坡 稳定性问题的上限解，并把它与线性破坏准则下的 上限解相比较。 3.2 上限分析 图 2为竖直边坡示意图。由于土体承受的拉力 很小，在自身重力作用下的边坡有向下滑动的趋势， 因此，在坡顶的一定区域内，会出现拉应力状态， 即在坡顶区会出现拉裂缝。下面构造有拉裂缝时， 存在向下滑动的速度场。假定竖直拉裂缝的深度为 nH (0≤n≤1)，滑面与竖直线的夹角为 b ( b为待定 量)。滑动体的速度矢量与滑面的夹角为 tj ，( tj 为 待定量)。在滑动面 AB两侧的土体均为刚体。 图 2 竖直边坡示意图 Fig.2 Diagram of a vertical cut 现在利用上限定理求竖直边坡在非线性破坏准 则下的上限解。边坡处于平面应变状态，计算时取 单位厚度。在滑动面 AB 的左侧和右侧为刚体，无 变形能消散；外力的功率为重力功率，内能仅在滑 动面 AB 消散。根据虚功率原理，重力的虚功率为 重 量 2/)1(tan 22 nH -bg 与 竖 直 速 度 分 量 )cos( t bj +v 的乘积，即 )cos()1(tan5.0 t 22 bjbg +-= vnHw外& (8) 沿着速度间断线 AB 产生的内能消散等于：沿 速度间断线的切向速度 tcosjv 乘以岩土材料的粘 聚力 tc ，再乘以速度间断线 AB 的长度 /)1( nH - bcos ，即 tt cos)1( cos j b vn H cw -=内& (9) 当外力的功率等于内能消散时，可由 内外 ww && = 得 )cos(sin cos )1( 2 t tt bjb j g ++ = n c H (10) 对式 (10)求导，由 0d/d =bH 得 -p= 4/crb 2/tj ，然后将它代入式(10)后整理得 ÷ ø ö ç è æ += + 2 45tan 4 )1( t t jg ocnH (11) 从式(11)可看出，当 0=n 时，边坡能承受拉力， 此时边坡的临界高度为 gj ÷ ø ö ç è æ += 2 45tan4 tt ocH 的 最小值；当 1=n 时，边坡不能承受拉力，此时边坡 的临界高度为 gj ÷ ø ö ç è æ += 2 45tan2 tt ocH 的最小值， 即不能承受拉力竖直边坡的临界高度为能承受拉力 边坡临界高度的一半。将式(7)代入式(11)，得 × ú ú ú û ù ê ê ê ë é +÷÷ ø ö çç è æ- = + - tt 1 1 0 tt 0 tan tan1 4 )1( js jsg m c m c m mnH ÷ ø ö ç è æ + 2 45tan t jo (12) 对式(12)整理后得 × ú ú ú û ù ê ê ê ë é +÷÷ ø ö çç è æ- = + - tt 1 1 0 tt 0 tan tan1 4 )1( js jsg m c m c m mnH )tan1(tan t 2 t jj ++ (13) 从理论上讲，对式(13)求导，由 0)(tand/d t =jH 和 0tan t＞j 这一条件可求得 H的最小值，即边坡的 临界高度 crH 。但完成这一过程困难较大，因为 式(13)有时无极值点，即使有极值点，在极值点处 还需要满足 0tan t＞j 条件。为了避免这一困难，这 里采用非线性 SQP 优化方法(sequential quadratic programming method)对式(13)求最小值。在非线性 破坏准则下，边坡的稳定性系数 sN 定义为 tcrs / cHN g= (14) 3.3 SQP优化方法 具有约束条件的非线性规划是规划问题最困难 的优化问题之一。20 世纪 60 年代，比较成功的代 表方法，是基于罚函数和障碍的序列无约束最优化 H 刚体 刚体 nH j t b B A 第 23卷 第 4期 杨小礼等. 非线性破坏准则对竖直边坡稳定性分析的影响 • 595 • 方法(简称 SUMT法)，把求解一个有约束的最优化 问题转化为一序列无约束的最优化问题。但这类方 法有某些缺点，不是十分有效。后来，针对 SUMT 法的缺点，Powell，Hestenes 等人提出乘子法，另 外，还有恰当罚函数法，尽管它面临非光滑函数最 优化的难题，但因为只需要解一个无约束最优化问 题，所以还是很吸引人的。进入 70年代末，Powell 和Han将无约束最优化问题的拟牛顿法推广到约束 最优化问题，发展了序列二次规划算法(简称 SQP 法)，被称为有约束问题的变尺度法或拉格朗日-牛 顿法。经过前人的数值实验表明，SQP法在整体上 收敛，同时，局部收敛超过 1次，比乘子法优越。 当然，还有许多其他的非线性优化方法，它们在求 不同类型的问题时显示其优势。SQP法也有各种各 样的实施方法，这里采用的 SQP法是由文[7，8]提 出的。 下面简单阐述 SQP法。设非线性规划的目标函 数和约束方程如下： ï þ ï ý ü += == ) 1(0 )( ) 2 1(0)(s.t. )(min mmixc mixc xf ei ei ，， ，，， L L (15) 式中：目标函数 )(xf 和所有的 )(xci 均为 nR 中的二 阶连续可微函数，它们主要通过以下措施实现的： (1) 保证 SQP优化方法具有局部收敛性。对式 (15)的目标函数和等式约束方程进行拉格朗日变换 得 å = -= m i ii xcxfxL 1 )()()( ll， (16) 式中： T21 ) ( mlll ，，， L=l 为拉格朗日乘子向量。 要求出拉格朗日函数 )( l，xL 的局部稳定解，它需 要满足下列条件： 0 )( )()( )( =ú û ù ê ë é - Ñ-Ñ =Ñ xc xcxf xL l l， (17) 将式(17)按台劳级数在点 )( kkx l， 处展开，并省略高 阶项得 =ú û ù ê ë é - - ú û ù ê ë é Ñ- Ñ-Ñ k k k kkk x xx xc xcxL ll l 0)( )(),( T 2 ú û ù ê ë é Ñ+Ñ- )( )()( k kkk xc xcxf l (18) 对式(18)稍作化简，并以 Hesse 矩阵(即 kB 矩阵)近 似地代替 )(2 kkx xL l，Ñ ，得 ú û ù ê ë é Ñ- =ú û ù ê ë é -úû ù ê ë é Ñ- Ñ- )( )( 0)( )( T k k êk kk xc xfd xc xcB ll (19) 式中： kxxd -= 。式(19)是修正的牛顿迭代计算公 式，由二次规划理论知，它可解决下列二次规划问 题： ï ï þ ïï ý ü +=+Ñ ==+Ñ Ñ+ ) 1( 0 )()( ) 2 1( 0)()( s.t. )(5.0 min T T TT mmixcdxc mixcdxc dxfdBd e k i k i e k i k i kk ，， ，，， L L (20) 在每次迭代中，可通过逐步计算式(20)的解而 得到式(15)的局部稳定解。 (2) 保证 SQP优化方法具有整体收敛性。为了 能得到式(15)的最优解，仅有局部稳定解还是不够 的，为此，Powell 等学者通过对式(15)的罚函数进 行一维搜索来保证 SQP优化方法具有整体收敛性。 所谓罚函数就是由目标函数和反映可行性程度的一 个指标相结合的函数，至今有过多种定义。这里对 式(15)采用如下形式的罚函数： ïþ ï ý ü ïî ï í ì ++= å å = += e e m i m mi iir xcxcrxFxF 1 1 )](0min[)()()( ， (21) 式中： 0＞r 是罚因子；[ ]中的项为点 x的可行性程 度，若 x是式(15)的可行点，则此项之值为零，随着 点 x远离可行域，它取得更大的值。 设罚因子 r 是固定的充分大的正数，并假定二 次规划式(20)的目标函数的系数矩阵，即 Hesse矩阵 是正定对称的。此时，式(20)的最优解 kd 是在点 )( kx 处的函数 )( kr xF 的下降方向，即以下不等式成立： 0)( ＜kr xF ¢ (22) 所以，由沿 kd 方向进行对 )( kr xF 的一维搜索，可以 求得满足条件： )()( kr dkk r xFdtxF ＜+ (23) 的步长 0＞kt 。于是，若取下一个迭代点为 kkkk dtxx +=+1 ，则目标函数的序列 )}({ kxf 是单调 递减的。 3.4 与文[9]的结果比较 算例：设某竖直边坡的土体服从非线性破坏准 则，为了便于问题的比较分析，在这里仍然采用文 [9]的非线性破坏准则，其表达式见式(3)。岩土材料 参数 900 =c kPa， 3.247t =s kPa，m分别为 1.0， 1.2，1.4，1.6，1.8，2.0和 2.5，岩土能承受一定的 ≥ ≥ • 596 • 岩石力学与工程学报 2004年 拉力， 0=n ，求该竖直边坡的临界高度。该算例 与文[9]的算例相同。表 1为本文非线性 SQP优化方 法计算结果与文[9]的比较情况。从表 1看出，本文 的计算结果与文[9]的结果相差很小，最大误差不超 过 4%。 表 1 竖直边坡稳定性系数 Ns(c0 = 90 kPa，s t = 247.3 kPa) Table 1 Stability coefficient Ns of vertical cut with c0 = 90 kPa，s t = 247.3 kPa m 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.5 文[9]计算的 Ns 5.510 5.130 4.890 4.730 4.600 4.520 4.350 本文计算的上限 解 +sN 5.510 5.312 5.059 4.885 4.759 4.665 4.505 误差/% 0 3.55 3.46 3.28 3.45 3.21 3.56 4 结 论 上限定理是求解边坡稳定性问题的一种有效工 具。由于土体破坏准则具有非线性，其应用范围受 到限制。本文在上限定理的基础上，将“切线法” 与非线性“序列二次规划”优化方法相结合，使在 非线性屈服下求解边坡稳定性问题成为可能，为上 限定理的广泛应用开辟了新的途径。通过数值计算， 得出如下结论： 在上限分析时，首次提出“切线法”与非线性 “序列二次规划”相结合的计算方法，并计算出非 线性破坏准则下的边坡稳定性系数，它与前人的研 究成果一致，这说明本文提出的方法是有效的和正 确的。 参 考 文 献 1 Chen W F. Limit Analysis and Soil Plasticity[M]. Amsterdam： Elsevir Science，1975 2 Bottero A，Negre R. Finite element method and limit analysis theory for soil mechanics problems[J]. Comp. Methods in Appl. Mech. of Engrg.，1980，22(2)：131～149 3 Sloan S W，Kleeman P W. Upper bound limit analysis using discontinuous velocity fields[J]. Comp. Methods in Appl. Mech. of Engrg.，1995，127(3)：293～314 4 Lade P V. Elasto-plastic stress-strain theory for cohesionless soil with curved yield surface[J]. Int. J. Soilds Struct.，1977，13(11)： 1 019～1 035 5 Santarelli F. Theoretical and experimental investigation of the stability of the axisymmetric borehole[Ph.D. thesis][D]. London： University of London，1987 6 Agar J G，Morgenstern N R，Scott J. Shear strength and stress-strain behaviour of Athabasca oil sand at elevated temperatures and pressure[J]. Can. Geotech. J.，1985，24(1)：1～10 7 Powell D. The covergence of variable methods for nonlinearly constrained optimization calculations[A]. In：Mangasarian O L， Meyer R R，Robinson M，ed. Noninear Programming 3[C]. New York：Academic Press，1978，27～63 8 Powell D. A fast algorithm for nonlinear constrained optimization calculations numerical analysis[A]. In：Watson A ed. Program- ming[C]. Austria：Springer，1978，144～157 9 Zhang X J，Chen W F. Stability analysis of slopes with general nonlinear failure criterion[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. 1987，11(1)：33～50 下期《岩石力学与工程学报》主要发表下列内容的文章： (1) 边坡潜在滑面的确定； (2) 岩样扩容与破坏准则的研究； (3) 水-岩作用的渗流模型与岩体强度参数的确定； (4) 合理的支护设计及锚索荷载-变形分析； (5) 岩石动力学问题的研究； (6) 岩石力学研究中若干问题的综述分析； (7) 研究进展与工程实录。 下期内容预告