七
年级
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数学培优班暑期讲义
七年级数学培优班
暑期讲义
第一章 有理数
§1.有理数的相关概念
整数和分数统称为有理数,有理数又可分为正有理数,0和负有理数.
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.
只有符号不同的两个数称互为相反数.例如
和
互为相反数,即
是
的相反数；
是
的相反数.
在数轴上表示数
的点与原点的距离叫做数
的绝对值,记作
.例如,在数轴上表示
的点与原点的距离是5,所以
的绝对值是5,记作
.一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数.
这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容,必须牢固掌握.
例1. 峨眉山上某天的最高气温为12
,最低气温为
,那么这天的最高气温比最低气温高（ ）
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
例2. 下列说法正确的是（ ）
A. 一个有理数不是整数就是分数
B. 正整数和负整数统称整数
C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数
D. 0不是有理数
例3．数
在数轴上的位置如图,下列判断正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
例4. 说出下列各数的相反数：
16,－3,0,
,0.001,
,
,
.
例5. 如图,若数轴上
的绝对值是
的绝对值的3倍,则数轴的原点在 点 .（填“A”、“B”、“C”或“D”）
练习一
1．有如下四个命
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
：①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；③两个符号相反的分数之间至少有一个整数；④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数.其中真命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 下列说服中正确的是（ ）
A. 正整数和负整数统称为整数
B. 正数和负数统称为有理数
C. 整数和分数统称为有理数
D. 自然数和负数统称为有理数
3. 以下四个判断中不正确的是
A. 在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数
B. 两个有理数互为相反数,则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称
C. 两个有理数不等,则他们的绝对值不等
D. 两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等
4. 下面四个命题中,正确的是( )
A. 一切有理数的倒数还是有理数
B. 一切正有理数的相反数必是负有理数
C. 一切有理数的绝对值必是正有理数
D. 一切有理数的平方是正有理数
5. 在数轴上,点A对应的数是－2006,点B对应的数是＋17,则A、B两点的距离是（ ）
A. 1989 B. 1999 C. 2013 D. 2023
6. 如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3. 先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数－2006将与圆周上的数字 重合.
7. 下列说法中错误的是（ ）
A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.
B. 数轴上原点表示数0.
C. 数轴上点
表示
,从
点出发,沿数轴上移动2个单位长度到达
点,则点
表示
.
D. 在数轴上表示
和
的两点之间的距离是5.
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 有最大的整数 B. 有最小的负数
C. 有最大的正数 D. 有最小的正整数
练习二
1. 如果n是大于1的偶数,那么n一定小于它的
A. 相反数 B. 倒数 C. 绝对值 D. 平方
2. If we have
.and a+6>O,then the points in real number axis,given by a and b,can be represented as( )
(英汉词典point：点．real number axis：实数轴．represent：表示．)
3. 有理数a,b,c大小关系如图,则下列式子中一定成立的是
A. a+b+c>0 B. c>|a+b|
C. |a-c|=|a|+c D. |b-c|>|c-a
4. 如果a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,则下列说法中可能成立的是
A. a,b是正数,c<0 B. a,c是正数,b<0
C. b,c是正数,a<0 D. a,c是负数,b>0
5. 如果
,那么下列不等式中成立的是
A.
B.
C.
D.
6.
为有理数,下列说法中正确的是
A.
为正数 B.
为负数
C.
为正数 D.
为正数
7. 若a
公式
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等正确、迅速地进行运算．不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性．
四则运算对有理数是封闭的,即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不能为0）,其结果还是有理数.有理数可以比较大小,任意两个有理数之间都有无穷多个有理数.
有理数计算中常用到的一些等式如下：
（1）
；（2）
；（3）
（4）
；（5）
；
（6）
例1：计算：
实践练习：
1、计算：
2、计算：
3、计算：
例2.（1）计算：
（2）计算：
实践练习：
1、计算：
2、计算：1
－
＋
－
＋
－
3、计算：
例3.计算：
实践练习：
1、计算：
2、计算：
3、计算：
练习四
1、计算：
2、计算：
3、计算：1
－
＋
－
＋
－
4、计算：
5、计算：
6、计算：
7、计算：
8、1999减去它的
,再减去余下的
,再减去余下的
,…,依此类推,一直减去余下的
,那么最后剩下的数是多少?
第二章 整式
§1．单项式：
1.单项式的概念
由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a,5.
判断下列各代数式哪些是单项式?
(1)
； (2)abc； (3)b2； (4)－5ab2； (5)y； (6)－xy2； (7)－5.
2.单项式系数和次数
单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.说出下列四个单项式
a2h,2πr,abc,－m的系数和次数.
例1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由；如是,请指出它的系数和次数.
①x＋1； ②
EMBED Equation.3 ； ③πr2； ④－
a2b.
例2.下面各题的判断是否正确?
①－7xy2的系数是7； ②－x2y3与x3没有系数； ③－ab3c2的次数是0＋3＋2；
④－a3的系数是－1； ⑤－32x2y3的次数是7； ⑥
EMBED Equation.3 πr2h的系数是
.
注意：
①圆周率π是常数；
②当一个单项式的系数是1或－1时,“1”通常省略不写,如x2,－a2b等；
③单项式次数只与字母指数有关.
§2．多项式
1．列代数式：
(1)长方形的长与宽分别为a、b,则长方形的周长是 ；
(2)某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生 人_______；
(3)图中阴影部分的面积为_________；
(4)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头 个,脚 只.
2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别.
(1)2(a＋b); (2)21＋x ; (3)a＋b ; (4)2a＋4b .
几个单项式的和叫做多项式(polynomial).在多项式中,每个单项式叫做多项式的项(term).其中,不含字母的项,叫做常数项(constant term).例如,多项式
有三项,它们是
,－2x,5.其中5是常数项.
一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式
是一个二次三项式.
单项式与多项式统称整式(integral expression).
注意：
(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的次数为最高次项的次数.
(2)多项式的每一项都包括它前面的符号.
例1.判断：
①多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3、a2ｂ、ab2、b3,次数为12；
②多项式3n4－2n2＋1的次数为4,常数项为1.
例2.指出下列多项式的项和次数：
(1)3x－1＋3x2； (2)4x3＋2x－2y2.
例3.指出下列多项式是几次几项式.
(1)x3－x＋1； (2)x3－2x2y2＋3y2.
例4.已知代数式3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式,求m、n的条件.
课堂练习：
①填空：－
a2b－
ab＋1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项为 ,常数项为 ,写出所有的项 .
②已知代数式2x2－mnx2＋y2是关于字母x、y的三次三项式,求m、n的条件.
§3．多项式的升(降)幂排列
请运用加法交换律,任意交换多项式x2＋x＋1中各项的位置,可以得到几种不同的排列方式?在众多的排列方式中,你认为那几种比较整齐?
1．升幂排列与降幂排列：
有两种排列x的指数是逐渐变大(或变小)的.我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列.
例如：把多项式5x2＋3x－2x3－1按x的指数从大到小的顺序排列,可以写成－2x3＋5x2＋3x－1,这叫做这个多项式按字母x的降幂排列.
若按x的指数从小到大的顺序排列,则写成－1＋3x＋5x2－2x3,这叫做这个多项式按字母x的升幂排列.
例1.五个学生上前自己选一张卡片,根据老师要求排成一列,并把排列正确的式子写下来.
例如：
按x降幂排列：
例2.把多项式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升幂排列.
例3.把多项式a3－b3－3a2b＋3ab2重新排列.
(1)按a升幂排列； (2)按a降幂排列.
想一想：
观察上面两个排列,从字母b的角度看,它们又有何特点?
例4.把多项式－1＋2πx2－x－x3y用适当的方式排列.
例5.把多项式x4－y4＋3x3y－2xy2－5x2y3用适当的方式排列.
(1)按字母x的升幂排列得： ；
(2)按字母y的升幂排列得： .
小结：
对一个多项式进行排列,这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来方便.在排列时我们要注意:
(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动；原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；
(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.
§4.同类项
创设问题情境
⑴、5个人+8个人=
⑵、5只羊+8只羊=
⑶、5个人+8只羊=
观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类.
8x2y,－mn2, 5a,－x2y, 7mn2,
, 9a, －
, 0, 0.4mn2,
,2xy2
我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x2y与－x2y可以归为一类,2xy2与－
可以归为一类,－mn2、7mn2与0.4mn2可以归为一类,5a与9a可以归为一类,还有
、0与
也可以归为一类.8x2y与－x2y只有系数不同,各自所含的字母都是x、y,并且x的指数都是2,y的指数都是1；同样地,2xy2与－
也只有系数不同,各自所含的字母都是x、y,并且x的指数都是1,y的指数都是2.
像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(similar terms).另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的
、0与
也是同类项.
例1.判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)3x与3mx是同类项. ( ) (2)2ab与－5ab是同类项. ( )
(3)3x2y与－
yx2是同类项. ( ) (4)5ab2与－2ab2c是同类项. ( )
(5)23与32是同类项. ( )
例2.指出下列多项式中的同类项：
(1)3x－2y＋1＋3y－2x－5； (2)3x2y－2xy2＋
xy2－
yx2.
例3.k取何值时,3xky与－x2y是同类项?
例4.若把(s＋t)、(s－t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项.
(1)
(s＋t)－
(s－t)－
(s＋t)＋
(s－t)；
(2)2(s－t)＋3(s－t)2－5(s－t)－8(s－t)2＋s－t.
课堂练习：
1.请写出2ab2c3的一个同类项．你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?
2.若2amb2m+3n与a2n－3b8的和仍是一个单项式,则m与 n的值分别是______
§5.整式的加减
为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问：
①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔?
②若设软面抄的单价为每本x元,水笔的单价为每支y元,则这次活动他们支出的总金额是多少元?
可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所的结果都为(21x＋25y)元.
由此可得：把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
合并同类项的法则：
把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变.
例1.找出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5种的同类项,并合并同类项.
例2.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.
(1)2x2＋3x2=5x4； (2)3x＋2y=5xy； (3)7x2－3x2=4； (4)9a2b－9ba2=0.
例3.合并下列多项式中的同类项：
(1) 2a2b－3a2b＋0.5a2b； (2)a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3；
(3)5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(y－x)4.
例4.求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值,其中x=－3.
试一试：把x＝－3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便?
例1．化简下列各式：
(1)8a+2b+（5a－b）； （2）（5a－3b）－3（a2－2b）．
(2)计算：5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]+2x2y－xy2． [5xy2]
小结
去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“－”号时,括号连同括号前面的“－”号去掉,括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变,要变全都变．当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项．
学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.去括号法则顺口溜：去括号,看符号：是“+”号,不变号；是“―”号,全变号.
不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为：
（１）如果有括号,那么先去括号.（２）如果有同类项,再合并同类项.
例1.求整式x2―7x―2与―2x2+4x―1的差.
练习：一个多项式加上―5x2―4x―3与―x2―3x,求这个多项式.
例2.计算：―2y3+(3xy2―x2y)―2(xy2―y3).
例3.化简求值:(2x3―xyz)―2(x3―y3+xyz)+(xyz―2y3),其中x=1,y=2,z=―3.
复习题
1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式.
,4xy,
,
,x2+x+
,0,
,m,―2.01×105
2.指出下列单项式的系数、次数：ab,―x2,
xy5,
.
3.指出多项式a3―a2b―ab2+b3―1是几次几项式,最高次项、常数项各是什么?
4.化简,并将结果按x的降幂排列：
(1)(2x4―5x2―4x+1)―(3x3―5x2―3x)； (2)―［―(―x+
)］―(x―1)；
(3)―3(
x2―2xy+y2)+
(2x2―xy―2y2).
5.化简、求值：5ab―2［3ab―(4ab2+
ab)］―5ab2,其中a=
,b=―
.
6.一个多项式加上―2x3+4x2y+5y3后,得x3―x2y+3y3,求这个多项式,并求当x=―
,y=
时,这个多项式的值.
7．如果关于
的两个多项式
与
的次数相同,求
的值.
第三章 一元一次方程
§1.一元一次方程
1. 定义：
方程：含有未知数的等式称为方程.
一元一次方程：方程中只含一个未知数（元）,并且未知数的指数是1（次）,未知数的系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程. 如
,
.
解：解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.
2. 等式的性质：
性质1 等式两边加（或减）同一个不为0的数,结果仍相等.
如果
,那么
.
性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
如果
,那么
. 如果
（
）,那么
.
3. 同解方程和方程的同解原理：
(1) 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解,并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解,那么这两个方程是同解方程.
(2) 方程同解原理 Ⅰ：方程两边同时加上（或减去同一个数或同一个整式）,所得的方程与原方程是同解方程.
方程同解原理 Ⅱ：方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数,所得的方程与原方程是同解方程.
方程同解原理 Ⅲ：方程
与
或
是同解方程.
4. 解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项,化为最简形式
；(5) 方程两边同除以未知数的系数.
解一元一次方程没有固定的步骤,去分母与去括号要因题而异,灵活掌握,但是,不管采取什么顺序,都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理,使得到的方程与原方程同解.
5. 一元一次方程
的解由
的值确定：
(1) 当
时,方程有唯一的解
；
(2) 当
时,方程的解可为任意的有理数；
(3) 当
且
时,方程无解.
例1. 利用等式的性质解一元一次方程：
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
.
例2. 检验下列各数是不是方程
的解：
（1）
； （2）
； （3）
.
实践练习：
1. 解方程：（1）
； （2）
； （3）
.
2. 解方程：
.
列简易方程解决问题
例3. 根据下列条件列方程
（1）
的5倍比
的2倍大12； （2）某数的
比它的相反数小5.
实践练习：
1. 根据下列问题,列出方程,不必求解.
（1）把若干本
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
发给学生. 如果每人发4本,还剩下2本；如果每人发5本,还差5本. 问共有多少学生?
（2）某班50名学生准备集体去看电影,电影票中有1.5元的和2元的,买电影票共花88元,问这两种电影票应各买多少?
练习一
1. 解方程：（1）
； （2）
.
2. 假设关于
的方程
有无穷多个解,求
的值.
3. 若关于
的方程
的解是2,求
的值.
4. 若关于
的方程
的解是4,求
的值.
5. 某地电话拨号上网有两种收费方式,用户可以任选其一.
（1）计时制：0.05元/分；
（2）包月制：50元/月.
此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分,问用户每月上网多少小时,这两种收费方式所收费用一样?请列出方程.
6. 小李去商店买练习本,回来后告诉同学：店主跟我说,如果多买一些就给我8折优惠,我就买了20本,结果总共便宜了1.60元,你猜原来每本价格是多少?你能列出方程吗?
例4.某大型商场三个季度共销售DVD 2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍,第一个季度这家商场销售DVD多少台?
例5.某校高中一年级434名师生外出春游,已有3辆校车可乘坐84人,还需租用50座的客车多少辆?
实践练习：
1. 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果,如果每人分两箱,则剩余20箱,如果每人分3箱,则还缺20箱,这个工厂 有工人多少人?
2. 据某《城市晚报》报道,2004年2月16日,中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约,姚明作为麦当劳的形象代言人,三年共获酬金1400万美元,若后一年的酬金是前一年的两倍,并且不考虑税金,那么姚明第一年应得酬金为多少万美元?
例6.男女生有若干人,男生与女生数之比为4 : 3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求原来的男生和女生人数.
实践练习：
1. 已知
,
,求
的值.
2. 一个三位数的三个数字和是15,十位数字是百位数字的2倍,个位数字比十位数字的2倍还多1,求这个三位数.
例7. 甲、乙两人骑自行车,同时从相距45千米的两地相向而行,2小时相遇,甲比乙每小时多走2.5千米,求甲、乙每小时各走多少千米?
实践练习：
1. 一轮船在A,B两港口之间航行,顺水航行用3小时,逆水航行比顺水航行多用30分钟,轮船在静水中的速度是36千米/小时,问水流的速度是多少?
例8.宋宋班上有40位同学,他想在生日时请客,因此到超市花了17.5元买果冻和巧克力共40个,若果冻每20个15元,巧克力每30个10元,求他买了多少个果冻?
实践练习：
1. 一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺,其中蓝布料每俄尺3卢布,黑布料每俄尺5卢布,两种布料各买了多少俄尺?
2. 某单位开展植树活动,由一人植树要80小时完成,现由一部分人先植树5小时,由于单位有紧急事情,再增加2人,且必须在4小时之内完成植树任务,这些人的工作效率相同,那么先安排了多少人植树?
练习二
1. 甲、乙两站间的距离为365千米,一列慢车从甲站开往乙站,每小时行驶65千米；慢车行驶1小时后,另有一列快车从乙站开往甲站,每小时行驶85千米,快车行驶了几小时后与慢车相遇?
2. 某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,问这种商品的定价是多少?
3. 聪聪到希望书店帮同学们买书,售货员主动告诉他,如果用20元钱办“希望书店会员卡”,将享受八折优惠,请问在这次买书中,聪聪在什么情况下,办会员卡与不办会员卡一样?当聪聪买标价共计200元的书时,怎么做合算,办会员卡还是不办会员卡?
4. 有一列数为1,4,7,…,它的第
个数是多少?在这列数中取出三个连续数,其和为48,问这三个数分别是多少?
5. 若
是关于
的方程
的解,解关于
的方程
.
6. 当
取什么整数时,关于
的方程
的解是正整数?
7. 某制衣厂接受一批服装订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套服装,就比订货任务少生产100套；如果每天生产23套衣服,就可以超过订货任务20套,问这批服装的订货任务是多少套?原计划多少天完成?
8. 这里有一杯水,第一次倒出一半后又倒出10毫升；第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升,这时杯子空了,问杯子里原来有多少毫升水?
§2.一元一次方程复习
代数方程在初中代数中占有很重要的地位,而一元一次方程是代数方程中最基础的部分,高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解.因此,掌握好这部分内容,有助于我们学习一些复杂的方程.
一.方程及一元一次方程的概念
1.含有未知数的等式叫做方程.
2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
【例1】判断下列那些式子是方程,那些是一元一次方程.
(1)
; (2)
; (3)
; (4)
;
(5)
; (6)
(
是常数); (7)
;
(8)
; (9)
.
______________________是方程,____________________是一元一次方程.
【例2】(1)已知
是一元一次方程,则
_______________.
(2) 已知
是一元一次方程,则
_______________.
(3)若关于
的方程
是一元一次方程,则
_______________,
_________________.
【思考1】已知
是关于
的一元一次方程,则
_______________.
【思考2】在关于
的方程
中,解的情况:当
________时,方程有唯一解; 当
________时,方程无解; 当
________,
________时,方程有无数个解.
【例3】已知
,则代数式
______________.
【思考3】下列说法正确的是____________.
(1)如果
,那么
; (2) 如果
,那么
;
(3)如果
,那么
; (4) 如果
,那么
.
二.解一元一次方程
去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化1
【例4】解下列一元一次方程:
(1)
;
(2)
; (3)
;
(4)
; (5)
(6)
.
【例5】有四个数,其中三个数之和分别为
,求此四个数.
【例6】已知
,则
__________.
【例7】若关于
的方程
的解是整数,则
___________________.
1.解方程：
2.解方程：
3.解方程：
4解关于
的方程：
5.解关于
的方程：
6.解关于
的方程：
7.已知关于
的方程
有无数多个解,试求
的值.
8已知关于
的方程
有无数多个解,试求
的值.
9.已知方程
有两个不同的解,试求
的值.
10.关于
的方程
的根是
,求
的值.
11. 已知关于
的方程
的解是
,求
的值.
12.若关于
的方程
的解为正整数,求
的值.
13. 关于
的方程
和
是同解方程,求
的值.
14. 已知关于
的方程
和
是同解方程,求
的值.
15已知关于
的方程
仅有正整数解,并且和关于
的方程
是同解方程,若
,
,求出这个方程可能的解.
16.(1) 解方程：
(2) 解方程：
(3). 解方程：
(4). 解方程：
(5). 解关于
的方程：
(6). 解关于
的方程：
17. 已知关于
的方程
无解,试求
的值.
18. 关于
的方程
,分别求当
为何值时,方程：（1）有唯一解；（2）有无数多个解；（3）无解.
19. 若
是关于
的方程
的解,解关于
的方程
.
20. 当
取什么整数时,关于
的方程
的解是正整数?
21. 已知关于
的方程
和
有相同的根,求
的值
§3. 一元一次方程的应用
知识要点
1.列出一元一次方程解应用题的一般步骤是：
（1）弄清题意和题目中的已知数、未知数及数量关系.用字母（如
）表示题目中的一个未知数.
（2）找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.
（3）根据这个相等关系列出需要的代数式,从而列出方程.
（4）解这个方程,求出未知数的值.
（5）检验、写出答案（包括单位名称）.
设未知数可分为直接设未知数、间接设未知数两类.直接设未知数指题目中为什么就设什么.它多适用于要求的未知数只有一个的情况.间接设未知数,顾名思义就是问东设西,迂回前进,如求整体时,可先设其某部分为
；求部分时,又可设其整体为未知数；求速度时,先设路程为未知数；求工作时间时设工作效率为未知数.
解完方程后要检验方程的解作为应用题的答案是否合理.
2．几类应用题常用的策略
（1）和、差、倍、分问题：抓住关键词列方程.
（2）形积变化问题：利用各种几何图形的面积、体积公式,列出相等关系.
（3）行程问题
（i）相遇（相向）问题：双方所走路程之和=全部路程
（ii）追及（同向）问题：如甲从相同出发点追及乙,则相等关系一般是：甲所走路程＝乙所走路程.
（iii）航行问题：注意航行速度与水（风）速的关系：
顺水速度＝船在静水中的速度＋水流速度；
逆水速度＝船在静水中的速度－水流速度；
行程中的基本关系是
,其中
表示距离,
表示速度,
表示时间.
（4）调配问题：其等量关系反映在调动前后的数量关系上.抓住“相等”、“几倍”、“多”、“少”等词语常可找出相等关系.
（5）按比例分配问题：若已知两个量之比是
,则可设其中一份为
,两量分别为
,
.
（6）工程问题,基本数量关系是：工作量＝工作效率×工作时间.若工作量未给出具体数量,则常设为“1”.
（7）浓度配比问题：基本数量关系是
溶液重量＝溶质重量＋溶剂重量
（8）商品销售问题：利润＝售价－进价
售价＝标价×销售折扣
（9）数字问题：注意区分“数”和“数字”两个概念.多用间接设元的方式,设某一数位上的数字为
,其他数位上数字用它的代数式表示.在数的表示中,注意各位上的数为10的幂的形式.
列方程解应用题是代数中的重要内容之一,列出一元一次方程解应用题是数学联系实际解决实际问题迈出的重要一步.
例1.一队学生从甲地到乙地,速度为每小时8千米,当行进2千米路后,通讯员奉命回到甲地取东西.他以每小时10千米的速度回甲地取了东西后,立即以同样速度追赶队伍,结果在距乙地3千米处追上队伍.求甲、乙两地的距离（取东西的时间不计）.
实践练习
1. 一个人骑自行车从甲地到乙地,如果每小时走10千米,下午1点钟才能到达；如果每小时走15千米,上午11点钟就能到达. 要在中午12点钟到达乙地,他每小时要走多少千米?
2. 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行. 若甲先出发2小时,则在乙动身2.5小时后两人相遇；若乙先出发2小时,则甲动身3小时后两人相遇. 求甲、乙两人的速度.
3. 有一架飞机,最多能在空中连续飞行4小时,它在飞出与返回时的速度分别为950千米/时和850千米/时.问这架飞机最远飞出多少千米能返回（答案只保留整数部分）.
例2.一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶,由乙至甲是逆水行驶.已知船在静水中的速度为每小时8千米,平时顺行与逆行所用时间比为1:2.某天恰逢暴雨,水流速度变为原来的2倍,这条船往返共用9个小时,那么甲、乙两港相距多少千米?
实践练习
1. 一只小船从甲地到乙地往返一次共用了2小时. 回来时顺水,比去时的速度每小时多行驶8千米,因此,第二小时比第一小时多行驶6千米. 那么甲、乙两地的距离是多少千米?
例3.某商店一种商品的进价降低了8%,而售价保持不变,可使得商店的利润提高10%,问原来的利润率是百分之几?
实践练习
1. 某商品的进价是1000元,标价是1500元,商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售,售货员最低可以打几折出售此商品?
2. 某商品的售价为每件900元,为了参与市场竞争,商店按售价的九折再让利40元销售,此时仍可获利10%,此商品的进价是多少元?
例4.一个三位数三个数字和是24,十位数字比百位数字少2.如果这个三位数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数,而这个三位数三个数字的顺序与原来三位数的数字的顺序恰好相反,求原来的三位数.
实践练习
1. 今有一个三位数,其个位数字比百位数字多1,十位数字比百位数字的两倍还多1,如将此三位数的各位数字重新排列,比可得到一个最大数和一个最小数（仍是三位数）,且最大数与最小数的差为原来三位数,求这个三位数.
例5.我们在运动场上踢的足球大多是由许多小黑白块的皮缝合而成的.小李和小王两位同学,在踢足球的休息之余数起足球上的黑、白块的个数,结果发现黑块均呈五边形,白块均呈六边形（如图）.由于黑、白相间,小李好不容易才数清了黑块共12块,而小王数白块时不是重复就是遗漏,无法数清白块的个数,你能帮助他解决这一问题吗?
实践练习
1. 如图为一个阶梯的纵截面,一只老鼠沿长方形的两边
的路线逃跑,一只猫同时沿阶梯（折线）
的路线去捉,结果在距离
点1.5米的
点处,猫捉住了老鼠. 已知老鼠的速度是猫的
,问：阶梯
的长度.
课后练习
1. 从A地步行到B地,然后再返回原地,路上共花了3小时41分钟,由A到B的道路先是上坡,中间是平地,然后是下坡.如果步行速度上坡是4千米/时,平地是5千米/时,下坡是6千米/时,AB的距离是9千米,问中间平地的路程有多少千米?
2. 小船运木材,逆流而上,在码头掉下一块木材,10秒后,小船掉头追木材（掉头时间不计）,再经过几秒才能追上这块木材?
3. 一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱,它的高是多少?（精确到0.1厘米,π取3.14）
4. 从甲地到乙地的长途汽车原来需行驶7个小时,开通高速公路后,路程近了30千米,而车速平均每小时增加了30千米,只需4小时即可到达.求甲乙两地之间高速公路的路程.
5. 某中学组织初一同学春游,如果租用45座的客车,则有15人没有座位；如果租用同样数量的60座的客车,则除多出一辆外,其余车恰好坐满.已知租用45座的客车日租金为每辆车250元,60座的客车日租金为每辆车300元,问租用哪种客车更合算?租几辆车?
6. 要在含酒精50%的800克酒中,倒入含酒精85%的酒多少克,才能配成含酒精75%的酒?
7. 一个农场的工人们要把两片草地的草锄掉,大的一片地的面积是小的一片面积的两倍.上午工人们都在大的一片地上锄草,午后工人们对半分开：一半留在大的草地上,工作到傍晚就把草地锄完了；另一半人到小片草地上去锄,到傍晚还剩下一块,第二天由一个去锄,恰好要一天的功夫.这个农场有多少工人?
8. 一家商店将某型号彩电先按原售价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”.经顾客投诉后,执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款.求每台彩电的原售价.
9. 某商店将超级VCD按进价提高35%,然后打出“九折酬宾,外送50元出租车费”的广告,结果每台超级VCD仍获利208元,那么每台超级VCD的进价是多少元?
第四章 图形认识初步
§1.多姿多彩的图形
1.几何图形：图形世界中蕴含着大量的几何图形,我们可以用几何图形知识来表示的解决有关图形的问题.
2．立体图形：长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等都是立体图形.
3．平面图形：三角形、四边形、多边形、圆等都是平面图形.
4．三视图：从正面、上面、侧面（左面的右面）三个不同方向看一个物体,然后描绘出三张所看到的图,就是视图.从正面看到的图形称为正视图；从上面看到的图形称为俯视图；从侧面面看到的图形称为侧视图,根据观看方向不同,有左视图和右视图之分
5．立体图形的平面展开图：许多立图形是由一些平面图形围成的,将它们适当的剪,就可以展开成平面图形,同一个立体图形按不同的方式展开,得到的平面展开图是不一样的.
6．点、线、面、体
点：线和线相交的地方是点 线：面和面相交的地方是线 面：包围着体的是面 体：几何体也简称体
注意：点动成线、线动成面、面动成体.
例题与练习
1． 画出下列几何体的三视图
2. 下列几何体的展开图是什么
3．一些立体图形可由一些平面图形绕一条直线旋转而得到,这样的几何体叫旋转体.
试想（1）以长方形的一边为轴把长方形绕轴一周得到的立体图形是什么?你能画出示意图吗
（2）把直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体又是什么?以斜边呢?你能画出示意图吗? （点拨：从运动的观点体会面动成体.）
4．指出下列平面图形是什么几何体的展开图：
5．推理猜测题
(1)、三棱锥有____条棱,四棱锥有____条棱,十棱锥有____条棱._____棱锥有30条棱._____棱柱有60条棱.
一个多面体的棱数是8,则这个多面体的面数是_____
6．下列平面图形绕虚线旋转一周是什么几何体?
7、填空题.
（1）在立体图形中,面与面相交成 ,线与线相交成 .
(2)圆柱体由 个面围成,圆锥是 个面围成,它们的底面都是 ,侧面都是 .
(3)三棱柱有 个顶点, 条棱.
(4)圆锥的侧面与底面相交成 条线,这条线是 线.（填“曲”、“直”）
8．一个三面带有标记的正方体： 如果把它展开,应是下列展开图形中的（ ）
9．下列哪个图形经过折叠不能围成一个立方体是（ ）
10．如图,这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数,请你画出它的主视图每与左视图
11．一个多边形都可以按图甲的方法分割成若干个三角形.
（ 图甲） （图乙）
根据图甲的方法,图乙中的七边形能分割成 个三角形,那么 n边形能分割成 个三角形．
§2. 直线、射线和线段
1. 直线、射线和线段的概念
表示法
长度
作法叙述
端点
直线
直线AB（BA）（字母无序）
无长度
过A点或B点作直线AB
无端点
射线
射线AB（字母有序）
无长度
以A为端点作射线AB
有一个端点
线段
线段AB（BA）（字母无序）
可测量长度
连接AB
有有两个端点
2． 点的表示方法：常用英文大写字母表示,一个大写
字母表示一点,不同的点要用不同的字母来表示
3．直线的表示方法：①一条直线可以用在这条直线上的两个点来表示,如"直线AB”；②一条直线可以用一个小写字母来表示,如"直线a”
4．射线的表示方法：①一条射线可用它的端点和射线
上的另一点来表示,端点必须写在前面,如射线OA；②
一条射线也可用一个小写字母来表示,如射线b．
5．直线的性质：经过过两点有一条直线,并且只有一
条直线.或者说两点确定一条直线.
6．线段的表示方法：①一条线段可用它的的两个端点的两个大写字母表示,如线段AB或线段BA；②一条线段也可用一个小写字母来表示,如线段a
注意：①表示直线、射线和线段时,都要在字母的前面写上直线、射线或线段；②用两个大写字母表示直线或线段时,两个字母的地位平等,可以交换位置；表示射线的两个字母不能交换位置,必须把端点字母放在前面
7．线段的画法、连接AB的意义、线段的延长线
1 用直尺可以画出以A、B为端点线段,画时注意不要向任何一方延伸;
②连接A、B的意义就是画出以A、B的线段;
③线段的延长线:延长AB是指由A到B的方向延长,延BA是指由B到A的方向延长(也可说成反向延长AB),注意延长线应画成虚线．
8．画一条线段等于已知线段：①度量法 ②尺规作图
9．线段大小的比较方法：①叠合法 ②度量法
10．线段的中点及等分点的概概念：如图,点B把线段AC分成相等的两条线段,点B叫线段AC的中点,这时有AC=2AB=2BC,AB=BC=
AC；点B和点C把线段AD分成等的三段,点B和点C叫线段AD的三等分点；类似的,还有线段的四等分点等.
11．线段的性质：两点之间,线段最短.
12．两点的距离：连接两点间的线段的长度,叫做这两点间的距离.
（二）例题
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
例1.按下列语句画图.
①作直线a,并在直线a上取一点C,在直线a外取一点D,作直线CD；
②A、B、C三点依次在同一条直线上,B、C、D依次在同一条直线上.
③点P在直线a上,点Q在直线a外,过点Q的直线m交直线a于R.
例2．如图,已知CB＝4,DB＝7,D是AC的中点, 则AC＝_________ .
例3．如图,M是AB的中点,AB＝
BC,N是BD的中点,且BC＝2CD,如果
AB＝2cm,求AD、AN的长.
例4．已知线段AB=12,在线段AB上有C、D、M、N四点,且AC：CD：DB=1：2：3,AM=
AC,DN=1/4DB,求MN的长.
（三）练习与作业
1． 判断下列说法是否正确
（1）直线AB与直线BA不是同一条直线膨胀 （ ）
（２）用刻度尺量出直线AB的长度过 （ ）
（3）直线没有端点,且可以用直线上任意两个字母来表示（ ）
（4）线段AB中间的点叫做线段AB的中点 （ ）
（5）取线段AB的中点M,则AB-AM=BM （ ）
（6）连接两点间的直线的长度,叫做这两点间的距离 （ ）
（7）一条射线上只有一个点,一条线段上有两个点 （ ）
2．已知点A、B、C三个点在同一条直线上,若线段AB=8,BC=5,则线段AC=_________
3． 电筒发射出去的光线,给我们的形象似
4．如图,四点A、B、C、D在一直线上,则图中有______条线段,有_______条射线；若AC=12cm,BD=8cm,且AD=3BC,则AB=______,BC=______,CD=_ ___
5．已知点A、B、C三个点在同一条直线上,若线段
AB=8,BC=5,则线段AC=_________
6．如图,若C为线段AB的中点,D在线段CB上,
,
,则CD=_____
7．C为线段AB上的一点,点D为CB的中点,若AD=4,求AC+AB的长.
8．把一条长24cm的线段分成三段,使中间一段的长为6cm,求第一段与第三段中点的距离.
9．如图,同一直线上有A、B、C、D四点,已知
CD=4cm,求AB的长
10．如图,点C在线段AB上,E是AC的中点,D是BC的中点,若ED=6,则AB的长为（ ）．
11.已知如图,点C在线段AB上,线段AC=6cm,BC=4cm,点M、N分别是AC、BC的中点,求线段MN的长.
§3.角
1． 角的概念：(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫角.这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的两条边,(2)也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.(3)射线旋转时经过的平面部分称为角的内部,平面的其余部分称为角的外部.(4)射线OA绕点O旋转,当终止位置OC和起始位置OA成一条直线时,所成的角叫做平角；继续旋转,回到起始位置OA时,所成的角叫做周角.
2． 角的表示方法：（1）用数字表示一个角,如∠1、∠2等.（2）用一个小写希腊字母表示一个角,如∠α、∠β、∠γ、∠θ等.（3）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角）,如∠A、∠B等.（4）用三个大写英文字母表示任意一个角,如∠ABC等.
3． 角的度量单位及换算：把一个周角等分成360份,一份就是1度的角；把1度的角等分成360份,每一份就是1分的角；把1分的角等分成360份,每一份是1秒的角；1度记作1º,1分记作1¹,1秒记作1¹¹.
1º=60¹,1¹=60¹¹,1周角等于360º,1平角=180º
4． 角的分类：
浙公网安备 33021202002483