1-1
1� 试证�若
� �
f t
满足 Fourier积分定理中的条件�则有
� � � � � �
d d
0 0
cos sinf t a t b t� � � � � �
�� ��
� �
� �
其中
� � � � � � � �
d d
π π
1 1
cos , sin .a f b f� � �� � � � �� �
�� ��
�� ��
� �
� �
分析�由 Fourier积分的复数形式和三角形式都可以
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
此题�请读者试
用三角形式证明.
证明�利用 Fourier积分的复数形式�有
� � � �
j j
e e d
π
1
2
t t
f t f
� �
� �
�� ��
�
�� ��
� �
�
� �
� �
� �
� � � �
j
j d e d
π
1 1
cos sin
2
t
f
�
� �� �� � �
�� ��
�� ��
� �
� �
� �
� �
� �
� � � � � �
j j d
1
cos sin
2
a b t t� � � � �
��
��
� �
� � �
� ��
由于
� � � � � � � �
, ,a a b b� � � �� � � � � 所以
� � � � � �
d d
1 1
cos sin
2 2
f t a t b t� � � � � �
�� ��
�� ��
� �
� �
� � � �
d d
0 0
cos sina t b t� � � � � �
�� ��
� �
� �
2�求下列函数的 Fourier积分�
1�
� �
2 2
2
1 , 1
0, 1
t t
f t
t
�
� �
�
�
�
�
�
�
; 2)
� �
0, 0
;
e sin 2 , 0
t
t
f t
t t
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3)
� �
0, 1
1, 1 0
1, 0 1
0, 1
t
t
f t
t
t
�
�� � � �
�
� � � �
�
�
�
� �
�
�
� � ��
�
分析�由 Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题�请读者试用三
角形式解.
解�1�函数
� �
2 2
2
1 , 1
0, 1
t t
f t
t
�
� �
�
�
�
�
�
�
为连续的偶函数�其 Fourier变换为
j 2
1
( ) [ ( )] ( )e d 2 ( )cos d 2 (1 )cos d
0 0
t
F f t f t t f t t t t t t
�
� � �
�
�� ��
�
� � � � �
�
��
�
� �
F
1
2
2 3 3
0
sin 2 cos 2sin sin 4(sin cos )
2
t t t t t t� � � � � � �
� � � � �
� �
� �
�
� � � � �
� �
� �
� �
� �
( 偶 函
数)
f(t)的 Fourier积分为
j
3
1 1
( ) ( )e d ( )cos d
0
2π π
4 (sin cos )
cos d
0
π
t
f t F F t
t
�
� � � � �
� � �
� �
�
�� ��
� �
��
��
�
�
� �
�
2)所给函数为连续函数�其 Fourier变换为
� �
� �
j j
ω ( ) ( )e d e sin 2 e d
0
t t t
F f t f t t t t
� �
�
� � �
��
� � �
��
� �
F
2 j 2 j
j ( 1 2j j ) (1 2j j )
e e 1
e e d [e e ]d
0 2j 2j 0
t t
t t t t
t t
� � �
�
� � � � � � � �
�� ��
�
� � � � �
� �
( 1 2j j ) (1 2j j )
0
1 e e
2j 1 2j j 1 2j j
t t� �
� �
��
� � � � � �
� �
� �
� �
� � � � �
� �
� �
2
2 4
2 5 2 j
j 1 1
2 1 (2 )j 1 (2 )j 25 6
� �
� � � �
� �
� �
� �
� �
� � �
� �
� � � � � � �
� �
�实部为偶函数�虚
数为奇函数�
f (t)的 Fourier变换为
� �
j
1
( )e d
2π
t
f t F
�
� �
��
�
��
�
� �
� �
2
2 4
2 5 2 j
1
cos jsin d
2π 25 6
t t
� �
� � �
� �
� �
� �
��
� �
� � �
�� � �
�
� � � �
� �
2 2
2 4 2 4
2
2 4
5 cos 2 sin 5 sin 2 cos
1 1
d d
π 25 6 π 25 6
5 cos 2 sin
2
d
π 0 25 6
t t t t
t t
� � � � � � � �
� �
� � � �
� � � �
�
� �
� � � �
�� ��
� �
�� � � �� � �
� �
��
�
� �
� �
�
这里用到奇偶函数的积分性质.
3�所给函数有间断点-1�0�1且 f(-t)= - f(t)是奇函数�其 Fourier变换为
� �
� �
j
( ) ( )e d 2j ( )sin d
0
t
F f t f t t f t t t
�
� �
�
�� ��
� � � �
��
� �
F
1
2j(cos 1)
2j 1 sin d
0
t t
�
�
�
�
� � � �
�
�奇函数�
f(t)的 Fourier积分为
� � � �
j
j
( ) e d sin d
π 0 π 0
2 1 cos
sin d
π 0
t
f t F F t
t
�
� � � � �
�
� �
�
�� ��
�
��
�
�
� �
�
1
=
2
其中 t� -1�0�1�在间断点
0
t 处�右边 f(t)应以
� � � �
0 0
0 0
2
f t f t� � �
代替�.
3�求下列函数的 Fourier变换�并推证下列积分结果�
1�
� �
e ( 0),
t
f t
�
�
�
� � 证明�
2 2
cos π
d e ;
0 2
t
t
�
�
�
� � �
���
�
�
�
2� ( ) e cos
t
f t t
�
� �证明�
2
4
2 π
cos d e cos ;
0 4 2
t
t t
�
� �
�
�
��
�
�
�
�
3�
sin , π
( )
0, π
t t
f t
t
�
�
�
�
�
�
�
�
�证明�
2
π
sin , π
sin πsin
2
d
0 1
0, π
t t
t
t
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
证明�1�函数
� �
e
t
f t
��
� 为连续的偶函数�其 Fourier变换为
� � � �
j
e e d 2 e cos d
0
t
t t
F f t t t t
�
� �
� �
�
� �
�� ��
� �
� � �
� �
��
� �
F
� �
2 2 2 2
0
e cos sin
2
2
t
t
t
t t
�
� � � �
�
� � � �
�
���
�
� �
� �
� �
再由 Fourier变换得
� � � �
j
2 2
1 1 2
e d cos d
2π π 0
t
f t F t t
�
�
� � �
� �
�� ��
� �
�� �
� �
即
2 2
cos π
d e
0 2
t
t
�
�
�
� � �
�
��
�
�
�
2�函数
� �
e cos
t
f t t
�
� 为连续的偶函数�其 Fourier变换为
� �
j j
( ) e d e cos e d
t
t t
F f t t t t
� �
�
�
� �
�� ��
� �
�� ��
� �
j j
j
e e
e e d
2
t t
t
t
t
�
�
�
�
��
�
��
�
( 1 j j ) (1 j j ) ( 1 j j ) (1 j j )
0 0
1
e d e d e d e d
2 0 0
t t t t
t t t t
� � � �� � � � � � � � � � �
�� ��
� �
� � � �
� �
�� ��
� �
� � � �
(1 j j ) (1 j j ) ( 1 j j ) (1 j j )
0 0
1 e e e e
2 1 j j 1 j j 1 j j 0 1 j j 0
t t t t� � � �
� � � �
� � � � � � � � � �
� �
�� ��
� � � �
� �
� � �� � � �� � � � � �
� �
2
4
1 1 1 1 1 2
2 1 j j 1 j j 1 j j 1 j j 4
�
� � � � �
� �
� �
� � � � �
� �
� � � � � � � � � �
� �
再由 Fourier变换公式得
� � � �
2
j
4
1 1 1 2
( ) e d cos d cos d
2π π 0 π 0 4
t
f t F F t t
�
�
� � � � � � �
�
�� �� ��
�
� � �
�� �
� � �
即
2
4
2 π
cos d e cos
0 4 2
t
t t
�
� �
�
�
��
�
�
�
�
3�给出的函数为奇函数�其 Fourier变换为
� � � � � �
π π
j j
π π
e d sin e d sin cos jsin d
t t
F f t t t t t t t t
� �
� � �
��
� �
�� � �
� � � �
� � �
� � � �
π π
0 0
2j sin sin d j cos 1 cos 1 dt t t t t t� � �
� �
� � � � � �
� �� �
� � � �
2
sin 1 π sin 1 π
sin sin 2jsin
j j
1 0 1 0 1 1 1
t t� �
�� �� ��
� � � � �
� �
� �
� �
� �
� � � � �
� �
� �
� � � � �
� �
� �
� � � � � �
-1 j
2
1 1 2jsin π
e d cos jsin d
2π 2π 1
t
F F t t
�
�
� � � � � �
�
�� ��
�� ��
� �
� � �
� �
�
� �
F
2
0
sin , π
2 sin πsin
d
π 1
0, π
t t
t
t
� �
�
�
��
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
故
2
0
π
sin , π
sin πsin
2
d
1
0, π
t t
t
t
� �
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4.求函数
� � � �
e 0, 0
t
f t t
�
�
�
� � � 的 Fourier正弦积分表达式和 Fourier余弦积
分表达式.
解�根据 Fourier正弦积分公式�并用分部积分法�有
� � � �
0 0
2
sin d sin d
π
f tt f � �� � � �
�� ��
� �
�
� �
� �
� �
0 0
2
sin d sin d
π
e
t
t
�
� � ���
�� �
�
�
� �
�
� �
� �
� �
� �
2 2
0
sin cos
2
sin d
π 0
e t
t
��
� � � �
� �
�
�
�
�
�
�
� �
� ��
�
� �
�
� �
�
2 2
0
2
sin d .
π
t
�
� �
� �
��
�
�
�
根据 Fourier余弦积分公式�用分部积分法�有
� � � �
0 0
2
cos d cos d
π
f tt f � �� � � �
�� ��
� �
�
� �
� �
� �
0 0
2
cos d cos d
π
e
t
t
�
� � ���
�� �
�
�
� �
�
� �
� �
� �
� �
2 2
0
sin cos
2
cos d
π 0
e t
t
��
� � � �
� �
�
�
�
�
�
�
� �
� ��
�
� �
�
� �
�
2 2
0
2
cos d .
π
t
�
� �
� �
��
�
�
�
1-2
1�求矩形脉冲函数
, 0
( )
0,
A t
f t
�
�
� �
�
�
�
�
�
其他
的 Fourier变换.
解�
� �
� �
j
j
j j
0
1 e
e
( ) ( ) ( )e d e d
0 j j
t
t
t t
A
F f t f t t A t A
�
�
�
� �
�
�
� �
�
�
� �
�
��
� �
� � � � �
� �
�� �
� �
� �
F
2.设
� �
F � 是函数
� �
f t 的 Fourier变换�证明
� �
F � 与
� �
f t 有相同的奇偶
性.
证明�
� �
F � 与
� �
f t 是一个 Fourier变换对�即
� � � �
j
e d
t
F f t t
�
�
�
��
�
��
�
�
� � � �
j
1
e d
2π
t
f t F
�
� �
��
�
��
�
如果
� �
F � 为奇函数�即
� � � �
F F� �� � � �则
� � � �
� �
� �
� �
� �
j j
1 1
e d e d
2π 2π
t t
f t F F
� �
� � � �
� �
�� ��
� � � � �
�� ��
� �
�令 u�� � �
� �
j
1
e d
2π
ut
F u u
��
�
��
�
�换积分变量u为��
� � � �
j
1
e d
2π
t
F f t
�
� �
��
� � � �
��
�
所以
� �
f t 亦为奇函数.
如果
� �
f t 为奇函数�即
� � � �
f t f t� � � �则
� � � �
� �
� �
� �
j j
e d e d
t t
F f t t f t t
� �
�
� � � �
�� ��
� � � � �
�� ��
� �
�令 t u� � �
� �
j
e d
u
f u u
��
��
�
��
�
�换积分变量u为 t�
� � � �
j
e d
t
f t t F
�
�
�
��
� � � �
��
�
所以
� �
F � 亦为奇函数.
同理可证
� �
f t 与
� �
F � 同为偶函数.
4�求函数
� � � �
e 0
t
f t t
�
� � 的 Fourier正弦变换�并推证
� �
2
0
0
1 2
sin π
d e
�
� ��
� �
�
��
�
� �
�
�
解�由 Fourier正弦变换公式�有
� �
( )
s s
F f t�
� �
�
� �
F
� �
0
sinf t t t�
��
�
�
d
0
sin
t
t t�
��
�
�
�
e d
� �
2
sin cos
1 0
t
t t� � �
�
�
� � ��
�
�
e
2
1
�
�
�
�
由 Fourier正弦逆变换公式�有
� �
1
2
0 0
2 2 sin
( ) ( )sin
1
s s s
t
f t F F t
� �
� � � � �
�
�� ��
�
� � �
� �
� �
�
� �
F d d
π π
由此�当 0t �� � 时�可得
� � � �
2
0
sin π π
d e 0
1 2 2
f
�
� ��
� � �
�
��
�
� � �
�
�
5�设
� �
( )f t F �
� �
�
� �
F �试证明�
1�
� �
f t 为实值函数的充要条件是 ( ) ( )F F� �� � �
2�
� �
f t 为虚值函数的充要条件是 ( ) ( )F F� �� � � .
证明� 在一般情况下�记
� � � � � �
r i
f t f t f t� � j 其中
� �
r
f t 和
� �
i
f t 均为 t的
实值函数�且分别为
� �
f t 的实部与虚部. 因此
� � � � � � � �
� �
j
e d j cos jsin d
t
r i
F f t t f t f t t t t
�
� � �
�
�� ��
� �
� � � �
� �
�� ��
� �
� � � � � � � �
cos sin d j sin cos d
r i r i
f t t f t t t f t t f t t t� � � �
�� ��
� � � �
� � � �
� � � �
�� ��
� �
� � � �
Re ImF j F� �
� � � �
� �
� � � �
其中
� � � � � �
Re cos sin d
r i
F f t t f t t t� � �
��
� � � �
� �
� � � �
��
�
�
� �
a
� � � � � �
Im sin cos d
r i
F f t t f t t t� � �
��
� � � �
� � �
� � � �
��
�
� �
b
1�若
� �
f t 为 t的实值函数�即
� � � � � �
, 0
r i
f tt f f t �� .此时�
� �
a 式和
� �
b 式
分别为
� � � �
Re cos d
r
F f t t t� �
��
� �
�
� �
��
�
� � � �
Im sin d
r
F f t t t� �
��
� �
� �
� �
��
�
所以
� � � � � �
Re jImF F F� � �
� � � �
� � � � �
� � � �
� � � � � �
Re jImF F F� � �
� � � �
� � �
� � � �
反之�若已知
� � � �
F F� �� � �则有
� � � � � � � �
Re jIm Re jImF F F F� � � �
� � � � � � � �
� � � � �
� � � � � � � �
此即表明
� �
F � 的实部是关于�的偶函数�
� �
F � 的虚部是关于�的奇函数.因
此�必定有
� � � � � �
cos d j sin d
r r
F f t t t f t t t� � �
�� ��
� �
�� ��
� �
亦即表明
� � � �
r
f t f t� 为 t的实值函数.从而结论 1�获证.
2�若
� �
f t 为 t的虚值函数�即
� � � � � �
j , 0
i r
f tf ft t� � .此时�
� �
a 式和
� �
b 式
分别为
� � � �
Re sin d
i
F f t t t� �
��
� �
�
� �
��
�
� � � �
Im cos d
i
F f t t t� �
��
� �
�
� �
��
�
所以
� � � � � �
Re jImF F F� � �
� � � �
� � � � �
� � � �
� � � �
Re jImF F� �
� � � �
� � �
� � � �
� � � �
� �
Re jImF F� �
� � � �
� � �
� � � �
� �
F �� �
反之�若已知
� � � �
F F� �� � � �则有
� � � � � � � �
Re jIm Re jImF F F F� � � �
� � � � � � � �
� � � � � �
� � � � � � � �
此即表明
� �
F � 的实部是关于�的奇函数�
� �
F � 的虚部是关于�的偶函数.因
此�必定有
� � � � � �
sin d j cos d
i i
F f t t t f t t t� � �
�� ��
�� �
�� ��
� �
�
亦即表明
� � � �
j
i
f t f t� 为 t的虚值函数.从而结论 2�获证.
6.已知某函数的 Fourier变换
sin
( )F
�
�
�
� �求该函数
� �
f t .
解�
sin
( )F
�
�
�
� 为连续的偶函数�由公式有
� � � �
j
π 1 sin
e d cos d
2 π 0
t
f t F t
�
�
� � � �
�
�� ��
� �
��
� �
� � � �
sin 1 sin 1
1 1
d d
2π 0 2π 0
t t� �
� �
� �
�� � �� �
� �
� �
但由于当 0a � 时
sin sin sin π
d d( ) d
0 0 0 2
a a t
a t
t
� �
� �
� �
�� �� ��
� � �
� � �
当 0a � 时
sin sin( ) π
d d
0 0 2
a a� �
� �
� �
�� ��
�
� � � �
� �
当 0a � 时�
sin
d 0,
0
a�
�
�
��
�
�
所以得
� �
1
1
2
1
1
4
0 1
t
f t t
t
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
7�已知某函数的 Fourier变换为
� �
� � � �
0 0
π δ δF � � � � �
� �
� � � �
� �
�求该
函数
� �
f t .
解�由函数
� �
� �
� �
0 0
δ dt t g t t g t� � �易知
� � � �
� � � �
j
j j
0 0
1
e d
2π
1 1
πδ e d πδ e d
2π 2π
t
t t
f t F
�
� �
� �
� � � � � �
��
�
��
�� ��
� � � �
�� ��
�
� �
j j
0
0 0
1 1
e e cos
2 2
t t
t
� �
�
� � � �
�
� �
� �
�
8�求符号函数�又称正负号函数�
� �
1, 0
sgn
1, 0
t
t
t
� �
�
�
�
�
�
的 Fourier变换.
解�容易看出
� � � � � �
sgn t u t u t� � � �而
1
[ ( )] ( ) πδ( ).
j
u t F � �
�
� � �F
9�求函数
� � � � � �
1
δ δ δ δ
2 2 2
a a
t a t a tf t t
� �
� � � �
� � � � � � � �
� � � �
� �
� � � �
� �
的 Fourier
变换.
解 �
� � � � � � � �
j
1
δ δ δ δ e d
2 2 2
t
a a
F f t t a t a t t
�
� �
��
�
��
� �
� � � �
� �
� � � � � � � � �
� � � �
� �
� �
� � � �
� �
�
F
j j j j
1
e e e e
2
2 2
t t t t
a a
t a t a
t t
� � � �� � � �
� �
� �
� � � �
� �
� � �
� � �
� �
� �
cos cos
2
a
a� �� � .
10 .求函数
� �
cos sin tf t t� 的 Fourier变换.
解: 已知
� � � �
0 0 0
sin jπ δ δt� � � � �
� �
� � � �
� �
� �
� �
F
由
� �
1
cos sin sin 2
2
f t t t t� � 有
� � � � � �
πj
δ 2 δ 2
2
f t � �
� � � �
� � � �
� � � �
F
11.求函数
� �
3
sinf t t� 的 Fourier变换.
解:已知
� �
0
j
0
e 2πδ
t�
� �
� �
� �
� �
F ,由
� �
� �
3
j j
3 3j j -j 3j
e e j
sin e 3e 3e e
2j 8
t t
t t t t
f t t
�
�
� �
�
� � � � � �
� �
� �
即得
� � � � � � � � � �
πj
δ 3 3δ 1 3δ 1 δ 3
4
f t � � � �
� � � �
� � � � � � � �
� � � �
F
12.求函数
� �
π
sin 5
3
t tf
� �
� �
� �
� �
的 Fourier变换.
解: 由于
� �
π 1 3
sin 5 sin5 cos5
3 2 2
f t t t t
� �
� � � �
� �
� �
故
� � � � � � � � � �
πj 3π
δ 5 δ 5 δ 5 δ 5
2 2
f t � � � �
� �
� � � �
� � � � � � � �
� �
� � � �
� �
F .
14.证明�若
� �
� �
j
e
t
F
�
�
� �
�
� �
F
�其中
� �
t�
为一实数�则
� � � � � �
1
cos
2
t F F� � �
� �
� �
� � �
� �
� �
F
� � � � � �
1
sin
2j
t F F� � �
� �
� �
� � �
� �
� �
F
其中
� �
F �� 为
� �
F � 的共轭函数.
证明�因为
� �
� �
j
j
e e d
t
t
F t
�
�
�
��
�
��
� �
�
� �
� � � �
j j
j j
e e d e e d
t t
t t
F t t
� �
� �
�
�� ��
�
�
�� ��
� � � �
� �
� � � �
� � � �
� � � �
j j
j j
1 e e
e d cos e d cos
2 2
t t
t t
F F t t t t
� �
� �
� � � �
�
�� ��
� �
�� ��
�
� �
� �
� � � � �
� �
� �
� �
F
同理可证另一等式.
17�求作如图的锯齿形波的频谱图.�图形见教科书�.
解 �
0
2π
,
T
� �
� �
1
,0
0,
ht t T
f t
T
�
� �
�
�
�
�
�
其他
� �
0
0 0
1 1 1
d d
2
T T
h
C f t t ht t
T T T
� � �
� �
� �
� �
0 0 0
j j j
0
2
0 0 0
1 1
e d e d e d
T T T
n t n t n t
n
ht h
C F n f t t t t t
T T T T
� � �
�
� � �
� � � � �
� � �
0 0
j j
2
0
0 0
0
1 1 j
e e d
j j 2 π
T
n t n t
T
h h
t
T n n n
� �
� �
� �
� �
� � � �
� �
�
� �
�
� � � �
� �
� �
� �
0 0
0 0
j j
2πδ 2πδ π δ δ .
2 2 π
n n
n n
h h h
F n h n
n n
� � � � � � �
�� ��
��� ���
� �
� � � � � � � �
� �
1�3
1�若
1 1 2 2
( ) [ ( )], ( ) [ ( )],F f t F f t� �� � F F ,� �
是常数�证明�线性性
质��
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )f t f t F F� � � � � �� � �
� �
� �
F
-1
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )F F f t f t� � � � � �� � �
� �
� �
F
分析�根据 Fourier变换的定义很容易证明.
证明�根据 Fourier变换与逆变换的公式分别有
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
t
f t f t f t f t t
�
� � � �
��
�
��
� � �
� � � �
� � � �
�
F
j
e d
1 2
( ) ( )
t t
f t t f t t
� �
� �
�� ��
� �
�� ��
� �
� �
j j
e d e d
1 2
( ) ( )F F� � � �� �
-1
1 2 1 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
t
F F F F
�
� � � � � � � � �
��
��
� � �
� � � �
� � � �
�
F
j
e d
π
1 2
1 1
( ) ( )
2 2
t t
F F
� �
� � � � � �
�� ��
�� ��
� � � �
� �
� � � �
� � � �
� �
j j
e d e d
π π
1 2
( ) ( )f t f t� �� �
6�若 ( ) [ ( )]F f t� � F �证明�翻转性质�� ( ) [ ( )]F f t�� � � F
分析�根据 Fourier变换的定义�再进行变量代换即可证明.
证明�
� �
[ ( )]
t
f t f t t
�
��
�
��
� � �
�
F
j
e d
�令 t u� � �
� �
� �
u
f u u
�
��
� �
��
�
�
j
e d
�换u为 t�
� �
� �
t
f t t
�
��
� �
��
�
�
j
e d
( )F �� �
9�设函数
� �
1, 1
0, 1
t
f t
t
�
�
�
�
�
�
�
�
�利用对称性质�证明�
π
, 1
sin
.
0, 1
t
t
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �
�
� �
�
�
F
证明�
� �
[ ( )]
t
f t f t t
�
��
�
��
�
�
F
j
e d
1
1
t
t
��
�
�
�
j
e d
1
0
cos t t��
�
d
1
0
sin t
t
�
�
�
�
d
由对称性质�
� �
[ ( )]f t F �� F �则
� �
[ ( )] 2 ,F t f �� �F π 有
� �
sin
[ ( )] 2
t
F t f
t
�
� �
� � �
� �
� �
F F π
� �
, 1
sin
0, 1
t
f
t
�
�
�
�
�
�
� �
� � �
�
� �
�
� �
�
�
F
π
π
12�利用能量积分
� � � �
2 2
1
2
f t t F � �
�� ��
�� ��
� �
�
� �� �
d d
π
�求下列积分的值�
1�
2
1 cos x
x
x
��
��
�
�
d � 2�
4
2
sin x
x
x
��
��
�
d �
3�
� �
2
2
1
1
x
x
��
��
�
�
d �4�
� �
2
2
2
1
x
x
x
��
��
�
�
d .
解�1�
2
2 2
2sin
1 cos
2
x
x
x x
x x
�� ��
�� ��
�
�
� �
d d
�令
2
x
t� �
2
sin t
t
t
��
��
� �
�
� �
� �
�
d
2
1 sin
2
t
t
�
��
��
� �
�
� �
� �
�
F d
π
1
2
1
1
2
�
�
�
�
πd
π
�π
2�
� �
2 2
4
2 2
sin 1 cos
sin
x x
x
x x
x x
�� ��
�� ��
�
�
� �
d d
2 2
sin sin cosx x x
x x
x x
�� ��
�� ��
� � � �
� �
� � � �
� � � �
� �
d d
2
1 sin
2
t
t
t
��
��
� �
� �
� �
� �
�
π d
2 2
�
π π
π- =
3�
� �
2
2 2
2
1 1
1
1
x t
t
x
�� ��
�� ��
� �
�
� �
�
� �
�
� �
d d
2
2
1 1
2 1 t
�
��
��
� �
�
� �
�
� �
�
F d
π
�其
中
2 2
1 1
1 1
t
t
t t
�
��
�
��
� �
�
� �
� �
� �
�
F
j
e d
2
0
cos
2
1
t
t
t
�
��
�
�
�
d 2
2
� �� �
� �
π
e πe
从而
� �
2
2
2
1 1
2
1
x
x
�
�
�� ��
�
�� ��
�
�
� �
d πe d
π
2 2
0
1
�
�
��
�
�
�
πe d
π
2
0
1
2 2
��
��
� � �
�
π
π e
4�
� � � �
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
x x
x x
x x
�� ��
�� ��
� �
�
� �
� �
d d
� �
22
2
1 1
1
1
x x
x
x
�� ��
�� ��
� �
�
�
� �
d d
arctan
2
x
��
��
� �
π
2 2 2 2
� � � �
π π π π
1�4
1.证明下列各式�
2�
� �
1
f t
� � � � � � � � � �
2 3 1 2 3
f t f t f t f t f t
� � � �
�
� � � �
�
6�
� � � � � � � � � � � �
1 2 1 2 1 2
d d d
;
d d d
f t f t f t f t f t f t
t t t
� �
� �
� �
10)
� � � � � �
d
t
f t u t f � �
��
�
�
分析�根据卷积的定义证明.
证明� 2)
� � � � � �
1 2 3
f t f t f t
� �
� �
� � � � � �
1 2 3
df f t f t� � � �
��
��
� �
� � �
� �
�
� � � � � �
1 3 2
df f u f t u du� � �
�� ��
�� ��
� �
� � �
� �
� �
� �
� � � � � �
1 3 2
d df f u f t u u� � �
�� ��
�� ��
� � �
� �
� � � � � �
1 2 3
d df f t u f u u� � �
�� ��
�� ��
� �
� � �
� �
� �
� �
� � � � � �
1 2 3
df t u f t u f u u
��
��
� �
� � �
� �
�
� � � � � �
1 2 3
f t f t f t
� �
�
� �
6�
� � � � � � � �
1 2 1 2
d d
d
d d
f t f t f f t
t t
� � �
��
��
� �
� �
� � �
� �
� �
� �
�
� � � � � � � �
1 2 1 2
d d
d
d d
f f t f t f t
t t
� � �
��
��
� �
� � � �
� ��
,
� � � � � � � �
1 2 1 2
d d
d
d d
f t f t f t f
t t
� � �
��
��
� �
� �
� � �
� �
� �
� �
�
� � � � � � � �
1 2 1 2
d d
d
d d
f t f f t f t
t t
� � �
��
��
� �
� � � �
� �
� �
�
.
10)
� � � � � � � �
df t u t f u t� � �
��
��
� �
�
� �
1,
0,
t
u t
t
�
�
�
� �
�
�
�
� �
� �
�
� �
�
�
�
� �
� �
d
t
f � �
��
�
�
.
2�若
� � � � � � � �
1 2
e , sin
t
f t u t f t tu t
��
� �
�求
� � � �
1 2
f t f t
.
注意�不能随意调换
� �
1
f t 和
� �
2
f t 的位置.
解�由
� � � �
1
e , 0
e
0, 0
t
t
t
f t u t
t
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � �
2
sin , 0
sin
0, 0
t t
f t tu t
t
�
�
� �
�
�
�
�
所以
� � � � � � � �
1 2 2 1
f t f t f t f t�
� � � �
2 1
df f t� � �
��
��
� �
�
要 确 定
� � � �
2 1
0f f t� �� � 的 区 间 � 采 用 解 不 等 式 组 的 方 法 . 因 为
� � � �
2 1
0, 0; 0, 0f t f t� � � �� � � � � � .即必须满足
0
0t
�
�
�
�
�
� �
�
, 即
0
t
�
�
�
�
�
�
�
, 因此
� � � � � � � �
1 2 2 1
f t f t f t f t�
� � � �
2 1
df f t� � �
��
��
� �
�
� �
0
sin e d
t
t� �
� �
� �
�
�
0
e sin e d
t
t� ��
� �
�
�
�
�分部积分法�
� �
2
e sin cos
e
1 0
t
t
��
�
� � �
�
�
� �
�
�
� �
�
� �
� �
2 2
e sin cos
1
e
1 1
t
��
�
� � �
� �
�
� �
�
� �
� �
� �
� �
2
sin cos e
1
t�
� � �
�
�
� �
�
�
4 .若
� � � � � � � �
1 1 2 2
,F f t F f t� �
� � � �
� �