有趣的斐波那契数列_凌晓牧

2011 年 10 月 第 27 卷 第 5 期 江苏教育学院学报(自然科学) Journal of Jiangsu Institute of Education (Natural Sciences) Oct．，2011 Vol，27 No． 5 有趣的斐波那契数列 * 凌 晓 牧 (江苏教育学院数学与信息技术学院，江苏南京 210013) ［摘 要］ 斐波那契数列产生于 13 世纪，它历史悠久，充满魅力，以至于人们对其研究一直经久不衰．本文介绍 了斐波那契数列的由来，论证了该数列的几个重要性质以及它与黄金分割率之间的关系，并进一步说明了斐波那契数 列在各个领域的应用． ［关键词］ 斐波那契数列; 斐波那契数列性质; 斐波那契数列应用 ［中图分类号］ G315 ［文献标识码］ E ［文章编号］ 1671 － 1696(2011)05 － 0031 － 003 一、斐波那契数列的由来 13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘 书》的修订版中增加了一道著名的兔子繁殖问题． 问题是这样的:假设一对初生兔子要一个月才 到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那 么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子 呢? (假设所有兔子都长生不死) 则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别 是:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，这个数 列称为斐波那契数列． 斐波那契数列具有特殊、神秘的魅力，近年国外 出版了一种《斐波那契数列》杂志，专门发表有关这 个数列新发现和新用途的文章． 为什么直到今天人 们对它的研究依旧长盛不衰呢?让我们首先从斐波 那契数列的相关性质开始说起吧． 二、斐波那契数列的性质 1. 递推关系 将一对小兔子记为△，将一对大兔子记为○，则 记 Fn 第 n个月的兔子对数，总结上述繁殖规律，有 F1 = 1，F2 = 1， Fn = Fn－1 + Fn－2 (n≥ 3) 通过下面的图例，我们也可以发现，从第 3 个月 开始，每个月的兔子对数 = 上个月的兔子对数 + 该月新生的小兔子对数 = 上个月的兔子对数 + 上个月的大兔子对数 = 上个月的兔子对数 + 上上个月的兔子对数 这样也可以得到 Fn = Fn－1 + Fn－2 (n≥ 3) 2. 通项公式 由斐波那契数列的递推关系 F1 = 1 F2 = 1 Fn = Fn－1 + Fn－2 (n≥ 3 { ) ① 能否得到 Fn 的通项表达式呢? 我们知道①的特征方程是 x2 － x － 1 = 0，而该 特征方程的根为 1 ±槡5 2 ， 所以 Fn 一般表达式为 —13— *［收稿日期］2011 － 07 － 08 ［作者简介］凌晓牧(1978 －) ，女，江苏南京人，江苏教育学院数学与信息技术学院讲师，硕士． Fn = C1 1 +槡5( )2 n + C2 1 －槡5( )2 n 由于 n = 1时，F1 = 1;n = 2时，F2 = 1，通过待 定系数的方式，可以求得 C1 = 1 槡5 ，C2 = － 1 槡5 因此斐波那契数列的通项公式为 Fn = 1 槡5 1 +槡5( )2 n － 1 －槡5( )2[ ] n 奇妙是斐波那契数列中的每一项都是正整数， 而它的通项公式中竟然含有无理数． 3. 斐波那契数列性质 性质 1 F1 + F2 + … + Fn = Fn+2 － 1 性质 2 F1 + F3 + … + F2n－1 = F2n F2 + F4 + … + F2n = F2n+1 － 1 性质 3 Fn + Fn+1 + … + Fn+9 = 11Fn+6 性质 4 F1 2 + F2 2 + … + Fn 2 = FnFn+1 性质 5 FnFn+2 = Fn+1 2 － 1，n为偶数 Fn+1 2 + 1，n{ 为奇数 性质 6 F1F2 + F2F3 + … + Fn－1Fn = Fn 2，n为偶数 Fn 2 － 1，n{ 为奇数 性质 1 的证明: (1)当 n = 1时，左边 = F1 = 1，右边 = F3 － 1 = 2 － 1 = 1，所以左边 = 右边，即 n = 1时，等式成 立． (2)假设 n = k时，等式成立， 即有 F1 + F2 + … + Fk = Fk+2 － 1 则 n = k + 1 时， F1 + F2 + … + Fk + Fk+1 = Fk+2 － 1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1)－ 1 = Fk+3 － 1 = F(k+1)+2 － 1 即 n = k + 1，等式也成立 综合(1) (2) ，对于所有正整数，F1 + F2 + … + Fn = Fn+2 － 1 均成立．证毕． 其他性质，都可以利用数学归纳法，类似证明， 此处不再赘述． 4. 斐波那契数列与黄金分割率的关系 我们知道线段黄金比为槡5 － 12 ，它满足等式 1 x = x1 － x，于是有 x 2 = 1 － x，即 x(x + 1)= 1，得 x = 11 + x． 对等式右边分母中的 x又以 11 + x代替，可得 x = 1 1 + 11 + x ;依次类推，可得到连分数: x = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 11 + … ，于是我们有结论: x = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 11 + … = 槡5 － 12 将此连分数 x = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 11 + … 逐项截断， 依次可得 1 1 = 1， 1 1 + 11 = 12 ， 1 1 + 1 1 + 11 = 23 ， 1 1 + 1 1 + 1 1 + 11 = 35 ， 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 11 = 58 ， …… 我们将这个连分数的近似值依次排列，得到 1 1 ， 1 2 ， 2 3 ， 3 5 ， 5 8 ，…，这些近似值的分子、分母分别是斐 波那契数列中的项，于是有斐波那契数列相邻两项 —23— 的比 Fn Fn+1 ，当 n趋于 ∞ 时，它的极限恰好是黄金分割 率槡5 － 12 ． 三、相关应用 1. 数学方面 问题:某人可以一步登一个台阶，也可以一步登 二个台阶，问他登上 n个台阶的方式又有多少种? 解答:设此人登上 n个台阶的方式有 An 种． 若第一步登了一节，则登上 n 阶台阶的方式有 An－1 种;若第一步登了二阶，则登上 n 阶台阶的方式 有 An－2 种，于是 An = An－1 + An－2 (n≥ 3) 此时容易得到 A1 = 1，A2 = 2，于是这是一个删 除了首相的斐波那契数列，所以 An = Fn+1 = 1 槡5 1 +槡5( )2 n+1 － 1 －槡5( )2 n+[ ]1 2. 生物学方面 斐波那契数列在生物学中也有许多应用． 例如， 树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息” 时间，供自身生长，而后才能萌发新枝． 所以，一株树 苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝;第二 年新枝“休息”，老枝依旧萌发;此后，老枝与“休息” 过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”． 这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契 数列(见图 1)． 这个规律，就是生物学上著名的“鲁 德维格定律”． 图 1 树木生长与斐波那契数列图 大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数． 例如，兰花、茉利花、百合花有 3 个花瓣，毛茛属的植 物有 5 个花瓣，翠雀属植物有 8 个花瓣，万寿菊属植 物有 13 个花瓣，紫菀属植物有 21 个花瓣，雏菊属植 物有 34、55 或 89 个花瓣． 图 2 松果种子排列与斐波那契数列 另外，向日葵花盘、松果的种子排列都是按对数 螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺 线．两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数 (见图 2)． 这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此， 它们只是按照自然的规律才进化成这样． 对于许多 植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生 长的过程中一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶 子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时 出现的) ，每片叶子和前一片叶子之间的角度应该有 合适的角度． 种子的生长方式也是如此，这似乎是植 物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差 不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太 多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉． 3. 影视作品 斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在 电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时 的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节 线索出现．在雅克·索尼埃尸体旁，在地板上留下了 一串数字:13 － 3 － 2 － 21 － 1 － 1 － 8 － 5，他的孙女 意识到这是祖父向她传达的信息，她讲这串数字按 从小到大排列，就成为 1 － 1 － 2 － 3 － 5 － 8 － 13 － 21， 它来自斐波那契数列． 后来在开启她祖父银行的保 险柜时，开始试了其他密码都不成功，后来打开保险 柜所用的密码就是这一数字 1123581321． ［参 考 文 献］ ［1］易南轩．数学美拾取［M］．北京:科学出版社，2008． ［2］李大潜．黄金分割漫话［M］．北京:高等教育出版社， 2007． ［3］李文林． 数学史概论［M］． 北京:高等教育出版社， 2000． ［4］傅海伦． 中外数学史概论［M］． 北京:科学出版社， 2007． (责任编辑 印亚静) —33—