2012年考研数学二真题及答案

2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】：（C） 【解析】： ，所以 为垂直渐近线 ，所以 为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C）。 （2）设函数 ，其中 为正整数，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】：（C） 【解析】： 所以 EMBED Equation.DSMT4 ，故选（C）。 （3）设 ， ，则数列 有界是数列 收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件. （C）必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件. 【答案】：(B) 【解析】：由于 ， 是单调递增的，可知当数列 有界时， 收敛，也即 是存在的，此时有 ，也即 收敛。 反之， 收敛， 却不一定有界，例如令 ，显然有 收敛，但 是无界的。故数列 有界是数列 收敛的充分非必要条件，选(B)。 （4）设 (k=1,2,3),则有D （A） (B) (C) (D) 【答案】：(D) 【解析】：由于当 时 ，可知 ，也即 ，可知 。 又由于 ，对 做变量代换 得 ， 故 由于当 时 ，可知 ，也即 ，可知 。 综上所述有 ，故选(D). （5）设函数 可微，且对任意 都 有 ， ，则使得 成立的一个充分条件是 (A) (B) (C) (D) 【答案】：(D) 【解析】： ， 表示函数 关于变量 是单调递增的，关于变量 是单调递减的。因此，当 时，必有 ，故选D （6）设区域D由曲线 围成，则 【答案】：（D） 【解析】：区域D如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线 将区域分为 四部分。由于 关于 轴对称，可知在 上关于 的奇函数积分为零，故 ；又由于 关于 轴对称，可知在 上关于 的奇函数为零，故 。 因此 ，故选（D）。 （7）设 其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】：（C） 【解析】：由于 ，可知 线性相关。故选（C）。 （8）设 为3阶矩阵， 为3阶可逆矩阵，且 ， ， 则 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】：（B） 【解析】： ，则 ， 故 故选（B）。 二、填空题：9(14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设 是由方程 所确定的隐函数，则 EMBED Equation.DSMT4 ________。 【答案】： 【解析】：将 代入原方程可得 方程 两端对 求导，有 EMBED Equation.DSMT4 ，将 、 代入可得，所以 再次求导得 ，再将 、 、 代入可得 。 （10）计算 ________。 【答案】： 【解析】：原式 （11）设 ,其中函数 可微，则 ________。 【答案】： . 【解析】：因为 ，所以 （12）微分方程 满足初始条件 的解为________。 【答案】： 【解析】： EMBED Equation.DSMT4 为一阶线性微分方程，所以 EMBED Equation.DSMT4 又因为 时 ，解得 ，故 . （13）曲线 上曲率为 的点的坐标是________。 【答案】： 【解析】：将 代入曲率计算公式，有 整理有 ，解得 ，又 ，所以 ，这时 ， 故该点坐标为 （14）设 为3阶矩阵， , 为 的伴随矩阵，若交换 的第一行与第二行得到矩阵 ,则 ________。 【答案】： 【解析】： ，其中 ，可知 。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 已知函数 ，记 （1）求 的值 （2）若当 时， 是 的同阶无穷小，求 【解析】：（1） ，即 （2）,当 时，由 又因为，当 时， 与 等价，故 ，即 （16）（16）（本题满分10分） 求 的极值。 【解析】： ， 先求函数的驻点：令 ， 解得驻点为 .又 对点 ，有 所以， ，故 在点 处取得极大值 . 对点 ，有 所以， ，故 在点 处取得极小值 . （17）（本题满分11分） 过点（0，1）点作曲线 的切线，切点为 ，又 与 轴交于 点，区域 由 与直线 及 轴围成，求区域 的面积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。 【解析】： 如图设切点坐标为 ，斜率为 ，所以设切线方程为 ，又因为该切线过 ，所以 ，故切线方程为： 切线与 轴交点为 （1） （2） （18）（本题满分10分） 计算二重积分 ，其中区域D为曲线 与极轴围成。 【解析】： 令 得，原式 。 （19）（本题满分10分）已知函数 满足方程 及 1）求表达式 2）求曲线的拐点 【解析】： 1）特征方程为 ，特征根为 ，齐次微分方程 的通解为 .再由 得 ，可知 。 故 2）曲线方程为 ，则 ， 令 得 。为了说明 是 唯一的解，我们来讨论 在 和 时的符号。 当 时， ，可知 ；当 时， ，可知 。可知 是 唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线 在 左右两边的凹凸性相反，可知 点是曲线 唯一的拐点。 （20）（本题满分10分） 证明： 【解析】：令 ，可得 当 时，有 ， ，所以 ，故 。而 ，即得 ，也即 。 当 时，有 ， ，所以 ，故 。而 ，即得， 也即 。 当 时，显然有 。 可知， （21）（本题满分11分） （1）证明方程 ，在区间 内有且仅有一个实根； （2）记（1）中的实根为 ，证明 存在，并求此极限。 【解析】： (1)由题意得：令 ，则 ，再由 ，由零点定理 得在 至少存在一个零点，也即方程 在区间 内至少有一个实根。 又由于 在 上是单调的，可知 在 内最多只有一个零点。故方程 在区间 内有且仅有一个实根。 （2）由于 ，可知 （ⅰ）， 进而有 ，可知 （ⅱ）， 比较（ⅰ）式与（ⅱ）式可知 ，故 单调。 又由于 ，也即 是有界的。则由单调有界收敛定理可知 收敛，假设 ，可知 。 当 时， 。 （22）（本题满分11分） 设 ， （Ⅰ）求 （Ⅱ）已知线性方程组 有无穷多解，求 ，并求 的通解。 【解析】：（Ⅰ） （Ⅱ） 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有 及 ，可知 。 此时，原线性方程组增广矩阵为 ，进一步化为行最简形得 可知导出组的基础解系为 ，非齐次方程的特解为 ，故其通解为 线性方程组 存在2个不同的解，有 . 即： ，得 或-1. 当 时, ，显然不符，故 . （23）（本题满分11分）三阶矩阵 ， 为矩阵 的转置，已知 ，且二次型 。 1）求 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型，写出正交变换过程。 【解析】：1） 由 可得， ，可知 。 2） 令矩阵 解得 矩阵的特征值为： 对于 得对应的特征向量为： 对于 得对应的特征向量为： 对于 得对应的特征向量为： 将 单位化可得： ， ， 令 可将原二次型化为 。 _1387558919.unknown _1387611149.unknown _1387611912.unknown _1387612787.unknown _1387612819.unknown _1387613178.unknown _1387613465.unknown _1387613587.unknown _1387613753.unknown _1387613573.unknown _1387613278.unknown _1387613057.unknown _1387613162.unknown _1387612830.unknown _1387612804.unknown _1387612812.unknown _1387612796.unknown _1387612728.unknown _1387612764.unknown _1387612779.unknown _1387612757.unknown _1387612443.unknown _1387612449.unknown _1387612109.unknown _1387611461.unknown _1387611642.unknown _1387611710.unknown _1387611721.unknown _1387611696.unknown _1387611568.unknown _1387611627.unknown _1387611503.unknown _1387611549.unknown _1387611212.unknown _1387611238.unknown _1387611264.unknown _1387611225.unknown _1387611180.unknown _1387611196.unknown _1387611172.unknown _1387610062.unknown _1387610251.unknown _1387611005.unknown _1387611112.unknown _1387611132.unknown _1387611104.unknown _1387610271.unknown _1387610985.unknown _1387610261.unknown _1387610166.unknown _1387610219.unknown _1387610232.unknown _1387610205.unknown _1387610087.unknown _1387610102.unknown _1387610075.unknown _1387560418.unknown _1387571978.unknown _1387609436.unknown _1387609870.unknown _1387609905.unknown _1387609741.unknown _1387609804.unknown _1387609031.unknown _1387609145.unknown _1387609213.unknown _1387609052.unknown _1387572036.unknown _1387572076.unknown _1387572013.unknown _1387562096.unknown _1387562978.unknown _1387567157.unknown _1387567203.unknown _1387567385.unknown _1387567420.unknown _1387567328.unknown _1387567185.unknown _1387567114.unknown _1387562656.unknown _1387562977.unknown _1387562976.unknown _1387562104.unknown _1387560507.unknown _1387562088.unknown _1387560480.unknown _1387559201.unknown _1387559274.unknown _1387560126.unknown _1387560274.unknown _1387560292.unknown _1387559296.unknown _1387559234.unknown _1387559248.unknown _1387559205.unknown _1387559058.unknown _1387559153.unknown _1387559192.unknown _1387559079.unknown _1387559005.unknown _1387559049.unknown _1387558981.unknown _1387558979.unknown _1387533405.unknown _1387535014.unknown _1387554206.unknown _1387558656.unknown _1387558710.unknown _1387558906.unknown _1387558683.unknown _1387558535.unknown _1387558630.unknown _1387558455.unknown _1387554390.unknown _1387554501.unknown _1387554609.unknown _1387554431.unknown _1387554334.unknown _1387543218.unknown _1387543870.unknown _1387553819.unknown _1387553925.unknown _1387553997.unknown _1387553833.unknown _1387544152.unknown _1387544951.unknown _1387545090.unknown _1387545242.unknown _1387545066.unknown _1387544191.unknown _1387544207.unknown _1387544235.unknown _1387544163.unknown _1387544059.unknown _1387544084.unknown _1387543912.unknown _1387543547.unknown _1387543657.unknown _1387543773.unknown _1387543578.unknown _1387543240.unknown _1387543512.unknown _1387543544.unknown _1387543231.unknown _1387535944.unknown _1387536062.unknown _1387537080.unknown _1387542074.unknown _1387542366.unknown _1387543209.unknown _1387542948.unknown _1387542182.unknown _1387542337.unknown _1387537098.unknown _1387537115.unknown _1387537127.unknown _1387536138.unknown _1387536159.unknown _1387537033.unknown _1387536075.unknown _1387535971.unknown _1387536041.unknown _1387536057.unknown _1387536020.unknown _1387535962.unknown _1387535239.unknown _1387535897.unknown _1387535922.unknown _1387535928.unknown _1387535906.unknown _1387535267.unknown _1387535075.unknown _1387535173.unknown _1387535040.unknown _1387534195.unknown _1387534590.unknown _1387534629.unknown _1387534962.unknown _1387534984.unknown _1387534675.unknown _1387534606.unknown _1387534223.unknown _1387534522.unknown _1387534577.unknown _1387534285.unknown _1387534454.unknown _1387534383.unknown _1387534254.unknown _1387534204.unknown _1387534213.unknown _1387534199.unknown _1387533817.unknown _1387533888.unknown _1387533922.unknown _1387533994.unknown _1387534019.unknown _1387533907.unknown _1387533855.unknown _1387533869.unknown _1387533887.unknown _1387533837.unknown _1387533567.unknown _1387533634.unknown _1387533655.unknown _1387533586.unknown _1387533427.unknown _1387523711.unknown _1387526097.unknown _1387526606.unknown _1387526740.unknown _1387527072.unknown _1387527157.unknown _1387533218.unknown _1387527191.unknown _1387527106.unknown _1387527116.unknown _1387527091.unknown _1387526967.unknown _1387527054.unknown _1387526864.unknown _1387526681.unknown _1387526722.unknown _1387526735.unknown _1387526704.unknown _1387526653.unknown _1387526260.unknown _1387526392.unknown _1387526456.unknown _1387526536.unknown _1387526553.unknown _1387526471.unknown _1387526449.unknown _1387526407.unknown _1387526288.unknown _1387526316.unknown _1387526382.unknown _1387526268.unknown _1387526160.unknown _1387526191.unknown _1387526207.unknown _1387526108.unknown _1387526121.unknown _1387525552.unknown _1387525884.unknown _1387526024.unknown _1387526081.unknown _1387525960.unknown _1387526001.unknown _1387525683.unknown _1387525771.unknown _1387525833.unknown _1387525603.unknown _1387525660.unknown _1387524621.unknown _1387525039.unknown _1387525197.unknown _1387525538.unknown _1387525088.unknown _1387525123.unknown _1387525048.unknown _1387524792.unknown _1387524817.unknown _1387524879.unknown _1387524921.unknown _1387524975.unknown _1387524903.unknown _1387524848.unknown _1387524803.unknown _1387524724.unknown _1387524757.unknown _1387524696.unknown _1387524023.unknown _1387524184.unknown _1387524574.unknown _1387524124.unknown _1387523794.unknown _1387523865.unknown _1387523891.unknown _1387523840.unknown _1387523756.unknown _1387521073.unknown _1387523164.unknown _1387523488.unknown _1387523686.unknown _1387523702.unknown _1387523511.unknown _1387523272.unknown _1387523338.unknown _1387523200.unknown _1387523048.unknown _1387523062.unknown _1387523081.unknown _1387523060.unknown _1387522748.unknown _1387523047.unknown _1387522785.unknown _1387521380.unknown _1387521379.unknown _1234567919.unknown _1387520611.unknown _1387520672.unknown _1387520724.unknown _1387520794.unknown _1387520897.unknown _1387520754.unknown _1387520691.unknown _1387520651.unknown _1234567923.unknown _1387519890.unknown _1387519891.unknown _1387519909.unknown _1324637483.unknown _1324637543.unknown _1340287504.unknown _1324637534.unknown _1234567924.unknown _1234567921.unknown _1234567922.unknown _1234567920.unknown _1234567896.unknown _1234567916.unknown _1234567917.unknown _1234567915.unknown _1234567897.unknown _1234567894.unknown _1234567895.unknown _1234567893.unknown