平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用（原稿）

平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用 平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用 王永洪 北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081 过平面曲线 , 的交点的曲线系方程可表示为 ，其中 的函数形式需要根据待求的曲线方程类型和 , 的形式联合确定.曲线系方程的上述表示法的本质是集合中的并集概念，通过待定求解 表达式中参数的问题是代数问题，因此，这种求解曲线系方程的方法属于解析法的范畴。用曲线系方程求解曲线方程的问题多见于二次曲线问题，二次曲线中最特殊的是圆，而对于三类圆锥曲线，这种求曲线的方法很少采用.以下将说明在二次曲线问题中 应具有的形式。 平面二次曲线方程的一般形式是 ，确定椭圆方程和双曲线方程需要5个独立参数，抛物方程需要4个，圆方程需要3个。为了统一论述，我们将曲线方程所固有的关系式也视为独立方程，则曲线系方程需要有5个独立方程求解这些系数，而交点坐标最多能提供两个方程，其他的3个方程直接反映在曲线系方程的形式上，以给定的二次曲线方程 和直线方程 为例，这时的曲线系方程为： ，这个方程经过整理后即是二次曲线的一般式，求解方程中的三个参数即可得到曲线方程，最后还要补充一个不等式来确定曲线类型，即判断 的符号： ，曲线为椭圆或圆， ，曲线为抛物线， ，曲线为双曲线。有关如何通过圆锥曲线方程确定其对称中心，对称轴方程，焦点坐标，准线方程的系列理论可参考相关平面解析几何教材，这里不再赘述。下面说明如何求解过圆锥曲线与直线交点的圆系的方程。 确定平面上一个圆方程需要有3个独立参数，即需要提供3个关于参数的独立方程，而交点坐标能提供两个方程，如上所述，圆系方程表示为 ，其中 为直线方程。尽管根据圆方程中系数的固有的关系提供了两个方程，再根据其他条件补充一个系数方程则圆的方程即可确定，但求解关于系数 的3元一次方程组，还是有很多的不便之处。针对上述问题，下文将介绍一种做法：先解出以 与 交点连线作为直径的圆的方程 ，则过交点的圆系方程即可表示为 ，其中 为待定参数，这种解法显然避免了解多元联立方程的过程，只要解出 ，圆方程即可确定。 例1：设曲线 ，过点 作直线 交曲线于两点 ，过 作曲线的两条切线，两条切线交于一点 . (Ⅰ)求证： 为双曲线. (Ⅱ)若过 和 的圆与N的轨迹直线相切，求直线 的斜率. （Ⅰ）证法一： 作正交坐标变换： ，得在新的坐标基下的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的双曲线方程： ．这说明对于线性变换 ，曲线的类型是不会改变的． 证法二： 由于 ， ． 即 和 是曲线的两条渐进线． 由曲线的两条渐近线位置可以进一步确定曲线的两条对称轴，焦点和准线，然后利用双曲线的第二定义验证． (Ⅱ)解：取正交坐标变换： ，逆变换 . 曲线方程在新坐标系中为 ． 为便于表示，以下取为 坐标系后 用 表示，并且相应坐标也随之取为新坐标系的坐标． ，设过 直线方程是 ， ， ． 表示的 坐标为 ， ． 因为 ，则 ，所以 点轨迹是一条直线． 联立方程： ，消去变量 得： ． ， . ． 以 为直径的圆方程形式是： ． 过 的圆的方程可表示成待定参数 的形式： . 将 代入圆系方程得 ． 因此，圆心坐标为 .该圆与 相切，则圆心到切线的距离等于圆的半径，即 ， 或 ． 解得 . 在原坐标系中，直线的斜率是 ，将以上结果代入可得最后结果． 例2：过点 作直线 交 于两点 ，在抛物线的准线上一点 使 最大，已知点 的纵坐标是 ，求直线 的斜率. 解：首先确定当 点在什么位置时， 最大， 的外接圆显然与抛物线的准线是有交点的，一般交点为两个，当相切时有一个，而 是一个圆周角，其对应的圆心角是圆周角的两倍， 时，圆心角也最大，而 的长为定值，于是圆心到直线 距离最小时圆心角最小，此时也是 外接圆与准线相切的位置，按照这样的分析可知，当 的外接圆与准线相切时， 最大. 设直线 方程为 ， ， .显然 . 联立方程 ，得 . ， . ， . 以 为直径的圆的方程为 ，将上述关系代入整理得 . 于是过 ， 两点的圆系方程表示为 ， 即 . 由于 点在圆上，于是且准线和圆相切于点 ，则 满足圆方程，且圆心与 点的纵坐标相等，即有下列方程： 由以上方程解得 ， . 直线 斜率 . 例3：直线 和过 的直线与椭圆 交于四个点，已知该四点共圆，求该圆的半径. 解：设过点 的直线斜率为 .记直线 和过 的直线 与椭圆 的交点分别为 ， ， ， . 联立方程 ，得 . 以 为直径的圆方程为 ，整理之后得： . 过 ， 的圆系方程可表示为 . 将此方程与直线 方程联立，消去参数 得 . （3-1） 另外，联立方程 ，得 . (3-2). 由于（3-1）（3-2）两式具有相同的解，即过 的直线与椭圆的交点在过 ， 的圆上，于是有下列方程： 解之得 ， . 于是圆的方程为 ，或 .该圆的半径为 . 例4：设抛物线 ，在x轴上有两点 ，过这两个点分别作直线 交抛物线于A，B和C，D，已知A、B、C、D四点共圆，求证：四边形 外接圆的圆心轨迹是抛物线. 证 设两直线方程分别为： ， ． ， 两点得坐标分别是 ， ． 联立方程： 消去 得 ． 以 为直径的圆方程是： ， 或 ． 一般地，我们引入参数 和 ，使得过 ， ， ， 的圆有以下两种表示形式： ． 以上两个方程描述的是同一个圆，于是其对应参数应该相等，即 由以上三式得 且 ． 即 ． 或 ． 事实上， ，若不然，设 是 ， 是交点，则， ， ，代入这个方程得到的结论是 ，这是与题意相悖的． 所以， ， ， ． 圆心坐标是 ，这样圆心轨迹方程即写为 . 可见这条轨迹是抛物线，证毕． 需要指出的是，由例3和例4可以得到一个结论，若圆锥曲线上的四点共圆，则过其中两个点的直线的斜率与过另外两个点的直线斜率互为相反数，因此，在例4中，还存在另外两组斜率互为相反数的直线。另外，还有一个有趣的结论，当四点共圆的情况变为三点共圆，这是一种退化情况，可理解为四个点中有两个点重合了，过这两个点的直线即为曲线的切线，如果这个重合的点是固定的，切线斜率为定值，那么过其他两个点的直线斜率与与这条切线斜率互为相反数，也为一个定值。 以上介绍的构造圆系方程的方法也适用于一般的圆锥曲线系方程，这时需要求解方程中待定的2或3个参数。实际上，无论是两条圆锥曲线相交，还是一条圆锥曲线和一条直线相交，最后都可以归结为后一种情况，因此过公共点的曲线方程的一般式都可以表示为 ，其中 为曲线方程， 为直线方程，这对于求解三种类型圆锥曲线方程而言已经是一个相当好的构造形式了。 撰稿人信息 地址： 北京市海淀区中关村南大街5号北京理工大学机电学院116信箱，100081. 撰稿人： 王永洪 E-MAIL： mt_xxx2007@sina.com 由于撰稿时间匆忙，不足之处诚望指教。 � 作者联系信息：北京市海淀区中关村南大街5号北京理工大学机电学院116信箱，100081. E-mail：� HYPERLINK "mailto:mt_xxx2007@sina.com" ��mt_xxx2007@sina.com� . 1 PAGE 3 _1375222553.unknown _1375223212.unknown _1375223558.unknown _1375223719.unknown _1375223807.unknown _1375223854.unknown _1375223908.unknown _1375223962.unknown _1375223976.unknown _1375223988.unknown _1375223997.unknown _1375223982.unknown _1375223971.unknown _1375223947.unknown _1375223953.unknown _1375223930.unknown _1375223875.unknown _1375223890.unknown _1375223863.unknown _1375223829.unknown _1375223840.unknown _1375223848.unknown _1375223834.unknown _1375223819.unknown _1375223824.unknown _1375223814.unknown _1375223752.unknown _1375223785.unknown _1375223800.unknown _1375223767.unknown _1375223731.unknown _1375223740.unknown _1375223724.unknown _1375223633.unknown _1375223688.unknown _1375223706.unknown _1375223712.unknown _1375223697.unknown _1375223666.unknown _1375223682.unknown _1375223648.unknown _1375223594.unknown _1375223612.unknown _1375223621.unknown _1375223606.unknown _1375223573.unknown _1375223582.unknown _1375223567.unknown _1375223446.unknown _1375223499.unknown _1375223529.unknown _1375223543.unknown _1375223549.unknown _1375223535.unknown _1375223515.unknown _1375223524.unknown _1375223505.unknown _1375223477.unknown _1375223489.unknown _1375223494.unknown _1375223484.unknown _1375223461.unknown _1375223470.unknown _1375223452.unknown _1375223327.unknown _1375223414.unknown _1375223427.unknown _1375223437.unknown _1375223421.unknown _1375223385.unknown _1375223408.unknown _1375223355.unknown _1375223249.unknown _1375223282.unknown _1375223303.unknown _1375223264.unknown _1375223227.unknown _1375223236.unknown _1375223221.unknown _1375222908.unknown _1375223098.unknown _1375223154.unknown _1375223183.unknown _1375223197.unknown _1375223203.unknown _1375223189.unknown _1375223170.unknown _1375223176.unknown _1375223165.unknown _1375223121.unknown _1375223132.unknown _1375223142.unknown _1375223126.unknown _1375223109.unknown _1375223116.unknown _1375223103.unknown _1375223044.unknown _1375223071.unknown _1375223084.unknown _1375223090.unknown _1375223077.unknown _1375223058.unknown _1375223064.unknown _1375223051.unknown _1375222995.unknown _1375223016.unknown _1375223031.unknown _1375223004.unknown _1375222965.unknown _1375222989.unknown _1375222935.unknown _1375222647.unknown _1375222781.unknown _1375222829.unknown _1375222863.unknown _1375222884.unknown _1375222844.unknown _1375222808.unknown _1375222817.unknown _1375222802.unknown _1375222690.unknown _1375222729.unknown _1375222753.unknown _1375222708.unknown _1375222663.unknown _1375222675.unknown _1375222653.unknown _1375222600.unknown _1375222627.unknown _1375222637.unknown _1375222642.unknown _1375222632.unknown _1375222613.unknown _1375222619.unknown _1375222606.unknown _1375222576.unknown _1375222588.unknown _1375222595.unknown _1375222582.unknown _1375222566.unknown _1375222571.unknown _1375222559.unknown _1375222231.unknown _1375222420.unknown _1375222496.unknown _1375222525.unknown _1375222540.unknown _1375222548.unknown _1375222534.unknown _1375222510.unknown _1375222516.unknown _1375222503.unknown _1375222456.unknown _1375222484.unknown _1375222489.unknown _1375222471.unknown _1375222434.unknown _1375222444.unknown _1375222429.unknown _1375222366.unknown _1375222393.unknown _1375222405.unknown _1375222411.unknown _1375222400.unknown _1375222379.unknown _1375222386.unknown _1375222373.unknown _1375222335.unknown _1375222351.unknown _1375222360.unknown _1375222342.unknown _1375222282.unknown _1375222312.unknown _1375222255.unknown _1375221975.unknown _1375222100.unknown _1375222164.unknown _1375222191.unknown _1375222209.unknown _1375222176.unknown _1375222149.unknown _1375222155.unknown _1375222128.unknown _1375222022.unknown _1375222055.unknown _1375222076.unknown _1375222037.unknown _1375222000.unknown _1375222010.unknown _1375221994.unknown _1375221849.unknown _1375221896.unknown _1375221929.unknown _1375221951.unknown _1375221911.unknown _1375221875.unknown _1375221884.unknown _1375221869.unknown _1375221771.unknown _1375221804.unknown _1375221825.unknown _1375221786.unknown _1375221749.unknown _1375221759.unknown _1375221743.unknown