排列组合方法精讲

解排列组合应用题的21种策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1. 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的排法种数有（ ） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 解析：把 视为一人，且 固定在 的右边，则本题相当于4人的全排列， 种，答案： . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为 种，再用甲乙去插6个空位有 种，不同的排法种数是 种，选 . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3. 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 解析： 在 的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 种，选 . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选 . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有 种，选 . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1713488800047_0有（ ） A、 种 B、 种 C、 种 D、 种 答案： . 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 解析：把四名学生分成3组有 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 种，故共有 种方法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案： . 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 种. 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有 方法，所以共有 ；③若乙参加而甲不参加同理也有 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有 种，共有 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 种. 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有 个， 个，合并总计300个,选 . （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ 解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做 共有86个元素；由此可知，从 中任取2个元素的取法有 ，从 中任取一个，又从 中任取一个共有 ，两种情形共符合要求的取法有 种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 解析：将 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集 ；能被4除余1的数集 ，能被4除余2的数集 ，能被4除余3的数集 ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从 中任取两个数符合要；从 中各取一个数也符合要求；从 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 . 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有： EMBED Equation.DSMT4 种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 解析：老师在中间三个位置上选一个有 种，4名同学在其余4个位置上有 种方法；所以共有 种。. 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共 种，选 . （2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有 种，其余5个元素任排5个位置上有 种，故共有 种排法. 13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种 解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有 种,选. 解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有 台,选 . 14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 种，再排：在四个盒中每次排3个有 种，故共有 种. （2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？ 解析：先取男女运动员各2名，有 种，这四名运动员混和双打练习有 中排法，故共有 种. 15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求. 例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A、70种 B、64种 C、58种 D、52种 解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有 个. （2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ） A、150种 B、147种 C、144种 D、141种 解析：10个点中任取4个点共有 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为 ，四个面共有 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是 种. 16.圆排问题单排法:把 个不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 个普通排列： 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同， 个元素的圆排列数有 种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的 元素全排列. 例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？ 解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式 种不同站法. 说明：从 个不同元素中取出 个元素作圆形排列共有 种不同排法. 17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地 个不同元素排在 个不同位置的排列数有 种方法. 例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有 种不同方案. 18.复杂排列组合问题构造模型法: 例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种. 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决. 19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？ 解析：从5个球中取出2个与盒子对号有 种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为 种. 20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？ 解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为 个. （2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？ 解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对. 21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理. 例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？ 解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有 个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 个. （2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 到 的最短路径有多少种？ 解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从 到 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有 种. 排列、组合问题及对策 1、 特殊优先法 对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊入手。先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。 例：1名老师和4名学生排成一排，若老师不排在两端，则共有多少种不同的排法？ 分析：（解法1、特殊元素法）老师在中间3个位置上任选1个的选法有A41种，然后剩余的四名学生在余下的四个位置上，排法有A44种。由分步记数原理，所以共有A31A44=72 种。 （解法2、特殊位置法）先安排两端站两名学生共有A42种方法，其余位置安排有A33种。所以共有排法数为A42A33=72种。 答案：72种。 2、 总体淘汰法 对于含否定词的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去。 比如上面的例题中，1名老师和4名学生共5人，其排列方法为A55种，把老师排在队伍两端的情况A21A44减去。所以方法数为A55-A21 A44=72种。 答案：72种。 相邻问题用“捆绑法” 对于某些元素要求相邻的问题，可先将相邻的元素捆绑并看作一个元素并与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行排列。 例：3个女生与5个男生排在一起，女生必须在一起，可以有多少种不同的方法？ 分析：因为3个女生必须排在一起，所以可以把她们看作一个整体，连同5个男生共6个元素，排成一排有A66种不同的排法，同时每种排法中，女生之间又有A33种不同的排法，利用分步记数原理，可得有A66A33种不同的排法。 答案：A66A33 3、 问题用“插空法” 对于几个元素不相邻的排列问题，先将没有限制条件的元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙插入即可。 例：7人排成一排照相，若要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不同的排法？ 分析：先将其余4人站好，有A44种排法，再于4人之间及两端5个“空隙”中选3个位置将甲、乙、丙插入，有A53种方法。由分步记数原理，这样共有A44A53种不同的排法。 答案：A44A53 2、 顺序问题用“除法” 对于几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素同其余元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。 例：7个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？ 分析：7个节目的全排列为A77,甲、乙、丙之间的顺序已定。所以有A77∕A33=840种。 答案：840种。 3、 分排问题用“直排法” 把n个元素排成几排的问题，若没有其它特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理。 例：15人排成两排，前排7人，后排8人，共有多少种不同的方法？ 分析：前排7人有A157种方法，后排8人有A88种方法，所以有A157A88=A1515种不同方法。其实就相当于将15个人排成一排。 答案：A1515种 4、 穷举法 当题目中的附加条件增多，结果数目不大，解决它的方法又不一般，采用穷举法有时能取得意想不到的效果。 例：三边长均为整数，最长边为8 的三角形有多少个？ 分析：另两边用字母x、y表示，且不妨设1≤x≤y≤8，x+y≥9 当 y=8时，x=1,2,…8, 有8个。 当y=7时，x=2,3…7 有6个。 当y=6时，x=3,4,5,6,有4个 当y=5时，x=4,5,有2 个。 所以，所求的三角形的个数为8+6+4+2=20。 答案：20个。 5、 特征分析 研究有约束条件的排数问题，需紧扣题中所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。 例：由1，2，3，4，5，6这六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？ 分析：6的倍数既是2的倍数，又是3的倍数。是2的倍数，个位上为2、4或6；是3 的倍数必须满足各个数字上的数字之和是3的倍数的特征。把这6个数分组（3）、（6）、（1，5）、（2，4），每组的数字和都是3的倍数，因此可分成两类讨论。第一类：由1、2、4、5、6作数码，首先从2、4、6中任选一个作为个位数字，有A31种，然后其余4个数字在其它数字上全排列有A44,所以，N1=A31A44个，第二类：由1、2、3、4、5作数码，依上法有N2=A21A44个。故N=N1+N2=120个。 答案：120个。 6、 对应 有些时候，一个事件与一个结果之间存在一一对应的关系。 例：在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛后，失败者退出比赛），最后产生一名冠军，需举行多少场比赛？ 分析：要产生一名冠军，需要淘汰99名选手。要淘汰掉一名选手，必须举行一场比赛；反之，每场比赛恰淘汰一名选手。两者之间一一对应。故要淘汰99名选手，应举行99场比赛，从而产生一名冠军。 答案：99场。 10、消序 某些条件，使得元素位置确定。 例：有3个男生，3个女生，排成一列，高矮互不相等。要求从前到后，女生从高到矮排列，有多少种不同的排法？ 分析：先从6个位置中选3个位置排男生，有A63种不同排法。余下3个位置排女生，因要求“从高到低”所以女生的排法只有一种。故有A63=120 种。 答案：120种。 11进住法 解决允许重复排列问题要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看成“一封信”，能重复的元素看成“信箱”。在利用乘法原理直接求解的方法称为进住法。 例：5名运动员争夺3个项目的冠军（没有并列），所以可能的结果有多少种？ 分析：因为同一运动员可以同时夺得几项冠军，故运动员可以重复排列，将5名运动员看作五个信箱，3项冠军看成3封信，每封信可以投进五个信箱，有5种投递方法。由乘法原理知有53种。 答案：53种 12、探索 对情况复杂，不易发现规律的问题，要仔细分析，探索其中规律，再予以解决。 例：从1到100的自然数中，每次取出两个数，使它们的很大于100，则弥补台的取法有多少种？ 分析：此题数字较多，情况不一样。需要分析摸索其规律。为方便，我们称两个加数中较小的为被加数。因1+100>100，1为被加数的只有一种。2+99>100，2+100>100，2为被加数的有两种。同理，3为被加数的有3种……49为被加数的有49种。50为被加数的有50种。但51为被加数的只有49种……99为被加数的只有一种。故不同的取法有（1+2+3+……50）+（49+48+……1）=2500种。 答案：2500种。） 13、“树图”表示法 对某些分步进行的问题，可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形表示出来。 例：四人各写出一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式有（ ）种。 A.6 B.9 C.11 D.32 分析：将四张贺卡分别记为A,B,C,D。由题意，某人（不妨设为A卡的供卡人）取卡有3种情况。因此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其它人依次取卡分步进行。为避免重复或遗漏现象，可用树状图表示。 ↗A→D→C ↗A→D→B ↗A→B→C B→C→D→A C→D→A→B D→C→A→B ↘D→A→C ↘D→B→A ↘C→B→A 所以共有9种不同的分配方式。 答案：B 。 14、用比例法 有些排列应用题，可以根据每个元素出现机会占整个问题的比例，从而求得问题的结果。 例：A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B 可以不相邻），不同的排法有多少种？ 分析：若没有限制条件，则5人的全排列有A55=120种，而A在B右边与B在A右边各占一半，所以B在A右边的排列法有1∕2A55=60种。 答案：60种。 例：从6个运动员中选出4个参加4×100 米接力赛。如果甲、乙都不能跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？ 分析：若不受条件限制，则参赛方案有A64=360种，但其中限制甲、乙两人不能跑第一棒，即跑第一棒的只能是其他的人，而这4人在第一棒中出现的可能性为4/6 故所求参赛方案有4∕6•A64=240种。 答案：240种。 以上介绍了排列应用题的几种常见求解策略。这些策略不是彼此孤立的，而是相互依存。有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略。 在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步。首先要弄清楚：要完成的是一件什么事，完成这件事有几类方法，每类方法中，又有几个步骤。这样才会不重复、不遗漏地解决问题。 三．基本题型及方法： 1．相邻问题 （1）、全相邻问题，捆邦法 例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。 A）720 B）360 C）240 D）120 说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 （2）、全不相邻问题，插空法 例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法， 解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为 种 例4（06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040 解：不同排法的种数为 ＝3600，故选B 说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。 （3）．不全相邻排除法，排除处理 例5．五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解： 例6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 解法一：　　①前后各一个，有8×12×2＝192种方法　②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法 ③两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置： 　　 乙可坐2个位置 乙可坐1个位置 2＋2＝4 1＋1＝2 　此种情况共有4＋2＝6种方法 因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6＋6＝12种方法 　　④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右  　　∴　甲左乙右总共有种方法．同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192＋32＋12＋110＝346种 解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。），7号座位与8号座位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。），共有 种 2、顺序一定，除法处理或分类法。 例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。 解：5面旗全排列有 种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有 说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷 例8．（06湖北卷）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答） 解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有 ＝30种不同排法。解二： =30 例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（ ） A）210个 B）300个 C）464个 D）600个解： 故选（B） 4、多元问题，分类法 例10．(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种 解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有 =240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有 =240种选法；③甲、乙、丙都不去，有 种选法，共有600种不同的选派方案． 例11：（06全国卷I）设集合 。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A． B． C． D． 解析：若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有 =10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有 =10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有 =5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有 =1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有 =10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有 =5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有 =1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有 =5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有 =1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种 数有 =1种；总计有 ，选B. 解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集， 从5个元素中选出2个元素，有 =10种选法，小的给A集合，大的给B集合； 从5个元素中选出3个元素，有 =10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法； 从5个元素中选出4个元素，有 =5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法； 从5个元素中选出5个元素，有 =1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法； 总计为10+20+15+4=49种方法。选B. 例12（06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　） A．10种　　　　　B．20种　　　　　C．36种 　　　　　D．52种 解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有 种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有 种方法；则不同的放球方法有10种，选A． 说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。 5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。 例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？ 解：设全集U={6人中任选4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=252 例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。 （1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？ （2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？ 例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ） A）6种 B）9种 C）11种 D）23种 解：此题可以看成是将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将1填入2至4的3个方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它3个方格，又有3种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有3×3×1=9种填法。故选B 说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。 例16、（06湖北卷）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 。（答：78种） 说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。 6、多排问题，单排法 例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为 A） B） C） D） 解：此题分两排座可以看成是一排座，故有 种座法。∴选（D） 说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理） 例18．（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有 （A）108种　　　 （B）186种　　　 　（C）216种　　　　 （D）270种 解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有 =186种，选B. 例19．（06辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答) 【解析】两老一新时, 有 种排法；两新一老时, 有 种排法,即共有48种排法. 【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想. 例20．(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有 （A）３０种　　　（B）９０种 （C）１８０种　　　　（D）２７０种 解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有 种方法，再将3组分到3个班，共有 种不同的分配方案，选B. 说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。 8、部分符合条件淘汰法 例21．四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 （ ） A）150种 B）147种 C）144种 D）141种 解：10个点取4个点共有 种取法，其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个，故符合条件不共面的平面有 选D 说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。 9．分组问题与分配问题 ①分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理 例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？ 分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有 种分法，再取3个不第二组，有 种分法，剩下3个为第三组，有 种分法，由于三组之间没有顺序，故有 种分法。（2）同（1），共有 种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以 。 练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？ ②分配问题： 定额分配，组合处理； 随机分配，先组后排。 例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有 种；再让乙选，有 种；剩下的给丙，有 种，共有 种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有 种不同的分法。 例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能? 解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有种，前4次测试中的顺序有种，由分步计数原理即得：（）＝576。 【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列 练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？ 2．将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？ 例25（06湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16种 B.36种 C.42种 D.60种 解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有 ， 二是在在两个城市分别投资1，1，1个项目，此时有 ， 共有 EMBED Equation.DSMT4 =60， 故选 （D） 10．隔板法：隔板法及其应用技巧 在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例： 例26。求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？) 分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x.y.z之值（如图） ○○○ ○○○ ○○○○ 则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为 个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明： 技巧一：添加球数用隔板法。 例27．求方程x+y+z=10 的非负整数解的个数。 分析：注意到x 、y 、z 可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给 x、 y、z 各一个球。这样原问题就转化为求x+y+z=13 的正整数解的个数了，故解的个数为 =66个。 【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。 技巧二：减少球数用隔板法。 例28．将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。 分析1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1种方法；再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有 =286 种方法。 分析2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例26知有 =286 种方法。 【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。 技巧三：先后插入用隔板法。 例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ 分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有 种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同上理知有 种方法。故由乘法原理知，共有 种方法。 11．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。 ②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。 ③ 能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。④ 能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 5 能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 例30（06北京卷）在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 （A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个 解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有 种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有 ，故共有 ＋ ＝24种方法，故选B 例31。（06天津卷）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有　　24　个（用数字作答）． 12．分球入盒问题 例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ 1 小球不同，盒子不同，盒子不空 解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有 ②小球不同，盒子不同，盒子可空 解： 种 ③小球不同，盒子相同，盒子不空 解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有 =25种 ④小球不同，盒子相同，盒子可空 本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。共有 种 ⑤小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 \ 00 \ 00 ，有 种方法 ⑥小球相同，盒子不同，盒子可空 解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。故有 =21解：分步插板法。 ⑦小球相同，盒子相同，盒子不空解：5个相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。 共 2种 ⑧小球相同，盒子相同，盒子可空 解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0； 4，1，0；3，2，0； 3，1，1； 2，2，1。 A B _1240027574.unknown _1240046769.unknown _1240055252.unknown _1240057660.unknown _1240064793.unknown _1240132696.unknown _1240133027.unknown _1240133513.unknown _1240133524.unknown _1240133959.unknown _1240133037.unknown _1240132738.unknown _1240132102.unknown _1240132156.unknown _1240129994.unknown _1240130361.unknown _1240065214.unknown _1240063343.unknown _1240063421.unknown _1240063922.unknown _1240063367.unknown _1240062879.unknown _1240062932.unknown _1240063279.unknown _1240062910.unknown _1240057816.unknown _1240056442.unknown _1240056886.unknown _1240057140.unknown _1240057329.unknown _1240057100.unknown _1240056590.unknown _1240056861.unknown _1240056559.unknown _1240055887.unknown _1240056255.unknown _1240056281.unknown _1240056120.unknown _1240055359.unknown _1240055765.unknown _1240055321.unknown _1240053921.unknown _1240054518.unknown _1240054972.unknown _1240055007.unknown _1240054903.unknown _1240054002.unknown _1240054463.unknown _1240053977.unknown _1240047432.unknown _1240047897.unknown _1240053846.unknown _1240047896.unknown _1240047337.unknown _1240047393.unknown _1240046815.unknown _1240044001.unknown _1240044524.unknown _1240044858.unknown _1240045759.unknown _1240046031.unknown _1240044913.unknown _1240044730.unknown _1240044841.unknown _1240044670.unknown _1240044144.unknown _1240044382.unknown _1240044467.unknown _1240044201.unknown _1240044057.unknown _1240044143.unknown _1240044039.unknown _1240030632.unknown _1240043299.unknown _1240043889.unknown _1240043917.unknown _1240043446.unknown _1240030780.unknown _1240043281.unknown _1240030668.unknown _1240030257.unknown _1240030417.unknown _1240030478.unknown _1240030380.unknown _1240027876.unknown _1240028595.unknown _1240027855.unknown _1237313649.unknown _1240024313.unknown _1240025440.unknown _1240026669.unknown _1240027465.unknown _1240027503.unknown _1240027426.unknown _1240026699.unknown _1240026159.unknown _1240026600.unknown _1240026115.unknown _1240024474.unknown _1240024583.unknown _1240024621.unknown _1240024483.unknown _1240024444.unknown _1240024456.unknown _1240024340.unknown _1240023172.unknown _1240023884.unknown _1240024225.unknown _1240024280.unknown _1240023926.unknown _1240023773.unknown _1240023842.unknown _1240023204.unknown _1240022930.unknown _1240023106.unknown _1240023122.unknown _1240023069.unknown _1237723339.unknown _1240022877.unknown 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