2013 年全国初中数学联赛初赛试卷-深圳

1 2013 年全国初中数学联赛初赛试卷 2013 年全国初中数学联赛初赛试卷 时间：2013 年 3 月 3 日上午 9:00—10:30 一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （每题 5分，共 50分） 1. 方程 2 2013( 1) 1xx x    的根有（ ）个. A、1 B、2 C、3 D、4 易错题（丢解） 考查 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ：幂，一元二次方程 分类讨论： ① 2 1 1x x   解得 1 21, 2x x   ② 2 1 1 2013 x x x         偶数 解得 1x   ③ 2 1 0 2013 0 x x x        解得 2013x  综上共 4 解.选 D 2. 如图所示，阴影部分的面积是 210cm ， AE ED ， : 5:3BD DC  ，则 ABC 的面积是：（ ） A、24 B、26 C、27 D、30 考查知识点：平行线分线段成比例，面积计算 因为 AE ED 所有 ABE BDES S  因此 210ABE AEF ABFS S S S cm     阴影 要想计算 ABC 的面积，现已知 ABF 的面积，只需知道 :AF AC即可， 把题目已知的线段比例通过平行线都转化到线段 AC上， 过点D作DG EF 交 AC于点G 易得 AF FG ， : : 5:3FG GC BD DC  G F E A B CD 2 2013 年全国初中数学联赛初赛试卷 可得 : 5:13AF AC  ，因此 2 13 26 5 ABC ABFS S cm   ，选 B 3. 同时含有字母 , ,a b c，且系数是 10 的 9 次单项式，一共有（ ）个 A、9 B、10 C、15 D、28 考查知识点：单项式，排列组合 10 x y za b c 指数和为 9x y z   且 , ,x y z均不为 0 采用插板法：8 个空插 2 张板共有 2 8 8! 28 6!2! C   种方法，选 D 4. 若抛物线 2 4 4 2y x mx m    与 x轴相交于整点，则抛物线的对称轴为（ ） A、 1x  B、 1y  C、 1x   D、对称轴与m有关，不能确定 考查知识点：一元二次方程整数根，根与系数关系 设方程 2 4 4 2 0x mx m    的两个根为 1 2 1 2, ( )x x x x 则由根与系数关系得： 1 2 1 2 4 4 2 x x m x x m      消去字母m得 1 2 1 2 2 0x x x x    整理得 1 2( 1)( 1) 1x x    因此 1 2 1 1 1 1 x x       即 1 2 0 2 x x    抛物线对称轴为 1 2 1 2 x x x    5. 由四名学生每人各随机投掷一枚一元硬币，恰好有两个硬币国徽向上的概率是： A、 1 2 B、 1 4 C、 1 8 D、 3 8 考查知识点：概率 由概率二项式分布知识有： 2 2 2 4 4 1 1 3 ( 2) 2 2 8 P n C               ，选 D 6. 已知实数 ,a b满足： 4 4 18ab a b   ，则 2 2a b 的最小值是（ ） 3 2013 年全国初中数学联赛初赛试卷 A、14 B、16 C、18 D、20 考查知识点：代数变形，二次函数 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2[18 4( )] 8 36 ( 4) 20 20 a b a b ab a b a b t t t                 （令 t a b  ） 4t a b    时取得最小值.选 D 7. 已知点P是正 ABC 内的一点，若 2PA  ， 7PB  ， 150APB  ，则PC的长度为（ ） A、 3 B、 5 C、3 D、5 考查知识点：图形旋转 把 APC 顺时针旋转60至 ADB 易知 ADP 是等边三角形 2DP AP  ， 60APD  则 90BPD APB BPD     2 2 3PC BD PD PB    ，选 C 8. 设实数 3 320 14 2 20 14 2x     ，则 2013x 的末位数字是（ ） A、3 B、4 C、6 D、8 考查知识点：根式化简 首先化简 3 20 14 2 设 32 20 14 2a b   则   3 2 20 14 2a b   整理得 3 2 2 36 (3 2 ) 2 20 14 2a ab a b b     P C A B D 4 2013 年全国初中数学联赛初赛试卷 比较系数得 3 2 2 3 6 20 3 2 14 a ab a b b       易猜得方程的根为 2 1 a b    因此 3 320 14 2 2 2, 20 14 2 2 2      所以 4x  ， 2013 2013 40264 2x   1 2 3 4 52 2,2 4,2 8,2 16,2 32     可见尾数周期为 4，4026 4 1006 2  因此 2013x 的尾数是 4，选 B 9. 已知实数 , ,a b c满足： a b b c c a k c a b       ，则直线 2 3y kx k k   与坐标轴围成的三角形面 积是：（ ） A、2 B、2 或 4 C、4 D、4 或 5 考查知识点：分式，一次函数 由已知得 , ,a b ck b c ak c a bk      相加得：2( ) ( )a b c k a b c     当 0a b c   时 2k  当 0a b c   时 1 a b c k c c       又直线 2 3y kx k k   与坐标轴交点为 2 3(0, )k k 与 2( ,0)k k 3 21 (1 ) 2 4 2 S k k   或 ，选 B 10. 如图所示，点 A 为圆O外一点， AB切圆O于点 B ， AEF 是圆O的割线，点 ,E F 在圆上. BC AO 于点C，CF与OE相交于点G .若 1CG  ， 4GF  ， 7 5 OG  ，则圆O的半径是 A、 2 3 5 B、4 C、 9 4 35 D、 3 4 7 5 2013 年全国初中数学联赛初赛试卷 考查知识点：射影定理，切割线定理，四点共圆，相交弦定理 连结OB，在Rt ABO 中由射影定理得： 2AB AC AO  由切割线定理得： 2AB AE AF  由以上两式得 AC AO AE AF   因此 , , ,O C E F四点共圆 由相交弦定理得：OG EG CG GF   可得 20 7 EG  圆O的半径 9 4 35 OE OG EG   ，选 C 二、填空题（每题 5分，共 50分） 11. 若 n是正整数，且使 2 9 3n n  是完全平方数，则n 4 或 19 考查知识点：平方数 设 2 29 3n n m   则 2 2(2 9) 4 93n m   可分解为： (2 9 2 )(2 9 2 ) 93 93 1 31 3n m n m         2 9 2 93 2 9 2 1 n m n m        或 2 9 2 31 2 9 2 3 n m n m        分别解得： 19n  或4 12. 已知对于任意的正整数n，都有 31 2 na a a n    ，则 2 3 4 2013 1 1 1 1 1 1 1 1a a a a          2012 6039  D G E C O B A F 6 2013 年全国初中数学联赛初赛试卷 考查知识点： 数列 3 1 2n nS a a a n     则 3 3 2 1 ( 1) 3 3 1( 2)n n na S S n n n n n         1n  时上式也成立. 21 3( )na n n   2 3 4 2013 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 2013 2012 2012 6039 a a a a                       13. 观察下列等式： 2 2 2 2 225 15 625 25 1225 35 2025 45     若 221025 x ，则根据上述各式的规律， 145x  考查知识点： 找规律，一元二次方程 实际上末尾是 5 的整数 5a 的平方有如下规律：   2 5 ( 1) 100 25a a a    即乘积的末两位为 25，前几位是 ( 1)a a ， 因此有 ( 1) 210a a  解得 14a  （负根舍去）。 14. 如图所示，已知矩形OABC点 ,A B分别在 x轴和 y轴上，双曲线 k y x  在第一象限与 ,AB BC的 交点分别为D E， ，若 : 2 :3CD DB  ，且四边形OEBD的面积为 6，则直线 (2 ) 2y k x k    与 双曲线 k y x  的交点坐标是 (1,4)或 (2,2) 7 2013 年全国初中数学联赛初赛试卷 考查知识点：反比例函数与一次函数 设点 ( , )B a b ，则点 ( , ) k D b b 由 : 2 :3CD DB  得 : 2 :5CD CB  由坐标可得： 2 5 k ab  又 6OAE OCDOEBD OABCS S S S ab k      四边形 四边形 由以上两式解得： 4k  直线 (2 ) 2y k x k    与双曲线 k y x  分别为： 2 6y x   和 4 y x  联立得 2 6 4 y x y x       解得 (1,4)或 (2,2) 15. 若 21 4 a b c   ，且 1 2 a b c b c c a a b       ，则 1 1 1 b c c a a b       2 3 考查知识点： 分式 1 2 a b c b c c a a b       两边分别加 3 得： 7 1 1 1 2 7 2 1 1 1 7 1 2 2 3 a b c b c c a a b a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b c                                10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 f x  = 4 x E(a,k/a) D(k/b,b)C A B(a,b) O 8 2013 年全国初中数学联赛初赛试卷 16. 已知整数 , ,a b c满足： 2 2 2 2 4 8 20a b c a b c      ，则 a b c a b c b c a           27 考查知识点：配方 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 8 16 1 ( 1) ( 2) ( 4) 1 a a b b c c a b c                因为 , ,a b c是整数，所以 2 2 2( 1) ( 2) ( 4)a b c     是整数， 所以 2 2 2( 1) ( 2) ( 4) 0a b c      所以 1, 2, 4a b c    1 2 4 1 2 4 27 2 4 1            17. 如图所示，在 ABC 中， AB AC ，BA AP ， AP交BC的延长线于点P，则 2 BP BC AB  的值 是 2 . 考查知识点：相似，直角三角形 取 BP中点D， 2BP BD ，连结 AD，则 BCA BAD ∽ 因此 2AB BC BD  2 2 2 2 BP BC BD BC AB AB     18. 已知实数 , ,x y z满足：    2 2 22 3 2 8 11 3 30 79 24x x y y z z       ，则 x y z   4 考查知识点：配方 2 2 22 3 4 [( 1) 2][2( 2) 3][3( 5) 4] 24x y z          DC A B P 9 2013 年全国初中数学联赛初赛试卷 因此 2 2 2[( 1) 2][2( 2) 3][3( 5) 4] 24x y z       1, 2, 5x y z    ， 4x y z   19. 如图所示，在矩形 ABCD中，已知 10AB  ， 6BC  ， : 3: 2AE EB  .点F 和G 是线段BC上 两个动点，且 2FG  .当四边形EFGD的周长取得最小值时， tan BFE  7 2 考查知识点：将军饮马模型 作 E关于直线BC的对称点E，如图过点E作EH BC 使得 2EH  ，连结DH 交BC于点G， 在线段BC上点G选取点F 使得 2FG   . 易求得 20 7 CG  则 20 8 6 2 7 7 BF      因此 7 tan 2 BF BF E BE     20. 已知实数 ,x y满足：    1.5 3.5 1 2 9 y y x x        ，则在平面直角坐标系中，动点 ( , )P x y 活动 区域的面积是： 6 考查知识点：绝对值 动点 ( , )P x y 的活动区域为 2 1,1.5 3.5x y     3 2 6S    GF G' HE' F' E A C D B