微分方程数值解法答案

包括基本概念，差分格式的构造、截断误差和稳定性，这些内容是贯穿整个教材的主线。解答问题关键在过程，能够显示出你已经掌握了 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 上的内容，知道了解题方法。这次考试题目的类型：20分的选择题，主要是基本概念的理解，后面有五个大题，包括差分格式的构造、截断误差和稳定性。 习题一 1． 略 2． ，梯形公式： ，所以 ，当 时， 。 同理可以证明预报-校正法收敛到微分方程的解. 3． 局部截断误差的推导同欧拉公式; 整体截断误差: ，这里 而 ，所以 ，不妨设 /2，得到： 4． 中点公式的局部截断误差： 所以上式为 中点公式的整体截断误差： 因而 ， EMBED Equation.3 5． 略 6． 略 7． 略 8． （1）欧拉法： ；四阶Runge-Kutta方法： （2）欧拉法： ；四阶Runge-Kutta方法： （3）欧拉法： ；四阶Runge-Kutta方法： 9． 略 10． 略 习题2 1． 略 2． 略 3． 略 4． 差分格式写成矩阵形式为： 矩阵的特征值为： ，要使格式稳定，则特征值须满足 ，即 5． 利用泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为 。 古典隐式差分格式写成矩阵形式为： 特征值为： ，即： ，所以无条件稳定。 6． 由Von-Neumann方法，令 ，代入差分格式得到增长因子为： ，所以 ，恒不稳定。 7． ，则原三层格式等价于： ，令 ， 可以得到格式的增长矩阵为： ， 特征值为 ＝ ，当 1+2 〈0时，格式恒不稳定。当 时，格式无条件稳定。 8． 令 ，则可以得到差分格式的增长矩阵为： ，特征值为： ， ，所以 ，格式无条件稳定。 9. （1）由Von-Neumann方法， ，可以得到格式的稳定条件为： ； （2） ，无条件稳定。 10. 解：消去 便可得到 与 的关系为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 由Von-Meuman方法可以得到增长因子 = 显然无条件稳定 习题3 1. （1） 第一个差分方程的截断误差为 （2） 第二个差分方程的截断误差为 2. 边界条件离散为 = = = =2ln ， = 然后将未知点按自然顺序排列 = 可以写出求解的线性代数方程组 用直接方法或迭代方法可求解. 3. 求解的关键是 （1）边界条件的离散应与差分方程相适应; （2）在边界的四个角点处差分方程的建立; （3）未知量按自然顺序排列，写出线性方程组 4. 解：（1）将节点以自动顺序排列 U= 其中 则Dirichlet问题的差分格式可以写成方程组 AU=b 其中A，B即为题中已给形式，b为由边界条件离散化后已确定的已知向量 （2）考虑AU= 即 因B为对称阵，故存在正交阵Q使 用 左乘以上各式 记 = 则 EMBED Equation.DSMT4 选取以上方程组中的每一个小方程组的第j 个方程得到 j=1，2…..p-1 这是一齐次三对角线性方程组，若要使其有非零解，则系数行列式值为零， 即 =0 根据三对角阵特征值公式有 =1，2…q-1 而 于是证得 =1，2…q-1 m=1，2….p-1 事实上由此也可以求出A的特征向量,而AU=b的求解与此类似; （3）求解AU=b的Jacobi迭代 因A=D-L-R 所以 设X为A的对应于 的特征向量，于是 GX= 这说明X也是G的特征向量，对应的特征值为 =1，2…..p-1 m=1，2…….q-1 因在 上， 为减函数，于是 习题4 11． 特征线为： ，求解得到曲线为： ，过点 的特征线为： 。沿特征线，原方程变为常微分方程： ，带入 ，得到： ，在点(3，19)的值为6.5。 12． 此问题给出的初始条件比较特殊，为两条直线，因此有两条完全不同的特征线，从而得到沿两条不同特征线的解。特征线方程为： ，特征关系为 ，即 ，对于一条初始曲线 ，在其上任取一点 ， ，解在此点满足初始条件，得到 ，过此点的特征线为： ；对于另一条初始曲线 ，在其上任取一点 ， ，解在此点满足初始条件，得到 ，过此点的特征线为： 。过点 的值为 ，过点 的值为 。过此两点的特征线分别为 和 。若 上的初始条件改为 ，则特征线为 ，特征方程为 ，过点 的特征线为 ，解为 ，故 及 在点 的准确值分别为 ， 。 13． 略 14． 原方程化为 ，可以求出 的特征值为： ， ，对应的左特征向量为： ， ，因此可以得到方程的正规形式并求解 15． (1) 由Von Neumann方法，可以得到增长因子为： 所以 ，格式无条件稳定。 (2) 利用格式的泰勒展式近似 可以得到。 16． (1) 由Von Neumann方法，令 ，可以得到增长矩阵为： ，特征值为： ，所以 ，得到当 时，格式稳定，又 为正规矩阵，即 ，所以稳定性条件为充要条件。 (2) 同教材193页格式(4.81)的讨论。 17． 特征值为： ，对应的左特征向量为： ， ，则可以相应地写出原方程的正规形式。 18． 略 19． 令 ， ，则原方程等价于 ，方程组的正规形式： 由 ，可以得到过点 的特征线为 ，沿此特征线方程（1）变为 ，即 ，过点 的解为 ， 特征线方程为： ，过点 的特征线为： ，沿特征线方程变为： ，解此方程得到 ，又 ，所以解为： 。 10． 由Von Neumann方法可以得到。 9 _1180772731.unknown _1181378408.unknown _1181454236.unknown _1210657706.unknown _1364590674.unknown _1364591270.unknown _1367996803.unknown _1367996939.unknown _1367996973.unknown _1367996972.unknown _1367996851.unknown _1364593358.unknown _1364593359.unknown _1364591305.unknown _1364593212.unknown _1364591064.unknown _1364591088.unknown _1364590832.unknown _1240868614.unknown _1240868615.unknown _1240868431.unknown _1181456928.unknown _1181916194.unknown _1181916633.unknown _1181917089.unknown _1181917253.unknown _1206344603.unknown _1181917199.unknown _1181916705.unknown _1181916263.unknown _1181916342.unknown _1181916225.unknown _1181457582.unknown _1181457930.unknown _1181458069.unknown _1181458658.unknown _1181458693.unknown _1181458555.unknown _1181457985.unknown _1181457583.unknown _1181457317.unknown _1181457356.unknown _1181457196.unknown _1181455359.unknown _1181455731.unknown _1181456289.unknown _1181455398.unknown _1181454905.unknown _1181454972.unknown _1181454310.unknown _1181452526.unknown _1181452960.unknown _1181453707.unknown _1181453851.unknown _1181453505.unknown _1181452709.unknown _1181452837.unknown _1181452643.unknown _1181451578.unknown _1181452278.unknown _1181452446.unknown _1181451712.unknown _1181451188.unknown _1181451377.unknown _1181451041.unknown _1181451187.unknown _1181160336.unknown _1181248226.unknown _1181332699.unknown _1181333091.unknown _1181378334.unknown _1181333202.unknown _1181332833.unknown _1181248444.unknown _1181332563.unknown _1181248351.unknown _1181244389.unknown _1181247945.unknown _1181248002.unknown _1181244736.unknown _1181161441.unknown _1181244310.unknown _1181160439.unknown _1181160738.unknown _1180815048.unknown _1180967445.unknown _1181155508.unknown _1181157527.unknown _1181157885.unknown _1181158128.unknown _1181158217.unknown _1181158353.unknown _1181157937.unknown _1181157619.unknown _1181155660.unknown _1181155700.unknown _1181155625.unknown _1180967574.unknown _1180968704.unknown _1180969062.unknown _1180968964.unknown _1180968699.unknown _1180967572.unknown _1180967573.unknown _1180967480.unknown _1180967568.unknown _1180815181.unknown _1180816090.unknown _1180967442.unknown _1180816028.unknown _1180815130.unknown _1180815136.unknown _1180815129.unknown _1180772741.unknown _1180813233.unknown _1180813541.unknown _1180815043.unknown _1180813320.unknown _1180772826.unknown _1180772858.unknown _1180772759.unknown _1180772736.unknown _1180772738.unknown _1180772739.unknown _1180772737.unknown _1180772734.unknown _1180772735.unknown _1180772732.unknown _1180526255.unknown _1180557104.unknown _1180772723.unknown _1180772727.unknown _1180772729.unknown _1180772730.unknown _1180772728.unknown _1180772725.unknown _1180772726.unknown _1180772724.unknown _1180557282.unknown _1180772590.unknown _1180772596.unknown _1180772721.unknown _1180772722.unknown _1180772599.unknown _1180772615.unknown _1180772593.unknown _1180767865.unknown _1180772580.unknown _1180772586.unknown _1180772577.unknown _1180557315.unknown _1180557207.unknown _1180557217.unknown _1180557173.unknown _1180526968.unknown _1180527458.unknown _1180529302.unknown _1180529410.unknown _1180527815.unknown _1180529132.unknown _1180527447.unknown _1180526914.unknown _1180526926.unknown _1180526460.unknown _1180510226.unknown _1180514607.unknown _1180514651.unknown _1180515034.unknown _1180514632.unknown _1180510597.unknown _1180513938.unknown _1180510576.unknown _1180509853.unknown _1180510148.unknown _1180510204.unknown _1180509865.unknown _1180419049.unknown _1180419056.unknown _1180509714.unknown _1180126660.unknown _1180126715.unknown _1180126428.unknown