第42卷第7期
2012年4月
数学的实践与认识
MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORY
V01.42,No.7
Apr.,2012
J.,''’’'’,''’-’|:.
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层次分析法权重计算方法分析及其应用研究
邓雪·,李家铭-,曾浩健,,陈俊羊t,赵俊峰。
(1.华南理工大学理学院数学系,广东广州510640)
(2.华南理工大学机械与汽车工程学院,广东广州510640)
摘要:介绍层次分析法的基本概念,同时也分析了层次分析法权重的计算方法及
应用.层次分析法的计算方法有四种方法:几何平均法、算术平均法、特征向量法、
最小二乘法.以往的文献利用层次分析法解决实际问题时,都是采用其中的某一种
方法求权重向量,不同的方法会导致结果有些偏差.将对一具体实例,采用四种计算
方法分别得出权重向量再进行排序和综合分析,这样可以避免采用单一方法所产生
的偏差,得出的结论将更全面、更有效.
关键词:层次分析法;判断矩阵;权重向量;一致性检验
1层次分析法简介
1.1层次分析法概念
美国运筹学家Saaty于20世纪70年代初提出了著名的层次分析法fAnalyticHierarchy
Process简称AHP).层次分析法是将与决策有关的元素分解成目标、准则、
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
等层次,在
此基础之上进行定性和定量分析的决策方法.该方法具有系统、灵活、简洁的优点【1I.
层次分析法有四种计算方法求权重.一般而言,利用层次分析法解决实际问题时,都是采
用其中的某一种方法求权重向量,并得出相应的结果.四种计算方法得出的权重向量一般比
较接近,但也有细微差别,而这些细微的差别可能在解决实际问题时会得出不一样的结果.所
以本文尝试用四种方法求解权重向量,互相比较,综合考虑,从而得出更有效、更科学的决策.
1.2层次分析法的基本原理与步骤
运用层次分析法建模来解决实际问题,大体上可按如下四个步骤进行:
步骤l建立递阶层次结构模型
应用AHP分析决策问题时,首先要把问题条理化、层次化,构造出一个有层次的结构模
型.这些层次可以分为三类:最高层(目的层),中间层(准则层),最底层(方案层).递阶层次
结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关,一般地层次数不受限制.每
一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个.
收稿日期:2010-05-14
资助项目:广东省大学生创新实验项目(1056111068,1056111069);华南理工大学中央高校基本科研业务费项
目(2011ZM0082,201ISM002)
万方数据
数学的实践与认识 42卷
步骤2构造出各层次中的所有判断矩阵
准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同,在决策者的心目中,它们各
占有一定的比例.引用数字1-9及其倒数作为标度【1】来定义判断矩阵A=(aij)。×。(见表1).
步骤3层次单排序及一致性检验;
1)计算一致性指标eJ(consmtencyindex)【1】CI=百入max--n (1)
其中,kax为判断矩阵的最大特征值.
2)查找一致性指标RI(见表2)【l】.
表1判断矩阵标度定义
标度 含义
l
3
5
7
9
2,4,6,8
表示两个因素相比,具有相同重要性
表示两个因素相比,前者比后者稍重要
表示两个因素相比,前者比后者明显重要
表示两个因素相比,前者比后者强烈重要
表示两个因素相比,前者比后者极端重要
表示上述相邻判断的中『日J值
倒数 若因素i与因素J的重要性之比为aij,那么因素J与因素i重要性之比为a,;=1/aij
尺, 0 O O。52 0.89 1.12 1.24 1.36 工.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58
3)计算一致性比例CR(consistencyratio)
CR=譬 (2)
当CR
0,i=1,2,⋯,n.
图1校园火灾危险性分析的递阶层次结构模型
万方数据
数学的实践与认识 42卷
3层次分析法在校园火灾危险性分析中的应用
接下来,我们引用文献【2】的实际应用例题的数据来说明,在求权重向量时综合考虑四种
方法的优点,可以避免采用一种方法产生的偏差,得出的结果更有效,更全面.
3.1校园火灾危险性分析
由于校园火灾发生具有随机性、发展过程的复杂性及现有资料的不完备性的特点,因此
采用层次分析法可将半定量半定性问题定量化.为了方便分级管理,将校园划分为如下区域:
宿舍区、教学办公区、实验区、公共活动区、图书馆.有如下6个
评价
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因子:人口密度、财产
密度、易燃易爆物、火源情况、人员素质、疏散和救援.据火灾危险性评价因子和场所功能
分区建立对应的递阶层次结构模型如图1所示【21.
3.2应用层次分析法中的四种估计权重方法计算各个指标的权重
校园火灾危险性评价因子判断矩阵A,不同区域人口密度,财产密度,易燃易爆物,火源
情况,人员素质,疏散和救援判断矩阵B1,B2,B3,B4,B5,风分别为【2l:
A=
BI=
B2=
B3=
鼠=
i131 V3
1/5 i i15
1 2 3
1 2 5
i12 l 1
1 1 l
4 1/3 3
4 1/3 3
1 i13V2
3 1 3
2 V3 1
4 2.i13
5 1 i14
3 1
3 I 113
3 l
5 2 i12
3 1 113
3 2
3 1 113
2 3 1
i12 3 3
x13 3 2
1 3 3
1/3 1 2
113 113 1
V
V
1
V
1
V
V●V
V
3
4
2
3
//l
l//
1
1
l
1
4
3
3
2
1
1/3/
3
1
3//
1
1
2
1
5
1
4
2
1
3
1
3
1
1
3
l
4
5
1
5
4
3
l
l/3/
3
l
l
1/3
3
1
3
2
2
2
2
3
3
3
1/4/3
l/5/2
1/2//
l
1
1
1
1
1
1
万方数据
7期 邓雪,等:层次分析法权重计算方法分析及其应用研究 97
B5=
魄=
l
1
1/2
2
1/2
1
1
1/3
1
1/3
1
1
1/2
2
1/2
1
1
1/z
1
1/3
1/2 2
1/2 2
1/4 1/4
1 4
1/4 1
1 3
1 3
l/3 1
1 3
1/3 1
接下来,根据四种不同的求权重的方法,有如下结论:
表3校园火灾危险性评价因子判断矩阵A的权重系数
表4同区域人口密度判断矩阵B,的权重系数
表5不同区域财产密度判断矩阵Bz的权重系数
表6 同区域易燃易爆物判断矩阵B3的权重系数
2
2
1
4
4
3
2
1
3
1
万方数据
数学的实践与认识 42卷
表7不同区域火源情况判断矩阵B4的权重系数
方法Wj I伲 W3 W4 W5 A。ax CJ CR
几何平均法 0.28480.15610.37590.10060.08275.2857O.07140.0638
算术平均法 0.27830.16240.36830.10730.08385.29220.07310.0653
特征向量法 0.2838O.16020.37280.10160.08165.28660.07170.0640
最小二乘法 0.26640.13100.40750.09730.09775.36220.09060.0809
表9不同区域疏散和救援判断矩阵风的权重系数
以上判断矩阵在四种方法中都通过了一次性检验,即是 i
C冗<0.10
3.3计算各层对目标层的合成权重
。
计算各层元素对目标层的合成权重.
若上一层次B包含n个因素B1,jEi2,⋯,jEi。,其层次权重值分别为b1,b2,⋯,b。,如果C
层次某些因素对于B单排序的一致性指标为C厶,相应的平均随即一致性指标为R五,则C
层次的总排序随机一致性比率为:
∑6{C厶ZJ。;。‘i
. CR=等一 (7)
, ∑btRIi’ 厶
.
i=1
当CR
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
①几何平均法:CR=0.0413;
②算术平均法:CR=0.0418
⑦特征向量法:CR=0.0412;
万方数据
7期 邓雪,等:层次分析法权重计算方法分析及其应用研究 99
④最d、-7-乘法:CR=0.0603
四种方法都满足层次总排序的一致性要求,可求得各个区域总权重(如表10所示).
表10四种方法求得的各个区域总权重
3.4综合分析
由表10可以知,用几何平均法,算术平均法,特征向量法这三种方法得出各个区域火灾
危险严重性排序由高到低为:实验区、宿舍区、公共活动区、教学办公区、图书馆.而用最小
二乘法得出各个区域火灾危险严重性排序由高到低为:实验区、公共活动区、宿舍区、图书
馆、教学办公区.
从表10可以看出实验区的总权重是最大的,比其它区域的多了不少.宿舍区和公共活动
区的总权重是比较接近的(相差不大于O.02),同样教学办公区和图书馆的总权重也是比较接
近的(相差不大于o.01).所以它们的结果可能会在不同的计算方法下得出的排序比较容易产
生偏差.最小二乘法就与其它三种方法求出的排序不一样.但我们综合考虑四种方法的结果,
得出各个区域火灾危险严重性排序由高到低为:实验区、宿舍区、公共活动区、教学办公区、
图书馆.这样综合得出的结果比文献f2]采用单一方法所得出的结论更有说服力、更有效.
4结论
层次分析法是对定性问题进行定量分析的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法.
本文在用层次分析法解决实际问题时,是采用了四种计算方法来求权重向量,再综合分析,然
后得出结论.我们这样做可以避免用一种方法产生的偏差,得出的结果更有效,更全面.在实
际应用中,最小二乘法求出的结果推出的结论和另外三种方法的得出的结论有细微的差别.
我们在解决这个问题时,如果是用了最小二乘法,结果就会有偏差.所以综合运用四种方法更
加可靠.
参考文献
【l】1汪应洛.系统工程【M】-第二朊北京:机械工业出版社,2003,130-140.
[2】任玉辉,肖羽堂.层次分析法在校园火灾危险性分析中的应用【J】.安全与环境工程,2008,15(1):85-88.
【3】李荣钧,邝英强.运筹学[M】-广州:华南理工大学出版社,2002,196-199.
[4】孙广臣,张岩志.任国娟.桥梁方案评价的AHP方法[J】.森林工程,2004,20(4):61—62.
【5】王振,刘茂.应用区间层次分析法(IAHP)研究高层建筑火灾安全因素【J】.安全与环境学报,2006,6(1):
12-15. .
万方数据
100 数学的实践与认识 42卷
ResearchonComputationMethodsofAHPWightVector
andItsApplications
DENGXuel,LIJia-min91,ZENGHao-jianl,CHENJun-yan91,ZHAOJun-fen92
(1.DepartmentofMathematics,SchoolofScience,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou,510640
China)
(2.SchoolofMechanical&AutomotiveEngineering,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou510640
China)
Abstract:ThebasicconceptofAnalyticalHierarchyProcess(AHP)isintroduced,andthe
computationmethodstoAHPanditsapplicationsareanalyzedinthispaper.AstoAHP,
therearethefollowingfourcomputationmethods:GeometricAverage(GA),Arithmetic
Average(AA),EigenvectorMethod(EM),andLeastSquares(LS).Inmostliteratures,one
ofthefourcomputationmethodsofAHPisusedtosolveweightvectorinanalyzingsome
practicalproblems.Asaresult,differentmethodscaninducediIIerentresultswithwarps.In
thispaper,fourcomputationmethodsareusedtosolveweightvectorsofapracticalexample,
respectively,andthenthesecorrespondingresultsaresortedorderandsyntheticallyanalyzed
inordertoavoidthewarpsproducedbyusingonemethod.Furthermore,thecomprehensive
andeffectiveresultsareobtalned. 、 。
Keywords:analyticalhierarchyprocess;decisionmatrix;weightvector;consistencytest
万方数据
层次分析法权重计算方法分析及其应用研究
作者: 邓雪, 李家铭, 曾浩健, 陈俊羊, 赵俊峰, DENG Xue, LI Jia-ming, ZENG Hao-
jian, CHEN Jun-yang, ZHAO Jun-feng
作者单位: 邓雪,李家铭,曾浩健,陈俊羊,DENG Xue,LI Jia-ming,ZENG Hao-jian,CHEN Jun-yang(华南
理工大学理学院数学系,广东广州,510640), 赵俊峰,ZHAO Jun-feng(华南理工大学机械与
汽车工程学院,广东广州,510640)
刊名: 数学的实践与认识
英文刊名: Mathematics in Practice and Theory
年,卷(期): 2012,42(7)
参考文献(5条)
1.汪应洛 系统工程 2003
2.任玉辉;肖羽堂 层次分析法在校园火灾危险性分析中的应用[期刊论文]-安全与环境工程 2008(01)
3.李荣钧;邝英强 运筹学 2002
4.孙广臣;张岩志;任国娟 桥梁方案评价的AHP方法[期刊论文]-森林工程 2004(04)
5.王振;刘茂 应用区间层次分析法(IAHP)研究高层建筑火灾安全因素[期刊论文]-安全与环境学报 2006(01)
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxdsjyrs201207012.aspx