混凝土的破坏准则

2003-10-22 BD201 周三：3-4节 10:00-11:45 a.m. . 第五章 混凝土在复合应力下的破坏准则 § 5.1 概述 钢筋混凝土的非线性反应主要由四种材料的效应引起：（1）混凝土开裂； （2）钢筋和受压混凝土的塑性；（3）钢筋与混凝土之间的粘结滑移、骨料的 咬合、钢筋的销栓作用等；（4）与时间相关的特性，如徐变、收缩、温度和 加载历史。 所以，钢筋混凝土结构和构件的非线性 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中的一个重要问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 就是要建 立合理的混凝土强度准则。在单向应力状态下，建立强度破坏条件是比较容 易的，但是在复杂应力条件下，如何建立强度破坏一直是个研究问题。因而 建立混凝土强度准则模型的意图是尽可能地概括不同受力状态下混凝土的强 度破坏条件。 从第 2 章混凝土的基本力学性能可知：多向应力状态下混凝土的强度是 应力状态的函数，而不能由互不关联的纯拉、纯压、纯剪应力的限值来预测。 因此，混凝土强度的正确估计只能通过考虑应力状态各个分量的相互作用来 得到。 建立混凝土在复杂应力下的强度准则，首先了解破坏的定义；对于不同 情况，如开裂、屈服、极限强度等可以定义为破坏。对于混凝土强度准则来 说，一般是指极限强度而言。混凝土的单轴拉力、压力和剪力不能反映混凝 土破坏强度的普遍情况。通常采用空间坐标的破坏曲面来描述混凝土的破坏 情况。近年来，不少学者对混凝土强度准则进行了研究，建立了许多的强度 准则，在介绍这些强度准则之前，有必要简单介绍一些有关破坏面的知识。 § 5.2 基本预备知识 一、主应力不变量 Ii和主应力偏量不变量 Ji the principal stress invarants, the invarants of principal stress deviator tensor. 某一点的应力状态可由围绕其六面体微元上的六种应力来表示(三个正应 力和三个剪应力)，这些应力的大小和符号取决于六面体的位置，但是该点的 主应力的大小和符号则与坐标系的选择无关，对于给定的应力状态，其主应 力是确定的。按主应力的大小(拉应力为正)排序为s1>s2>s3。由这些主应力推 导出的量自然也是不变量。 主应力不变量 Ii和主应力偏量不变量 Ji分别定义如下： 主应力不变量 主应力偏量不变量 I1=s1+s2+s3 J1=0 I2=-(s1s2+s2s3+s1s3) J2=[s12+s22+s32-s1s2-s2s3-s1s3]/3 I3=s1s2s3 J3=(S13+S23+ S33)/3 2 二、八面体剪应力及其正应力 the octahedral normal stress & the octahedral shear stress 在许多破坏准则中，经常会采用八面体应力soct 和toct 来描述，soct 和toct 分别定义为作用于与各自主应力方向成相等角度的平面（称为八面体平面） 上的正应力分量和剪应力分量，如图所示。 soct与八面体剪应力toct分别按下式确定 ( ) ( ) ( ) ( ) 2213232221 1 321 3 2 3 1 33 1 J I oct moct =-+-+-= ==++= sssssst sssss 八面体应力 三、静水压力轴、偏平面、相似角和子午线 hydrostatic axis, deviatoric plane, & meridian p平面和相似角的定义 静水压力轴：在这些等倾面中，处于第一象限的面中通过坐标系原点的法 线即为等应力轴，也称静水压力轴。在此轴线上，每点的三个主应力的大小 和符号都相同。应力矢量OP r 可以分解为沿 ON轴方向的分量x和垂直于 ON轴 的分量r。 偏平面：过等应力轴上任一点作垂直于等应力轴的平面，称为偏平面，其 中过原点的偏平面又称p平面。则垂直于 ON 轴的分量在p平面上的投影与分 量相同。 3 相似角（又成 Lode角）：设分量r在p平面上的投影与s1轴在p平面上的投 影之间的夹角为q，称为相似角。 由三个量x、r、q也可决定某一点的应力状态。(x, r, q)实际上是一种柱坐 标，这种坐标通常称为 Haigh-Westergaard 应力空间。它们与应力状态的不变 量之间的关系如下： 2/3 2 3 2 2 33 3cos2 J J Jm === qrsx ÷ ø ö ç è æ ££ 3 0 p q 子午线：通过x，r和q可以方便地将破坏准则 f(I1, J2, J3)表示为s1, s2, s3 坐标系统中的破坏面。在主应力空间中此面的一般形状可由其偏平面中的横 截面形状和其子午平面中的子午线予以最佳描述。破坏面的横截面是破坏面 和垂直于静水轴且x为常数的平面的相交曲线。破坏面的子午线是破坏面与包 含静水轴且q为常数的平面（子午面）的相交曲线，即静水压力轴和与破坏面 成一角度q的一条线形成的平面，与破坏曲面相交而成的曲线。当q不同时， 子午线的曲线形状也不同，存在所谓的拉子午线（q=0°）、压子午线（q=60°） 和剪子午线（q=30°）。 子午线的定义 § 5.3 破坏曲面的特征 一、混凝土破坏曲面的数学描述类型 基于应力状态的各向同性材料的破坏准则必定是应力状态不变量的函 数，即与定义应力坐标系的选择无关，无论选择何种表达形式，都不会影响 其实际的强度指标，只是形式不同而已。不同的描述形式，可以从不同的角 度来阐述混凝土破坏曲面的几何特征和物理性质。 常见的数学描述类型有五种： 1。主应力类型，即以主应力s1、s2和s3的函数来描述破坏曲面的形状，其一 般形式为 ( ) 0,, 321 =sssf 一般地，这种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 建立破坏条件被认为是难以实现的。且上式也难以提 供更多的有关破坏曲面的几何特征和物理解释。 4 2。应力不变量 I1，I2和 I3； 3。采用柱坐标系，即静水压力x和偏平面应力r以及相似角q来描述； 4。八面体应力，即以soct、toct和q来描述； 5。平均应力，即以sm、tm和q来描述。 二、破坏曲面的特征 对于各向同性材料，坐标轴的编号 1，2，3是任意的，从而破坏面的横截 面形状必定具有三重对称形式。因此，只需考察 0°£q£60°之间的破坏面的特 征即可。 实验结果表明，偏平面中的破坏曲线具有如下的一般特征： 偏平面中破坏面迹线的一般特征 1。破坏曲线是光滑的； 2。至少对于压应力来说，破坏 曲线是外凸的； 3。通常破坏曲线具有如左图所 示的基本特征； 4。对于拉应力或小的压应力 （相当于p平面附近小的x值）， 破坏曲线几乎是三角形，而对 于较高压应力（相当于静水压 力x值增大），破坏曲线变得越 来越突起（更圆）。 三、子午线的特征 1。子午线的获得 （1）拉子午线 拉子午线相当于在静水应力状态叠加一个方向的拉应力，此时q=0°。由于 实验困难，所以沿拉子午线的数据相当少。其中包括单轴抗拉强度 ft¢和等双 轴抗压强度 f¢bc。（sr和sz分别代表径向和轴向的应力） 拉为正132 sssss =<== zr （2）压子午线 压子午线相当于在静水应力状态叠加一个方向的压应力，此时q=60°。沿 压子午线有许多有用的数据。其中包括单轴抗压强度 fc¢和等双轴抗拉强度 f¢bt。 拉为正321 sssss =<== zr （3）剪子午线 除拉伸和压缩子午线，有时还使用剪切子午线，相当于q=30°。相当于在 纯剪状态 0.5(s1-s3, 0, s1-s3)叠加一个静水压应力sm=0.5(s1+s3)。应符合应力 状态[s1, 0.5(s1+s3), s3]。 2。子午线的特征 5 根据目前的实验结果，可以得出如下关于子午面中破坏曲线的一般特征： 1。子午线形成光滑曲线，并与静水压应力 I1或x值有关； 2。偏平面上rt/rc£1，下标 t和 c分别表示拉、压子午线； 3。对于各向匀质的材料，其破坏面在偏平面上形成三轴对称； 4。rt/rc比值随着静水压力增大而增大，在接近p平面处（相当于x值较小）时 其值接近于 0.5；当x=-7fc¢时，比值接近于 0.8。可以认为，在静水压力小时， 偏平面上的断面形状接近光滑的三角形，在静水压力大时，偏平面上断面形 状接近圆形。 5。单纯静水加载不可能一起破坏（就目前的研究情况来看）。Chinn 和 Zimmerman(1965)试验做到第应力不变量 I1=-79fc¢还之前还没有发现破坏迹 象，即压子午线没有靠近静水压力轴的趋势。 § 5.4古典破坏准则 一、最大应力准则 Rankine(1876)假定当最大拉应力超过材料的极限值时，认为发生破坏。 此理论显然不符合混凝土在多轴压力作用的情况。但是仍是能够恰当描述在 拉伸和较小压应力下混凝土的脆断，只要当此点上的最大主应力达到简单拉 伸实验得出的材料抗拉强度 ft 时，混凝土就发生脆断，不论通过材料内一点 在其它平面上产生的正应力或剪应力如何，根据这一准则确定的破坏面 方程 为 ttt fff ¢=¢=¢= 321 sss 上式也可采用（I1, J2, q）或（r, x, q）的形式。 于是，得到了如下图所示的垂直于三个主应力轴的三个平面，该面称为“裂 断面”或“拉伸破坏面”。 最大拉应力准则（拉断） Tresca 准则 6 1864年 Tresca提出，当材料中一点应力达到最大剪应力的临界值 k 时， 混凝土材料即达到极限强度，可用如下数学表达式表示： k=÷ ø ö ç è æ --- 133221 2 1 , 2 1 , 2 1 max ssssss k 为纯剪时的极限强度。本准则的破坏面与静水压力大小无关，而是与静水压 力轴平行的正六边形棱柱体，子午线是与x轴平行的平行线，在偏平面上为一 正六边形。Tresca强度准则应用于平面应力锥体，即s3=0 形成二轴强度准则 时，二轴受压与二轴受拉强度相等，且二轴受力强度与单轴受力强度相等， 显然这与混凝土二轴受力强度试验结果是不相符合的。但适用于金属材料。 二、最大应变理论 Hognestad(1951)将此理论应用于混凝土，尽管该理论与混凝土的一维和二 维试验结果不符。但是，目前为止，仍应用在混凝土构件的受弯混凝土压碎 破坏中。 三、Mohr-Coulomb内摩擦准则与 Drucker-Prager破坏准则 在Mohr-Coulomb准则中，假设破坏发生在混凝土材料中一点处任意一平 面上的剪应力达到与同一平面中正应力s线性相关的数值时，数学表达式为： fst tan-= c 其中 c和f分别为粘聚力和内摩擦角的材料常数。它是双参数模型，其破坏包 迹线为一条直线，其破坏曲面为非正六面形锥体，其子午线为直线。在适用 范围内，与试验结果的差异不太大，且应用较为简便，能体现受压情况下剪 切滑移破坏特性，在受拉荷载情况下，能反映断裂破坏。 缺点在于压力较高时，不符合多轴试验的结果，且破坏面的拐角过多， 给数值计算带来困难。 Mohr-Coulomb准则 Drucker-Prager提出了将 Mohr-Coulomb 准则不规则六边形用圆形替代， 子午线仍为直线，且引入了与静水压力的相关性，其表达式为： ( ) 0, 2121 =-+= kJIJIf a 其缺点准则的破坏曲面为圆锥体，优点比较简单，破坏面外凸、连续、 光滑和便于手算，缺点是 I1和 J20.5呈线性关系，另外rt=rc，不符合多轴混凝 土性能，但特别适于土壤材料。 7 Drucker-Prager 准则 四、八面体剪应力理论(the octahedral shear stress theory) Von Mises强度准则：认为一种的八面体剪应力为一定值，如果超过此值， 则将会发生破坏。该理论最主要的优越性是考虑了中间主应力s2的影响。此 理论对于延性材料屈服的描述是理想的，但是，对于混凝土，八面体剪应力 理论认为在单轴拉伸情况下的强度等于处在受压情况下的强度，这显然存在 很大的误差。其表达式为： kJoct 3 2 3 2 2 ==t 此强度准则的破坏面为与静水压力轴平行的圆柱体，子午线为与x轴平行 的直线，偏平面上为圆形。当s3=0的平面二轴强度轨迹为椭圆形。 von Mises 准则 Von Mises 准则与 Tresca准则的区别 8 § 5.5 近代的和现代的破坏准则 在上个世纪，各国学者提出了许多考虑多参数的混凝土破坏准则，根据参 数的数量可划分为三参数模型、四参数模型和五参数模型。目前，虽然仍没 有一个混凝土破坏准则得到普遍公认，但是存在一些众多学者比较认同的准 则，其中以 Ottenson四参数准则和William-Warnke五参数准则最为典型。本 节的内容主要介绍这两种破坏准则，在此基础上再简介其它的破坏准则。 一、Ottenson四参数准则（1977） 1。表达式及其参数确定 为满足混凝土材料破坏曲面的几何要求，Ottosen提出了以三角函数为基 础的四参数准则，含有不变量 I1，J2，cos3q，其表达式为： ( ) 013cos,, 1 2 2 2 21 =-¢ + ¢ + ¢ = ccc f I b f J f J aJIf lq 或用 Haigh-Westergaard坐标表示为 ( ) 013 22 ,, 2 =-++= xr l rqrx b a f 式中：l=l(cos3q)>0，且 a和 b均为常数。 在确定l的过程中，Ottenson巧妙地借用了薄膜比拟法，即一个等边三角 形边框支撑的薄膜，当其受均匀受拉发生外凸变形后，各等高线的形状由外 往内正好是从三角形过渡为圆形。于是，根据这一个薄膜的竖向位移 Possion 方程可可推导出下列公式： ( )úû ù êë é= - ql 3coscos 3 1 cos 2 1 1 KK 对于 03cos ³q ( )úû ù êë é --= - q p l 3coscos 3 1 3 cos 2 1 1 KK 对于 03cos £q 2。四个参数的确定 四个参数 a，b，K1，K2。它们可根据下面四种混凝土试验结果来确定： （1）单轴抗压强度 f¢c（q=60°）； （2）单轴抗拉强度 f¢t=0.1f¢c（q=0°）； （3）双轴抗压强度（q=0°）；特别地，选择s1=s2=-1.16f¢c，s3=0； （4）在压子午线处（q=60°）的三向应力状态（x/f¢c, r/f¢c）=（-5, 4）。 于是，得到如下四个参数的数值如下： a=1.2759 b=3.1962 K1=11.7365 K2=0.9801 3。破坏准则的特点 该准则定义了一个具有弯曲子午线和在偏平面上有非圆横截面的破坏 面，其描述的子午线为二次抛物线，如果 a>0，b>0，则其为为外凸的，横截 面具有对称、外凸、随静水压力的增大形状也从近似三角形变化到近似圆形 9 的特性。当 a=b==0，l为常数时，该准则变为 von Mises准则；当 a=0，l为 常数时，该准则变为 Drucker-Prager准则。 通常，四参数准则对大范围的应力组合是有效的，它的数学形式适合计 算应用。但是l函数的计算相当复杂。 二、William-Warnke五参数准则（1974） William-Warnke在 1974年提出了具有弯曲子午线的五参数的强度准则， 克服以前他们提出的三参数准则的缺点，使其既能够描述低静水压力区混凝 土的性能，又能够描述高静水压力区混凝土的性能。 在模型中弯曲的子午线由二次抛物线表达式来描述，偏平面中的非圆迹线 用椭圆曲线对 0£q£60°的每个部分予以近似。因此，完整破坏面的表示分为两 个部分：第一，对于 0£q£60°，推导偏斜横截面的椭圆表达式；第二，按二次 抛物线来近似拉伸和压缩子午线，然后将这两条子午线由偏曲线为基准面的 椭球面连接起来。 1。偏截面的椭圆近似 三部分对称破坏面的偏斜面 0£q£60°破坏面的椭圆迹线 William和Warnke采用椭圆来近似 0£q£60°范围内的偏斜面，可满足对称、 光滑和外凸的特征要求。若令rt=rc，则椭圆蜕变为圆，意味着简单的 von Mises 和 Drucker-Prager准则均为其特例。 建立如右图所示的局部坐标系，并采用如下椭圆表达形式： ( ) 01, 2 2 2 2 =-+= b y a x yxf 以1/4椭圆曲线P1-P-P2-P3来近似破坏曲线P1-P-P2。由对称条件知，在q=0° 和q=60°处位置矢量rt和rc必须分别在 P1(0, b)和 P2(m, n)处与椭圆正交。为此， 选择 y 轴与位置rt重合，以使在 P1点的正交条件永远满足，另一轴的选择则 根据按上述公式表达的曲线在 P2点处的法线矢量 n满足下列条件： ÷÷ ø ö çç è æ = ú û ù ê ë é + ÷ ø ö ç è æ = ú ú û ù ê ê ë é ÷÷ ø ö çç è æ ¶ ¶ +÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ÷÷ ø ö çç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = 2 1 , 2 3 ,, 2/1 4 2 4 2 22 2/122 b n a m b n a m y f x f y f x f n 10 分别令上式中两分量相等，可得到椭圆半径 a和 b之间的关系 22 3 b n m a = 此外，由椭圆必须经过 P2(m, n)点的条件得 1 2 2 2 2 =+ b n a m （*） 点 P2(m, n)的坐标可用rt, rc和 b表示如下： cm r2 3 = ( )ctbn rr 5.0--= 将上两式代入式（*），可得到下列用rt和rc表示 a和 b ( ) tc ctca rr rrr 45 2 22 - - = ct ccttb rr rrrr 54 252 22 - +- = （**） 将椭圆的笛卡儿坐标系转换为以 O点为原点的极坐标（r, q），这样，破 坏曲线就易于用半径r作为q的函数描述。存在下列关系： qr sin=x ( )by t --= rqr cos 将上式代入椭圆的控制方程，得 ( )[ ] 1 cossin 2 2 2 22 = -- + b b a trqrqr 求解上述关于r的一元二次方程式，并考虑q的适用范围为 0£q£60°，其解 为： ( ) ( ) [ ] qq qqrqrqr qr 2222 2/1222222 sincos cossinsin2cos ba ababba ttt + +-+- = 将式（**）代入上式，于是最终得到以rt和rc表示的r(q)： ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )2222 2/1222222 2cos4 45cos42cos2 tctc ctttcctctcc rrqrr rrrqrrrrrqrrr qr -+- -+--+- = ( ) ( ) ( )[ ] 2/1213232221 321 2 2 cos ssssss sss q -+-+- -- = 当rt/rc=1时，椭圆蜕变为圆（类似于 von Mises或 Drucker-Prager模型的 偏迹线；当rt/rc接近于 0.5时，偏迹线几乎变成三角形（类似于最大拉应力准 则）。当rt/rc=0.5时，偏迹线在压缩子午线上存在倒数不连续点，即存在角隅。 为保证曲线的外凸性和光滑性，要求满足下式： 1 2 1 £< c t r r 11 2。沿拉伸和压缩子午线的平均应力 通过用平均正应力sm表示的二次抛物线，将分别沿拉伸子午线（q=0°） 和压缩子午线（q=60°）的平均剪应力 2 210 5 ÷ ÷ ø ö çç è æ ¢ +÷÷ ø ö çç è æ ¢ += ¢ = ¢ c m c m c t c mt f a f aa ff ssrt 在q=0°处 2 210 5 ÷ ÷ ø ö çç è æ ¢ +÷÷ ø ö çç è æ ¢ += ¢ = ¢ c m c m c c c mc f b f bb ff ssrt 在q=60°处 式中tmt和tmc分别代表q=0°和q=60°的平均剪应力， 2 2 5 2 Jm =t ， 22J=r ；sm 为平均正应力。两条子午线必须在同一点相交（即静水压力轴反向与破坏面 相交，意味着三轴拉伸强度），参数减少为 5个。 当这五个参数确定下来后，破坏面就可以容易地由二次抛物线首先得到 q=0°和q=60°处的两条子午线来构成，然后将两条子午线用椭球面连接起来。 现在，破坏面可以容易地形象地表达为（ 5/rt =m ） ( ) ( ) 01, 5 1,, =-= qsr t r r qts m m mmf ＝－ 模型 实际 3。破坏面的一般特点 （1）它具有五个参数，所以，为确定这些参数需要五个实验数据点； （2）它以 f(I1,J2,q)形式或等同于以 f(sm,tm,q)形式包含所有应力不变量； （3）如rt/rc>0.5，它是一个处处具有唯一梯度或连续可导的光滑曲面； （4）在偏平面中具有周期性，周期为 120°，并且具有其应有的 60°对称性； （5）它具有在偏平面中的非圆轨迹，随静水压力增大，其形状由几乎三角形 变为几乎圆形（即非仿射形偏截面）； （6）子午线是二次抛物线，形式简单； （7）偏平面中的破坏曲线由 0°£q£60°部分的椭圆曲线来描述； （8）如果模型参数满足下列条件，则破坏面在偏平面内和沿子午线均具有外 凸性： 000 210 ££> aaa 000 210 ££> bbb 且 ( ) ( )mcmt srsr 5.0> （9）在静水压力轴方向，其描述的破坏面张开，在（8）中约束条件 a2£0和 b2£0下，在高压应力下破坏面与静水轴相交，这违反了实验事实； （10）在大多数包括拉伸应力的实际应用范围内，对于所有应力组合它是有 效的，并能对实验作出可靠判断； （11）这个破坏准则包含了若干早期的破坏准则，如当 a0=b0和 a1=b1=a2=b2=0 时，当前的破坏模型就蜕变为 von Mises准则；当 a0=b0，a1=b1和 a2=b2=0时， 蜕变为 Drucker-Prager准则；等等。 4。模型参数的确定 考虑三个简单实验和在高的压力范围中两个任意的强度点来确定该模型 12 的参数。 偏平面中破坏面迹线的一般特征 （1）单轴抗压强度 fc¢（q=60°，f¢c>0）； （2）单轴抗拉强度 ft¢（q=0°）和强度比 f¢t/fc¢； （3）等值双轴抗压强度 fbc¢（q=0°，fbc¢>0） 及强度比 fbc¢/fc¢； （4）在拉伸子午线处(q=0°, 01 >x )上高的 压应力点(sm/fc¢, tm/fc¢)=(- 1x , 1r )； （5）在压缩子午线(q=60°, 02 >x )上高的 压应力点(sm/fc¢, tm/fc¢)=(- 2x , 2r )。 此外，两抛物线在静水轴上通过公共顶点sm0，必须附加一个条件 ( ) 000 000 =>=÷÷ ø ö çç è æ > ¢ = xr s xr c c m t f 于是，将上述约束条件汇总如表 1。 参数的确定 相应地，将上述数值分别代入拉、压子午线的方程，可联立求解两组三 个线性方程组，得 bcbcbc fafafa ¢+¢-¢= 15 2 9 4 3 2 2 2 10 ( ) tbc bct tbc ff ff affa ¢+¢ ¢-¢ +¢-¢= 25 6 2 3 1 21 13 ( ) ( ) ( ) ÷ ø ö ç è æ ¢¢-¢+¢-¢+¢ ¢+¢+¢¢-¢-¢ = bcttbctbc tbcbctbct ffffff ffffff a 9 2 3 1 3 2 2 2 5 6 5 6 11 2 1 11 2 xxx rx 在破坏面的顶点处，满足下面条件： 0202010 =++ xx aaa 由此得 2 20 2 11 0 2 4 a aaaa --- =x 把表中的后三个强度值代入压缩子午线方程，可求解出： 2 2 0100 bbb xx --= 13 35/6 3 1 2 2 221 - - +÷ ø ö ç è æ += x r x bb ( ) ( ) ÷ ø ö ç è æ +÷ ø ö ç è æ -+ +-÷ ø ö ç è æ + = 3 1 3 1 15/2 3 1 0220 2002 2 xxxx xxxr b 5。试验验证 将该模型与 Launay和 Gachon的试验数据做比较，用来确定模型中的参 数： 94.15.167.38.115.0 2121 =====¢=¢ rrxxbct ff 可以看到静水（子午线）截面和偏截面两者都十分吻合，在低的压缩范 围中，该曲面非常类似于四面体，增大静水压力时，扁曲线就变得越来越圆。 五参数模型和三轴试验数据的比较 总之，该模型重现了描述混凝土破坏面的主要特点，具有光滑、外凸和 14 弯曲的子午线，以及在偏截面中具有非圆及非仿射形截面，由该模型所得的 结果与试验资料能很好地对应。由于试验结果的波动，没有进一步改进的必 要。 编程作业：要求学生根据上述试验数据计算各个参数的数值，并给出完整 的William-Warnke五参数准则程序，用来判别在任意应力水平(sxy, syz, szx, txy, tyz, tzx)下（非主应力状态）混凝土单元是否破坏。 § 5.6 其它破坏准则简介及各个准则间的比较 一、Bresler-Pister三参数强度准则(1958) 1。准则的数学描述 Bresler和 Pister根据混凝土空心圆管试件地双轴受压和拉压地试验结果， 建议的破坏准则有抛物线子午线和圆形偏平面包迹线，即破坏曲面为一旋转 抛物面，子午线的方程为 2 000 sst cba +-= 式中t0=toct /fc¢，s0=s oct/fc¢，a, b和 c为试验标定的参数。 Bresler-Pister 三参数强度准则 2。准则的特点 （1）其子午线为向静水压力轴闭口的二次抛物线，在小的应力范围内的破坏 有较好的近似；当在高静水压力作用下，拉、压子午线可与静水压力轴相交， 这与试验结果不符合。 （2）偏平面的圆形包络线tot/toc=1，拉压子午线相同，并在很小静水压力下 与横轴相交，给出过低的三轴强度，这些都与混凝土多轴强度的试验结果相 差很远。此外，二轴拉/压的计算强度过高，二轴抗拉强度又过低。在三轴拉、 压状态，拉子午线过高，压子午线过低。此准则是二轴强度试验数据所建立， 适用的应力范围很有限。 二、Hsich-Ting-Chen四参数强度准则(1982) 1。准则的数学描述 Hsich等人针对Ottenson四参数准则中参数l进行了简化处理，l=bcosq+c。 的计算繁琐性进行了改进，增加了最大主拉应力s1，提出了包含不变量 I1， 15 J2，s1的四参数强度准则。表达式如下： 01112 2 2 =- ¢ + ¢ + ¢ + ¢ cccc f I d f c f J b f J a s Hsich-Ting-Chen四参数强度准则 2。准则的特点 （1）该准则恰好是 von Mises准则、Drucker-Prager准则和 Rankine准则的线 性组合。其参数可由单轴拉压试验、双轴等向强度和 Mills 和 Zimmerman的 相应与八面体应力状态的试验结果。 （2）Hsieh-Ting-Chen准则在各种应力状态下的理论曲线都与 Ottosen准则相 近（因为大体类似）。但是，偏平面包络线在q=60°处有尖角，不光滑，即破 坏面有 3条尖棱，且拉端有尖角，不很理想； （3）在常见的二轴受压状态，靠近单轴受压附近（s2/s3=1~1.3）的理论强度 过低。在低应力状态下，与试验结果较为接近，但在高应力下，理论值偏低。 三、Kotsovos五参数强度准则(1979) 1。准则的数学描述 Kotsovos(1979) 提 出 了 指 数 型 子 午 线 和 椭 圆 组 合 偏 平 面 （ 与 William-Warnke 模型类似，仅在子午线表达形式不同）的五参数强度准则， 弥补了 William-Warnke抛物线型子午线与静水压力轴相交的缺点，经过试验 结果拟合，得到以指数形式表示的子午线方程： 857.0 05.0633.0 ÷÷ ø ö çç è æ + ¢ = ¢ c oct c octt ff st (q=0°) 724.0 05.0944.0 ÷÷ ø ö çç è æ + ¢ = ¢ c oct c octc ff st (q=60°) 偏平面公式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 222222 2cos4 45cos4cos2 octtoctcocttoctc octtoctcocttocttoctcoctcocttoctcocttoctcoctc oct ttqtt tttqtttttqttt t -+- -+--+- = 式中toctt和toctc分别为toct在q=0°和q=60°时的极限强度。 16 2。准则的特点 （1）Kotsovos准则的偏平面包络线采用 William-Warnke的椭圆组合曲线和子 午线的拉端顶点，都符合外凸、光滑、连续的几何条件； （2）主要问题是拉、压子午线强度的变化过大：当静水压力s0>0.05fc时，tot/toc 小于 0.5(偏平面为三角形包络线时，tot/toc为 0.5，这是外凸的最低值)；而静 水压力s0<-20.14fc时，tot/toc大于 1.0，都不符合破坏曲面的几何要求。事实 上，当s0<-5.0fc后，计算强度已偏高，尤其是拉子午线的误差更大。 四、Podgorski五参数准则(1985) 1。准则的数学描述 Podgorski 提出了适用于混凝土、砂和粘土等材料，采用三个应力不变量 来表示强度破坏性能的准则。该强度准则具有较广的适用范围。准则表达式 与 Ottosen准则基本相同，只是将其中的主应力不变量该为相应的八面体应力 表示： 02210 =++- octoctoct cpcc tts 其中： ( ) úû ù êë é -= - bqa 3coscos 3 1 cos 1p 式中的五个参数 c1，c2，c0，a和b由 5 个特征强度值标定。除了单轴抗压强 度、单轴抗拉、二轴等压强度和三轴等拉之外，还在剪子午线q=30°上取一点， 即二轴等压的应力比为（0:-0.5:-1），强度值取 fbc=1.25fc 2。准则的特点 （1）该强度准则子午线为抛物线形，偏平面为光滑外凸三角形； （2）子午线和偏平面包络线都与 Ottosen准则接近，且与试验结果相符； （3）在静水压力s0<-5.0fc时的计算强度偏高；二轴等压强度取为 fbc=-1.1fc， 比一般试验值低，使得二轴等压应力范围内的计算强度都偏低，也影响三轴 拉、压强度偏低。 五、过镇海五参数准则(1996) 在试验的基础上，过镇海等提出了以八面体应力表示的五参数准则，其 子午线为幂函数形式： ( ) ( )ba qq s s t 5.1sin5.1cos 0 0 0 ct d ccc c b a +=÷÷ ø ö çç è æ - - = 式中： ( ) ( ) ( ) ( )2132322210 3210 3 1 3 1 / ffffff cc oct fff c coct ff f f ssssss t t sssss -+-+-== ++== 是按试件破坏时的多轴强度(s1f，s2f，s3f)计算的八面体正应力和剪应力相对 值。 17 这一准则式中包含的五个参数，即 a，b，cc，ct，d。都有明确的几何和 物理意义： b为当t0=0时，s0=b，即子午线在静水压力轴上的交点，故 b值为混凝土 三轴等拉强度（T/T/T，s1f=s2f=s3f=fttt）与单轴抗压强度的比值 b=fttt/fc。 d为当 1.0>d>0时，上述第一式的导数在s0=b处的数值为无穷大，及切线 垂直于横坐标，拉、压子午线在此处连续，破坏包络面在顶点处光滑，外凸； a 为当s0=-¥时，上述第一式t0的极限值，即偏平面上极限包络线圆的半 径。 c 为不同偏平面夹角q处的子午线参数。当q=0°时，c=ct 为拉子午线；当 q=60°时，c=cc为压子午线，q=0°~60°，ct³c³cc得到相应的子午线。 指数a，b一般取值 1.5~2.0，可以调整偏平面包络线的饱满程度。 参数值可由破坏面上的任五个特征强度试验值确定。过镇海取为：单轴拉压、 双向等压、三轴等压和三轴等拉。 六、各个准则的 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 评价一个混凝土破坏准则的标准大体上可以从以下四个方面来衡量： （1）多轴强度的理论值与试验结果的符合程度； （2）适用的应力范围大小； （3）破坏曲面几何特征的合理性； （4）在数值计算中的计算效率。 从以上的对比分析可以得到结论：混凝土的破坏准则包含 4或 5个参数足 以准确地模拟破坏曲面的形状，比较合理。参数太少(1到 3个)，则曲面形状 过于简单，不能准确模拟破坏曲面，即不能适用于全部应力范围。过多的参 数，虽然有可能提高模拟曲面的精细程度，但由于混凝土材料材性和多轴强 度的离散性，数学意义上的精细并不一定能够真正提高计算的精确度，反而 使之计算繁复，不值得。