万有引力定律的发现 最终版

nullnull广西大学 电气工程学院 null 历史背景 德国天文学家、数学家开普勒（1571―1630）在第谷.布拉赫对于行星运动大量观测资料的基础上，经过对观测数据长期深入的分析，归纳出著名的所谓行星运动三定律，即： null开普勒三定律开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆， 太阳处在所有椭圆的一个焦点上。null开普勒第二定律： 太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。近日点速度快，远日点速度慢S1S2S1=S2null太阳行星FFORR：半长轴 T：公转周期开普勒第三定律： 所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。null由于当时仍没有计算变速运动的工具，而从开普勒定律可以看出行星运行速度是变化的。十七、十八世纪许多科学家致力于行星沿椭圆轨道运行时受力状况的研究，终未得到有关引力的结果。 牛顿在研究变速运动过程中发明了微积分，又以此为工具在开普勒三定律和牛顿第二定律的基础上，成功地得到万有引力定律。F=manull 模型假设 对任一行星椭圆运行轨道建立极坐标系 ,以太阳为坐标原点，长半轴方向为 ，向径 表示行星的位置。 1.轨道方程为(证明） （1） 其中 为椭圆的长短半轴， 为离心率。 2.单位时间内向径 扫过的面积是常数 ，即 其中 （2） null3．行星运行周期 满足 （ 是绝对常数） （3） 4.行星运行时受的作用力 等于行星加速度 和质量 的乘积，即 （4） 模型建立 引入基向量 （5） 向径 可表示为： （6） 由（5）可得 (7)null 由（6）、（7）两式可得 (8) （6）(7)(9)null根据 (2)式得 , (10) 于是 ，(9)式化为 (11) 对 (1)式求导，并利用(10)式 的结果，得 (12) (13) null把(10)、(13) 代入(11)式得 (14) 把 、 代入上式得 , (15) 又由椭圆面积公式，行星运行一个周期 向径扫过的面积 为 所以 (16) 由(1)、(3)、(16) 式容易算出 (17) 把(17)代入(15)式有 (18)null将 写成 于是 　 　　　 (19) 模型验证 由于 ， ，地球轨道长半轴 公转周期 ， ， 太阳质量 ， 可算得 ， ， 验证了 。 nullnull设行星（p点）轨道为椭圆，焦点 、 之间的距离为2c，太阳位于 处，如上图所示，则按余弦定理得因为 ，所以其中 为正焦弦， 为离心率