板块一.古典概型
版块一:古典概型
1.古典概型:
如果一个试验有以下两个特征:
⑴有限性:一次试验出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件;
⑵等可能性:每个基本事件发生的可能性是均等的.
称这样的试验为古典概型.
2.概率的古典定义:
随机事件
的概率定义为
EMBED Equation.DSMT4 .
版块二:几何概型
几何概型
事件
理解为区域
的某一子区域
,
的概率只与子区域
的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与
的位置和形状无关,满足此条件的试验称为几何概型.
几何概型中,事件
的概率定义为
,其中
表示区域
的几何度量,
表示区域
的几何度量.
SHAPE \* MERGEFORMAT
题型一 基础题型
【例1】 在第
路公共汽车都要依靠的一个站(假设这个站只能停靠一辆汽车),有一位乘客等候第
路或第
路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等,则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____
【例2】 (2010崇文一模)
从
张扑克牌(没有大小王)中随机的抽一张牌,这张牌是
或
或
的概率为_______.
【例3】 (2010上海卷高考)
从一副混合后的扑克牌(
张)中随机抽取
张,,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得为黑桃”,则概率
(结果用最简分数表示).
【例4】 (2010湖北高考)
投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件
,“骰于向上的点数是3”为事件
,则事件
,
中至少有一件发生的概率是
A.
B.
C.
D.
【例5】 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位,乙正好坐中间的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【例6】 甲、乙、丙三人在
天节日中值班,每人值班
天,则甲紧接着排在乙后面值班的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【例7】 今后三天每一天下雨的概率都为
,这三天恰有两天下雨的概率为多少?
【例8】 某学生做两道选择题,已知每道题均有
个选项,其中有且只有一个正确答案,该学生随意填写两个答案,则两个答案都选错的概率为 .
【例9】 现有
名奥运会志愿者,其中志愿者
通晓日语,
通晓俄语,
通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各
名,组成一个小组.
⑴求
被选中的概率;
⑵求
和
全被选中的概率.
【例10】 (2009江西10)
甲、乙、丙、丁
个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这
个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【例11】 一个各面都涂有色彩的正方体,被锯成
个同样大小的小正方体,将这些正方体混合后,从中任取一个小正方体,求:
⑴有一面涂有色彩的概率;⑵有两面涂有色彩的概率;⑶有三面涂有色彩的概率.
题型二 中档题的常见载体模型
扔骰子硬币
【例12】 将一枚硬币连续投掷三次,连续三次都得正面朝上的概率是多少?
【例13】 将一枚硬币连续投掷三次,恰有两次正面朝上的概率是多少?
【例14】 先后抛掷两颗骰子,设出现的点数之和是
的概率依次是
,则( )
A.
B.
C.
D.
【例15】 (08江苏)
若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷
次,则出现向上的点数之和为
的概率为 .
【例16】 (广东)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数),骰子朝上的面的点数分别为,则的概率为( )
A. B. C. D.
【例17】 若以连续掷两次骰子分别得到的点数
,
作为点
的坐标,则点
落在圆
内的概率是 .
【例18】 同时抛掷两枚骰子,
⑴求得到的两个点数成两倍关系的概率;
⑵求点数之和为
的概率;
⑶求至少出现一个
点或
点的概率.
【例19】 某中学高一年级有个班,要从中选两个班代表学校参加某项活动,由于某种原因,一班必须参加,另外再从二到十二班中选一个班.有人提议用如下的方法:掷两个骰子得到的点数和是几,就选几班,你认为这种方法公平吗?并说明理由.
摸球
【例20】 (2009重庆6)
锅中煮有芝麻馅汤圆
个,花生馅汤圆
个,豆沙馅汤圆
个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取
个汤圆,则每种汤圆都至少取到
个的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【例21】 口袋内装有大小相同的
只球,其中
只白球,
只黑球,从中一次摸出两个球,
⑴写出基本事件空间,并求共有多少个基本事件?
⑵摸出来的两只球都是白球的概率是多少?
⑶摸出来的两只球颜色不同的概率为多少?
【例22】 (2010朝阳一模)
袋子中装有编号为
的2个黑球和编号为
的3个红球,从中任意摸出2个球.
⑴写出所有不同的结果;
⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;
⑶求至少摸出1个黑球的概率.
【例23】 盒中有6只灯泡,其中有2只是次品,4只是正品.从中任取2只,试求下列事件的概率.
⑴取到的2只都是次品;⑵取到的2只中恰有一只次品.
【例24】 有
个红球,
个黄球,
个白球装在袋中,小球的形状、大小相同,从中任取两个小球,求取出两个同色球的概率是多少?
【例25】 袋中装有红、黄、白
种颜色的球各
只,从中每次任取
只,有放回地抽取
次,求:⑴
只全是红球的概率,⑵
只颜色全相同的概率,
⑶
只颜色不全相同的概率,⑷
只颜色全不相同的概率.
【例26】 袋里装有30个球,每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为
的球的重量为
(克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出.
⑴ 如果任意取出1球,求其号码是3的倍数的概率.
⑵ 如果任意取出1球,求重量不大于号其码的概率;
⑶ 如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率.
【例27】 在10个球中有6个红球,4个白球(各不相同),不放回的依次摸出2个球,在第1次摸出红球的条件下,第2次也摸出红球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【例28】 一个袋子中装有
个红球和
个白球(
),它们除颜色不同外,其余都相同,现从中任取两个球.
⑴若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍,求证:
必为奇数;
⑵若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率,求满足
的所有数组
.
【例29】 (2006年浙江卷)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有
个红球,
个白球;乙袋装有
个红球,
个白球.由甲,乙两袋中各任取
个球.
⑴ 若
,求取到的
个球全是红球的概率;
⑵ 若取到的
个球中至少有
个红球的概率为
,求
.
数字计算
【例30】 用2、3、4组成无重复数字的三位数,这些数被4整除的概率是( )
A.
HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/"
HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/"
D.
HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/"
C.
B.
【例31】 任意写一个无重复数字的三位数,其中十位上的数字最小的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【例32】 (08辽宁)
张卡片上分别写有数字
,从这
张卡片中随机抽取
张,则取出的
张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【例33】 (2006年北京卷理)在
这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有( )
A.
个 B.
个 C.
个 D.
个
【例34】 (2007年上海卷文)在五个数字
中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示).
【例35】 (全国)从数字中,随机抽取个数字(允许重复),组成一个三位数,其各位数字之和等于的概率为( )
A. B. C. D.
【例36】 从
这五个数字中任取
个偶数,从
这五个数字中任取
个奇数,组成没有重复数字的三位数,求其中恰好能被
整除的概率.
【例37】 电子钟一天显示的时间是从
到
的每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【例38】 在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为
的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【例39】 (2009浙江17)
有
张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数
,
,其中
.从这
张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有
,
的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为
)不小于
”为
,则
_____________.
【例40】 在
张奖券(奖券号是
)的三位自然数中抽一张奖券,若中奖的号码是仅有两个数字的相同的奖券,求中奖面是多少?
【例41】 某城市开展体育彩票有奖销售活动,号码从
到
,购买时揭号对奖,若规定从个位起,第一、三、五位是不同的奇数,第二、四、六位均为偶数(可以相同)时为中奖号码,求中奖面所占的百分比.
【例42】 袋中装有
个
分硬币,
个二分硬币,
个一分硬币,任意抓取
个,则总面值超过
角的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【例43】 (2009江苏)
现有
根竹竿,它们的长度(单位:
)分别为
,
,
,
,
,若从中一次随机抽取
根竹竿,则它们的长度恰好相差
的概率为________.
【例44】 任取一正整数,求该数的平方的末位数是
的概率.
【例45】 摇奖器摇出的一组中奖号码为
,对奖票上的六个数字是从
这十个数字中任意选出六个不同数字组成的.如果对奖票上的六个数字中至少有五个与摇奖器摇出的号码相同(不计顺序)就可以得奖,则中奖的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【例46】 甲乙两人各有相同的小球
个,在每人的
个小球中都有
个标有数字
,
个标有数字
,
个标有数字
.两人同时分别从自己的小球中任意抽取
个,规定:若抽取的两个小球上的数字相同,则甲获胜,否则乙获胜,求乙获胜的概率.
【例47】 (2010西城一模)
一个盒子中装有
张卡片,每张卡片上写有
个数字,数字分别是
、
、
、
.现从盒子中随机抽取卡片.
⑴若一次抽取
张卡片,求
张卡片上数字之和大于
的概率;
⑵若第一次抽
张卡片,放回后再抽取
张卡片,求两次抽取中至少一次抽到数字
的概率.
排列组合相关
【例48】 一只猴子随机敲击只有
个小写英文字母的练习键盘. 若每敲
次在屏幕上出现一个字母,它连续敲击
次,屏幕上的
个字母依次排成一行,则出现单词“monkey”的概率为
.
【例49】 已知
支球队中有
支弱队,以抽签方式将这
支球队分为
、
两组,每组
支.求:
⑴
、
两组中有一组恰有两支弱队的概率;
⑵
组中至少有两支弱队的概率.
【例50】 某班数学兴趣小组有男生和女生各
名,现从中任选
名学生去参加校数学竞赛,求:
⑴恰有一名参赛学生是男生的概率;
⑵至少有一名参赛学生是男生的概率;
⑶至多有一名参赛学生是男生的概率.
【例51】 (2009上海文)
若某学校要从
名男生和
名女生中选出
人作为上海世博会的志愿者,则选出的志愿者中男女生均不少于
名的概率是 (结果用最简分数表示).
【例52】 有十张卡片,分别写有
、
、
、
、
和
、
、
、
、,
⑴从中任意抽取一张,
①求抽出的一张是大写字母的概率;②求抽出的一张是或的概率;
⑵若从中抽出两张,
③求抽出的两张都是大写字母的概率;④求抽出的两张不是同一个字母的概率;
【例53】 某国际科研合作项目成员由
个美国人、
个法国人和
个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 .(结果用分数表示)
【例54】 (06江西)将7个人(含甲、乙)分成三个组,一组3人,另两组2人,不同的分组数为
,甲、乙分到同一组的概率为
,则
的值分别为( )
A.
B.
C.
D.
【例55】 (2009江西10)
为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了
种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡片,集齐
种卡片可获奖,现购买该种食品
袋,能获奖的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【例56】 (2006上海)
两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷
本,共
本.将它们任意地排成一排,左边
本恰好都属于同一部小说的概率是______(结果用分数表示).
【例57】 (2008四川延8)
在一次读书活动中,一同学从
本不同的科技书和
本不同的文艺书中任选
本,则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【例58】 停车场有
个排成一排的车位,当有
辆车随意停放好后,恰好剩下三个空位连在一起的概率为_______;
【例59】
个人坐到
个座位的一排位置上,则
个空位互不相邻的概率为 .
【例60】 右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【例61】 (2009四川文)
为振兴旅游业,四川省
年面向国内发行总量为
万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡),某旅游公司组织了一个有
名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中
是省外游客,其余是省内游客,在省外游客中有
持金卡,在省内游客中有
持银卡.
⑴ 在该团中随即采访
名游客,求恰有
人持银卡的概率;
⑵ 在该团中随机采访
名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.
【例62】 (08湖南)对有
个元素的总体
进行抽样,先将总体分成两个子总
和
(
是给定的正整数,且
),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用
表示元素
和
同时出现在样本中的概率,则
= ;所有
的和等于 .
题型三 结合其他知识的综合题及杂题
【例63】 已知
的三边是
以内(不包含
)的三个连续的正整数,求
是锐角三角形的概率.
【例64】 (07湖北)连掷两次骰子得到的点数分别为
和
,记向量
与向量
的夹角为
,则
的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【例65】 考虑一元二次方程
,其中
的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,试求方程有实根的概率.
【例66】 (07四川)
已知一组抛物线
,其中
为
中任取的一个数,
为
中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线
交点处的切线相互平行的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【例67】 (2009安徽)
考察正方体
个面的中心,甲从这
个点中任意选两个点连成直线,乙也从这
个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
【例68】 从正二十边形的对角线中任取一条,则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为
.
杂题
【例69】 某招呼站,每天均有
辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车.某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他将采取如下决策:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆.
⑴共有多少个基本事件?
⑵小曹能乘上上等车的概率为多少?
【例70】 李明手中有五把钥匙,但忘记了开门的是哪一把,只好逐把试开,
⑴李明恰在第三次打开房门的概率是多大?
⑵李明三次内打开房门的概率是多大?
【例71】 张三和李四玩“棒子、老虎、鸡、虫子”的游戏(棒子打老虎,老虎吃鸡,鸡吃虫子,虫蛀棒子),他们同时报其中一个的名字,如果出现的不是以上相邻的两个(比如出现老虎与虫子),则算平局,求⑴出现平局的概率;⑵张三赢的概率.
【例72】 某单位一辆交通车载有
个职工从单位出发送他们下班回家,途中共有甲、乙、丙
个停车点,如果某停车点无人下车,那么该车在这个点就不停车.假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的,求下列事件的概率:
⑴该车在某停车点停车;⑵停车的次数不少于
次;⑶恰好停车
次.
【例73】 (2010石景山一模)
为援助汶川灾后重建,对某项工程进行竞标,共有
家企业参与竞标.其中
企业来自辽宁省,
、
两家企业来自福建省,
、
、
三家企业来自河南省.此项工程需要两家企业联合施工,假设每家企业中标的概率相同.
⑴企业
中标的概率是多少?
⑵在中标的企业中,至少有一家来自河南省的概率是多少?
典例分析
PAGE
7
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