第三章 正投影法

null正投影法正投影法第二讲第二章 正投影法基础第二章 正投影法基础第一节 正投影法 第二节 点的投影 第三节 直线的投影 第四节 平面的投影第一节 正投影法第一节 正投影法投影法 正投影法 物体的三面投影 投影法投影法定义 投影法：将空间物体的形象按一定规则在平面上表示出来的方法称投影法 投影中心：S 投影面：水平面H投影法投影法例 投影：过点A引一光线SA，使与水平面H相交为a点， a点就是点A在水平面H上的投影 空间点：点A 投影线：线SA投影法分类投影法分类中心投影法 中心投影：当所有投影线都从空间一个定点引出，得到的投影称中心投影 中心投影法：这种投影线都通过投影中心的投影法称中心投影法 特点：一般不能反映物体的真实大小中心投影法中心投影法投影法分类投影法分类平行投影法： 平行投影法：投影线相互平行，有同一投影方向的投影 分类：分为斜投影法和正投影法正投影法正投影法正投影法 正投影法：当投影方向垂直于投影面时，称为正投影法正投影法的投影特点正投影法的投影特点实形性 当平面图形或线段平行于投影面时，其投影反映实形或实长 积聚性 当平面或直线垂直于投影面时，其投影成为一直线或一点 类似性 当平面图形或线段倾斜于投影面时，平面图形投影成类似形，线段的投影比实长短正投影的基本特性 1正投影的基本特性 1线性 直线的投影在一般情况下仍是一直线，特殊情况为点。正投影的基本特性 2正投影的基本特性 2等比性 点在线上则点的投影必在直线的同面投影上，点分直线上两线段长度之比等于其投影长度之比正投影的基本特性 3正投影的基本特性 3平行性 空间两平行线的投影必互相平行，且该平行线段长度之比等于投影长度之比（反之如何？）正投影的基本特性 4正投影的基本特性 4当直线或平面垂直于投影面时，则直线、平面在投影面上的投影分别积聚成一点或直线 当直线或平面平行于投影面时，则直线、平面在投影面上的投影分别反映其实长和实形 当直线倾斜于投影面时，则直线的投影必短于实长，当平面倾斜于投影面时，则平面的投影面积必小于实形，为该平面实形的类似形一面和两面体系一面和两面体系物体的三面投影物体的三面投影三面体系的形成 物体在三面体系中的放置 三面投影图 三面投影的投影规律三面体系的形成三面体系的形成选择三个两两互相垂直的投影面 正面V 侧面W 水平面H 投影轴：三投影面间的交线为投影轴 X、Y、Z轴 三面体系：这样放置的三个两两互相垂直的投影面称为三面投影体系三面体系三面体系物体在三面体系中的放置 人-物-投影面 将物体的更多的表面垂直于投影面 物体在三面体系中的投影 正面投影——主视图 水平投影——俯视图 侧面投影——左视图三面投影的展开三面投影的展开三面投影的展开三面投影的展开三面投影图 正面不动 将水平面连同俯视图绕OX轴向下旋转90° 将侧面连同左视图绕OZ轴向右旋转90°三面体系的展开三面体系的展开三面投影的投影规律三面投影的投影规律 长对正 主、俯视图 高平齐 主、左视图 宽相等 俯、左视图三视图的方位关系三视图的方位关系画三视图的步骤画三视图的步骤画三视图的步骤画三视图的步骤第二节 点的投影第二节 点的投影点的两面投影 点的三面投影 点的坐标与投影的关系点的两面投影点的两面投影空间点A的水平投影 a和正面投影a′的连线aa′与投影轴OX垂直 因为Aa垂直于H面，Aa ′垂直于V面，所以Aa和Aa ′所决定的平面R ，垂直于H、 V面，则垂直于投影轴OX 则R面与H、 V面的交线aax及a ′ ax分别与投影轴OX垂直 ax是两交线和OX的交点，展开后a、a ′ 、 ax三点必在一直线上 aa′与投影轴OX垂直 a ′ ax = Aa， aax = Aa ′点的两面投影及其规律点的两面投影及其规律null●●●●XYZOVHWAaaa点的投影规律:① aa⊥OX轴② aax= aaz=y=A到V面的距离aax= aay=z=A到H面的距离aay= aaz=x=A到W面的距离 aa⊥OZ轴null0点的三面投影1. 空间一点 A 的投影请点击鼠标左键显示后面 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 nullXYYZ 2. 点的三面投影规律 3. 点的坐标与投影的关系请点击鼠标左键显示后面内容nulla’aa’’作图步骤：（1）画出坐标原点及各轴;（2）根据A点的坐标求其V、H面的投影 a’,a;（3）根据点的投影规律求出第三投影 a”。例1.已知A点的坐标为（5，10，15）,求其三面投影。请点击鼠标左键显示后面内容A请点击鼠标左键显示后面内容点的三面投影点的三面投影在H、 V面的基础上，加上W面，同时与H、 V面垂直 空间点A的正面投影 a和侧面投影a"的连线aa " 与投影轴OZ垂直 a ′ ax = Aa= a " ayw， aax = Aa ′ = a " aZ点的三面投影画法点的三面投影画法null例：已知点的两个投影，求第三投影。●●aaaxazaz解法一:通过作45°线使aaz=aax解法二:用圆规直接量取aaz=aax点的坐标与投影的关系点的坐标与投影的关系空间点A（x，y，z）的坐标与投影的关系 x = 空间点A到w面的距离 y =空间点A到V面的距离 z =空间点A到H面的距离两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置 x(a)大于x(b)时，A在B之左 y(a)大于y(b)时，A在B之前 z(a)大于z(b)时，A在B之上 null二.空间二点的相对位置 A与B二点的相对位置: 请点击鼠标左键显示后面内容null作图步骤：（2）根据点的投影规律 求其第三投影 b”。（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;例2.已知B点在A下10,A后5,A左10 mm处,求B点的三投影。请点击鼠标左键显示后面内容重影点重影点重影点 当空间两点的连线垂直于某平面时，两点在该平面上的投影将重合 一般将不可见的投影加括号表示null重影点的判别与标注请点击鼠标左键显示后面内容null例3. 已知C点距W面5、距V面10、距H面10 mm, D点距W面15、距V面10、距H面5 mm，求 C、D二点的三面投影,并判别其可见性。作图步骤：2.求D点的三投影 d,d ’,d ” 1.求C点的三投影 c,c’,c”; 请点击鼠标左键显示后面内容（C）null练习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：已知各点的两个投影，求其第三投影。 (1)(2)ba ca’b’c’( )请点击解答显示其内容第三节 直线的投影第三节 直线的投影直线的投影 直线对一个投影面的投影特性 直线在三个投影面中的投影特性 直线上点的投影 两直线的相对位置直线的投影直线的投影 直线的投影 直线由两点确定，因此直线的投影即由该直线上两点的投影所决定直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性积聚性 当直线垂直于投影面时 在该投影面上的投影重合成一点 实形性 当直线平行于投影面时 该投影面上的投影反映空间线段的实长 类似性 当直线倾斜于投影面时 该投影面上的投影是较空间线段缩短了的线段null3 直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。⒈ 直线对一个投影面的投影特性直线的投影特性直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB直线垂直于投影面 投影重合为一点 ab=0 积聚性直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面垂直线 直线垂直于某一投影面（同时平行于另两投影面）称为该投影面的垂直线 投影面垂直线的投影特性 在其垂直的投影面上，投影有积聚性，积聚成一点 另两投影反映实长，且垂直于某一投影轴 垂直线正垂线—— 垂直于V面垂直线正垂线—— 垂直于V面垂直线铅垂线—— 垂直于H面垂直线铅垂线—— 垂直于H面垂直线侧垂线—— 垂直于W面垂直线侧垂线—— 垂直于W面投影面平行线投影面平行线投影面平行线 直线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜称为某投影面的平行线 投影面平行线的投影特性 在其平行的那个投影面上的投影反映实长 直线在另两个投影面上的投影是较空间线段缩短了的线段，且平行与投影轴平行线正平线 —— 平行于V面平行线正平线 —— 平行于V面平行线水平线 ——平行于H面平行线水平线 ——平行于H面平行线侧平线 ——平行于W面平行线侧平线 ——平行于W面一般位置直线一般位置直线一般位置直线对三个投影轴都倾斜成某个角度 一般位置直线的投影特性 一般位置直线的三个投影对三个投影轴既不平行也不垂直 一般位置直线的三个投影是较空间线段缩短了的线段一般位置直线一般位置直线直线上点的投影直线上点的投影从属性：若点在直线上，则点的投影在该直线的同面投影上，并将线段的各个投影分成和空间线段相同的比例两直线的相对位置——平行两直线的相对位置——平行若空间的两直线互相平行，则其同面投影必相互平行 反例两直线的相对位置——相交两直线的相对位置——相交若空间的两直线相交，则其同面投影必相交，且其交点符合空间一点的投影规律 两直线的相对位置——交叉两直线的相对位置——交叉交叉两直线的同面投影可能相交，但各同名投影的交点不符合点的投影规律实例：三棱锥null直线的三面投影请点击鼠标左键显示后面内容null直线的投影特性 直线性： 直线的投影仍然是直线(特殊情况积聚为点); 平行性： 平行直线的各同名投影仍然平行 ; 从属性： 若点在线上,则点的投影应在线的同名投影上。 a’Aaa´aa”请点击鼠标左键显示后面内容null 平行于 V 面的直线 Y坐标相等，称为 正平线； 直线与 V 面的夹角称为  (总有一个倾角为0); 在所平行的投影面上的投影反映实长及倾角的真实大小在所倾斜的投影面上的投影则比实长短。1.投影面平行线 —— 总有一组坐标相等,一个倾角为零.定 义： 倾 角： 投影规律： 请点击鼠标左键显示后面内容null 直线与 V 面的夹角称为  ；(总有二个倾角为0) 垂直于 V 面的直线 X.Z坐标相等，称为 正垂线； H X.Y 铅W Y.Z 侧H  W  —— 总有二组坐标相等,二个倾角为零.定 义： 倾 角： 投影规律： 2.投影面垂直线 请点击鼠标左键显示后面内容null 直线与 V 面的夹角称为  ( 三倾角不为0和90); H  W  3.投影面倾斜线 —— 一般位置直线 定 义： 倾 角： 投影规律： H请点击鼠标左键显示后面内容null三、两直线的相对位置 1 . 线与线平行： 2 . 线与线相交： 若二直线在空间平行， 各同面投影也相互平行； 若二直线在空间相交， 各同面投影也相交,其 交点是二直线的共有点； 若二直线在空间交叉， 各同名投影相互交叉， 其交点一定是重影点。3 . 线与线交叉： 请点击鼠标左键显示后面内容null 练习1：已知立体上直线 AB、CD 的空间位置， 在投影图中标注其投影位置，并填空。 请点击解答显示其内容null 练习2： 已知直线AB、AC的二投影，求二直线的第三 投影,并说明其空间位置和反映实长的投影。 请点击解答显示其内容第四节 平面的投影第四节 平面的投影平面的投影特性 平面对一个投影面的投影特性 平面在三投影体系中的投影 平面上的直线 平面上的点null一、平面的表示方法 用图形表示的平面: (1)不在同一直线上的三点:(2)一直线和线外一点： (3)平行二直线： (4)相交二直线： (5)任意几何形： 请点击鼠标左键显示后面内容平面的投影特性平面的投影特性类似性 平面倾斜于投影面 投影既不全等也不相似 积聚性 平面垂直于投影面 投影为一直线 实形性 平面平行于投影面 投影与空间平面全等平面在三投影体系中的投影一般位置平面 与三投影面均倾斜的平 面称为一般位置平面。三面投影均不反映实 形，而为类似型。一般位置平面(1)定 义： (2)投影规律: 请点击鼠标左键显示后面内容平面在三投影体系中的投影投影面的垂直面——总有一个投影积聚为直线1.投影面垂直面 (1)定 义： (2)投影规律: 请点击鼠标左键显示后面内容投影面的垂直面垂直面正垂面—— 垂直于V面垂直面正垂面—— 垂直于V面垂直面铅垂面—— 垂直于H面垂直面铅垂面—— 垂直于H面垂直面侧垂面—— 垂直于W面垂直面侧垂面—— 垂直于W面投影面的平行面投影面的平行面投影面的平行面 空间平面平行于某一投影面，同时垂直于另两个投影面 投影面的平行面的投影特性 在与平面平行的那个投影面上的投影反映实形 在另两投影面上的投影积聚成分别与两投影轴平行的直线null2.投影面平行面 —— 总有两个投影积聚为直线(1)定 义： (2)投影规律: 请点击鼠标左键显示后面内容平行面正平面 —— 平行于V面平行面正平面 —— 平行于V面平行面水平面 ——平行于H面平行面水平面 ——平行于H面平行面侧平面 ——平行于W面平行面侧平面 ——平行于W面平面上的直线平面上的直线平面上的直线 一直线若通过平面上的两点，则此直线必在该平面上 一直线若通过平面上的一点，又平行于该平面上的一直线，则此直线必在该平面上nullabcbcadnm例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二null例2：在平面ABC内作一条正平线，使其到V面的距离为15mm。nmnm平面上的点平面上的点平面上的点 如果点位于平面内的任一直线上，则此点位于该平面内 若在平面上取点，必须先在平面内取一直线，然后在此直线上取点null例2 已知点M、N在平面ABC上，求作另一投影m＇、n.利用在面内作辅助线求解null 练习1:已知立体上平面P、Q、R的空间位置， 在投影图中标注其投影位置,并填空。 水平铅垂侧垂请点击解答显示其内容null 练习2:已知平面的两个投影,求作其第三投影,并填空。 请点击解答显示其内容null1. 根据立体图找出相应三视图，并在括号内填写相应编号。请点击解答显示其内容null2. 根据立体图及所给观察方向，画出相应的三视图。 请点击解答显示其内容null3. 根据立体图及所给观察方向，画出相应的三视图。 请点击解答显示其内容null第五节 直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。平行问题 直线与平面平行 平面与平面平行一、 直线与平面平行null正平线例1：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。c●●bamabcm唯一解xonull二、 两平面平行① 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。ooxxnull[例2] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。null相交问题一、 直线与平面相交交点是直线与平面的共有点 交点是直线可见与不可见的分界点。● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。nullabcmncnbam⑴ 平面为特殊位置例3 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。① 求交点② 判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。1(2)作 图●xnullkm(n)b●mncbaac⑵ 直线为特殊位置空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。① 求交点② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k 2为不可见。1(2)●作图用面上取点法xnull二、 两平面相交（利用积聚性求交线） 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要解决的问题：① 求两平面的交线方法：⑴ 确定两平面的两个共有点。⑵ 确定一个共有点及交线的方向。② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。null平面与平面相交两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有null可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 得交线上的一个点便可作出交线的投影。① 求交线② 判别可见性作 图 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。●能!如何判别？例4：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴nullbcfhaeabcefh1(2)空间及投影分析 平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m 、 b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。① 求交线② 判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作 图●例5 求两平面的交线MN并判别可见性。null三. 直线与平面相交（利用辅助平面法求交点）12PV步骤： 1．过EF作正垂平面P。 2．求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。示意图null以铅垂面为辅助平面求线面交点。12PH步骤： 1．过EF作铅垂平面P。 2．求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。null四、求两平面的交线 两一般位置平面相交，求交线步骤： 1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。2．连接两个共有点，画出交线KE。示意图null利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性( )( )null[例6] 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交null分析 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。null作图PV121．过点K作平面KMN// ABC平面。2．求直线EF与平面KMN的交点H 。3．连接KH，KH即为所求。The EndThe End