类比探究直线与椭圆的位置关系

数学通讯 -2011年 第 10期 (下半月) ·教学参考· 16 类比探究直线与椭圆的位置关系 朱灰忠 (新疆石河子市一中,Bs⒛CXl) 背景 在《实验班》的课堂上,复习椭圆与直线 的位置关系时,其中有∵个问题是 “怎样判别直线与 椭圆 璧笙晕簏 直方程与椭圆方程联立,消去y 或ε就得到关于=或关于y的一个∵元二咨方程, 再计算判别式△,①若△=0,说明直线与曲线有一 ↑龛莒气i:菟缇1占垦茗￡J⒊粪暨晏鹫蟊菖镘著 /Akx晷 』粜奚 j老 师 ,我们在 有类 刍吞拦蛩∶l套%想 ,平莳痴是用判别式 △来解 查端簇瀚黟黥 廴黠肭 :耋扌冫蓦 凇、茧倌彳挈及与删 椭圆萏霉:到豪绋的骘稳黠男铤纟菟长a,短半 轴长 3或半焦距c是否存在茱种特殊的关系? 首先研究特例 . 梳 1 设 户1,F∶ 是搀啬 Γ:镁 +苫 =1的两个 焦点,点 FⅡ F2到直线 ‘1:ε 一夕+/34=0的距离 分别为d1,d2, (1)判别直线 J1和椭圆的位置关系 ; (V求 d1,d2的值 ,观察寻找 d1,d2的值与椭 圆中 蓄挛曩苕葫夏幺 ,采取分工的办珏.由题意可得 F1(-4,0),F2(4,0). 第一组同学:用 “代数法 (判别式 △法 )” 进行 运算 . 粒 组略 谘 出 艹 L型 寺笋平|赃 J1与 c=5,3亏3,'=4相差很大。 第三组同学:计算出饧 =上 凵 雀罕竿∷ 察 d2 与厶=5,乙 =3,c=矸相差很大. 我把同学计算得出的结某有条理地板书在黑板 上,让全班同学一起观察 . 片刻后,学生丙举起手说:我发现了它们之间的 关系:drd2=9=bz· 师:你是怎样想到计算 JrJ2的呢? 学生丙:在前面已经提到过 ,当椭圆的两个焦点 越接近时,椭圆就越接洱圆,当 点 FⅡ Fz重合时,d1 =J2,在判别直线与圆的位置关系时,直线与圆相 切㈡d=',变形为 J2=rz◇d1·d2=9=′。某实事:先 我也计算过 J1与 d2的和、差、积、商,进行了比 较,只有 d1与d2的积才与 32有种特殊的关系,此 时全班同学用热烈的掌声对学生丙的这一发现表示 庆贺 , 结论 :“ J1· d2='”,此结论能判别直线与椭圆 一定相切吗? 例 2 设 F1,F2~是椭圆∴差 +亻 =1的两↑ 焦点,点 FⅡ Fz到直线 饧:挖￡一丿+fs=0的距离 消去 丿可得 "=2 5=0,说明直线 ‘1? ?? ? ·教学参考· 数学通讯 — ⒛11年 第10期 (下半月) 17 ? ?? ? ? ??????????????????? ︱ ?? ? ? ???????? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ??? ?? ?? ? ?? ?? ??? ??? ?? ? ?? ︱ ? ︱ ︱ ︱ ︱ 解 (1)一方面,d1 上红 f抬:压 ⒒亠⒋ 吧 =叩 : 分别为 J1,'2,(1)仿 照例 1的过程计算 'r饧的值,(2)≠lJ,刂直线 饧与椭圆的位置关系 . 碑∵申方罕组{了:芎 =1∶ ∶0恼⊥”可得 (c2勿2+32饣 2)=2+2色2砌多艹c2(p2-32饣2)=0。 ·r直线J与椭圆相切,(说明:此时椭圆的两个 焦点在直线的同侧) 。 ,∷ △=(2Ω 2勿夕)2^4(夕 27刀 2+32″ 2)四 2(p2- 沙2″ 2)=4曰 232九 2(@2⑺:+32饣2-p2)=o (关) 。∷p2=夕2庇 2+32饣 2, 又∵椭圆的焦点 Fi(亠c,0),凡(c,0);其中 '=G2-32∶∴而·此=;7芳阜毛言劳乒·↓谔芳管÷钅台T W= =虍 即 Jr叱='是必然的结果。这就说明在一般 倩况下 ,有 · 直线 J与椭圆Γ相切→J1· d2='. 问题 4 试写出一个能判断直线与椭圆的位 置关系的充要条件 ,并证明 . 结论 设 F1,丸 是褊圆 ∴ i荸 |笳=1(四 冫D ≥0)巾两个焦点 ,点 Fb Fz到直线 J:钩忸 +汕 |p =0(仍 ,祝 不同时为 0)的距离分别为 歹Ⅱ '2,且Fl,Fz在直线 `的 同侧 ,那么直线 J与椭圆Γ相切 的充要条件是 :访 ·J2=';直线 J与椭圆Γ相交的 充要条件是 :d1·d2(32;直线 J与椭圆Γ相离的充 要条件是:dr饧)'; 下面仅就相切的情况给出证明 . 证明 由问题 3得 , 直线 J与椭圆Γ相切→d1·奶 =', 反 之,若 叱 ·饧 ≡ 髁 吖 9 虍 则 塄 · 即 |p2-印2c2|=32(〃2+刀2) ① ·rF1,Fz在直线 J的同侧,将其坐标分别代人 直线 J的方程犯 +” +夕 =0的左边,有 -祝c+p 与铭c+p的符号相同,从而pz一勿:c2>0. 由①得 p2=仞2cz+32(仍2+饣2)=@2″2+ 32尼 , 所 以 △ =4a2沙2″ 2(四 2m2+32彳 2一 夕卩)=0, 故直线与椭圆相切。 ∷ 问题 5 如何判断椭圆的两焦点在直线 J的同 侧 ,还是异侧呢? (2)羌|芳面,由 '罕 组 {营 +∶ 丨11=0 去 ,可 得 sg￡2t sO/而￡ˉ1oo△0,△ = (5o/而)2+4× sg×1O0)0,说明直线 J与椭圆Γ 相交。 通过例1和例2的解答过程,得出不同的结果 , 究竟是相交还是相切?我和同学们都感到有些困惑 和失望。 那么用dr饧=Dz判断直线与椭圆的位置关 系是不是还要添加另外的条件呢? 请同学们在同一直角 坐标系中,作出例 1和例2 的图形 ,如图 1所示 ,再进 行研究 ,看看有没有新的 发现? 通过观察图形 ,可 以 看出对于直线 J1,椭 圆两 焦点在直线 J1的 同侧 ,对 于直线 J,,椭圆两焦点在直线 是否有作用呢? 我们又例举了一些直线进行探究(如 丿〓±3,y =± 呼 茁,等等 )。 结果发现椭圆nq焦点与直线的 位置有关。于是就有下面的猜想 : 当椭圆的两个焦点在直线 z的同侧时,若有 '1·饧 =',则直线 '与 椭圆相切 . (当椭圆的两个焦点在直线 J的异侧时,显然 , 直线 J与椭圆一定是相交的。) 这个结果 :d1·饧 =D2能否作为判断直线与椭 圆的位置关系的工具呢?是必然的还是偶然的?对 一般情况是否也成立呢? 问题 3 设 F1,Fz是椭由 Γ:荸 +笳 =】 (ε >3>0)的两个焦点 ,点 FⅡ Fz到直线 J:彻,+m9, 十夕=0(彻 ,冗 不同时为 o)的距离分别为 JⅡ 饧 , 且直线 J与椭圆Γ相切,求 Jr〃2的值 . 图 1 九的异侧,这ˉ发现 ? ? ? 数学通讯 一 ⒛11年第 10期 (下半月) ·教学参考 · 18 走出圆锥曲线的认识误区 蒋 亮 (浙江省象山县教育局,31s,∞) ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ?? ??? ?? ︱ ??? ? ? ?? ???? ?? ? ? ???? ∽ J¨ ˉ u△ˉ ∪ˉ ∽ -¨ ¨ ˉ ¨ ˉ~ ~ˉ ~ˉ ~ˉ⋯ˉ ~ ~ˉ 厶¨ ~¨ ˇ ⋯ ˉ ~ ~ˉ∽~∽~∽~∽~∽~^冖凶 冖 ^冖 内 灬 内 ˉ ~ ~¨ ~¨⋯ˉ ~ ~¨¨ 在圆锥曲线与方程[1)的开篇前言中,曾 给圆锥 曲线作宁如下插述性的定义:如 图1,用一个不垂直 于圆锥的轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴夹角 不同时,可 以得到不同的截口曲线,它们分别是椭 圆、抛物线、双曲线.我们通常把圆、椭圆、抛物线、双 曲线统称为圆锥曲线(∞nic sectIOns). ’观察图1中截得抛物线的平面,该平面与圆锥 的一条母线平行,于是,有老师 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf |当截面与国锥 的某一条母线平行时,截得的截口曲线为抛物线. ∶学生丁归纳 :把椭圆的两个焦点坐标分别代人 直线方程 J的左边 ,比较两个效值符号就可以。若符 号相反 ,则两焦点在直线的异侧 ;若其中有一个数值 为零 ,则直线经过一个焦点。这就可以判定直线与椭 圆一定相交,宥符号相同,则两焦点在直线的甲侧 ; 此时就可以按照上述证明的结论进行判别 . 说明 上述命题完全可以作为“工具∷应用,判 断直线与椭圆的位置关系, 练习 给定五夂曲线:① '+y2=号 ;C)蓍 十亻T1;③ '+珲·1;④ 蓍 +'=1;⑤ 菇+ 笞=⒈ . 用i几何法”判别这些曲线与直线 J:茁 +丿 fˉs =0的位置关系. 反思 本来这节课有我所准备的授课内容,也 没有安排这样的内容,既然学生在课堂上提出这样 的问题,那就顺水推舟吧,学生探究的积汲性也很 高,思维能力也到位,按新课标的要求研究烨学习在 此得以体现,集体的智慧得出的成果让我感到十分 欣慰,在今后的数学课堂上,继续保持这样的惯性 , 教学相长,通过上亩的论证,就直线与椭圆的位置关 系而言,有利也有弊,当然“判别式法 ”思跨较为简 单,但运算量较大,“几何法〃步骤略有点繁琐,但容 图 I 事实果真如此吗?先看下面的例子 : 易计算 ,快速得出结果. ~ 以问题引导学生探究 ,成功还是失败并不重要 , 最重要是探究的过程.要学好数学 ,利用数学知识解 决问题 ,是非常需要有提出问题的能力 . 思考题 摹仿问题 4中的推理过程 ,请同学们 给出判定“直线与双曲线位置关系的充要条件 ”。 结论 1 当直线 J与渐近线平行(不重合)时 , 显然 ,直线 J与双曲线的一支必定相交 ,有且仅有一 个交点 ;当 直线 J与渐近线重合时,没有交点 ; 结论 2 当双曲线的两个焦点在直线 J的 同 侧 ,且直线 ‘与渐近线不平行也不重合 ,直线 J与双 曲线必定相交 ,有且仅有两个交点 ; 结论 3 当双曲线的两个焦点在直线 '的异 侧 ,且直线 J与渐近线不平行也不重合时 , 1)直线 J与双曲线Γ相切的布要条件是:d1· J2=32; ⑶ 直线 J与双曲线 Γ相交的充要条件是 :山 · d2(32; 3)直线z与双曲线Γ相离的充要条什是:'1· d2>32, 不妨试一试,证明思考题的结论β 艹 L (收稿日期 :⒛11-“ -1’ )