从零学相对论_连载_梁灿彬 2

第 31 卷第 8 期 大 学 物 理 Vol． 31 No． 8 2012 年 8 月 COLLEGE PHYSICS Aug． 2012 ① “协变(covariance)”一词有“协同改变”之意，就是说，虽然公式中的若干物理量在坐标变换下要变，但它们之间能够如此这般地协同改 变，致使整个公式的形状不变 櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍 櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍 櫍 殻 殻 殻 殻 ． 《从零学相对论》连载 《从零学相对论》连载② 梁灿彬1，曹周键2 (1． 北京师范大学 物理系，北京 100875;2． 中科院 应用数学所，北京 100190) § 1． 3 洛伦兹变换 设两个惯性系之间有最简关联(见图 1 － 1 及 其所在段)，则任一事件在该系的时空坐标 t，x，y，z 和 t'，x'，y'，z'有如下关系: (a)t' = (γ t － vc2 )x ， (b)x' = γ(x － vt) ， (c)y' = y， (d)z' = z， (1 － 3 － 1) 其中 γ≡ 1 1 －(v / c)槡 2 ． (1 － 3 － 2) 上式称为洛伦兹变换． 利用狭义相对论的两个基本 假设(即相对性原理和光速不变原理)，加上对空 间、时间均匀性以及空间各向同性性的默认，爱因斯 坦在 1905 年的开创性论文中推出了这一变换．在后 来的无数教材中都能找到这一变换的证明版本，虽 然证法五花八门，但都离不开两个假设以及对均匀 性和各向同性性的默认． 然而某些数学家(如华罗 庚)对于物理教材的这些证法不太满意，于是又发 展出“数学家式”的证明思路．本书不拟过多涉及这 一问题，只想说明，笔者曾杜撰出一种用“几何语 言”导出洛伦兹变换的方法，详见 § 4． 5． 洛伦兹在相对论诞生前的 1904 年就已发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 过 式(1 － 3 － 1)(这正是该式被称为洛伦兹变换的缘 由)，不过并未给出推导过程． 他知道用式(1 － 3 － 1)代替伽利略变换就意味着修改牛顿力学，而他不 认为牛顿力学需要修改，所以只把式(1 － 3 － 1)视 为便于计算而引入的辅助工具，其中的 t'不是什么 物理时间(他称之为局域时间)，物理上的坐标变换 仍然要用伽利略变换． 正是对伽利略变换和牛顿力 学的过分坚持使洛伦兹与相对论的创立失之交臂． 相对论物理学与非相对论物理学都把相对性原 理作为基本出发点．仅就这一层面而言，相对论与非 相对论并无二致．然而，把物理定律的数学表达式从 一个惯性系变到另一惯性系时必然涉及两系之间的 坐标变换，而这在非相对论和相对论中存在实质性 的区别，所以相对性原理在两种理论中有不同的内 涵．伽利略提出相对性原理时，心目中只有力学现 象，而且坐标变换只有伽利略变换，因此伽利略的 (即非相对论的)相对性原理可以表为“力学 獉獉 定律的 数学表达式在伽利略 獉獉獉 变换下形式不变”，简言之就 是“力学 獉獉 定律具有伽利略 獉獉獉 协变性”①，爱因斯坦的相 对性原理则要求每一物理 獉獉 定律的表达式在各惯性系 中形式相同，而且两系之间要用洛伦兹变换，因此爱 因斯坦的(即相对论的)相对性原理也可表为“物理 獉獉 定律的数学表达式在洛伦兹 獉獉獉 变换下形式不变”，简 言之就是“物理 獉獉 定律具有洛伦兹 獉獉獉 协变性”． 洛伦兹变换有一系列重要的性质和推论，下面 指出 5 点． 1． 由 γ≡1 / 1 －(v / c)槡 2易见 v ＜ ＜ c 时 γ≈1， 故式(1 － 3 － 1b)近似回到 x' = x － vt，与伽利略变换 式(1 － 1 － 4)的第二式一致．此外，通过讨论还能证 明式(1 － 3 － 1a)在 v ＜ ＜ c 时也近似回到伽利略变 换的 t' = t(详见选读 1 － 3)．可见伽利略变换是洛伦 兹变换的低速近似．事实上，整个牛顿力学都可看作 狭义相对论力学的低速近似(见后续内容)．日常生 活和 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 (包括汽车、飞机甚至火箭和航天领域)中 的绝大多数问题都可用牛顿力学解决(杀鸡焉用牛 刀)．然而，在高能物理学领域中经常涉及速率与光速 同量级的高能粒子(能量越高速率越大)，甚至光子 本身，这时牛顿力学就不再适用．例如，当粒子的速率 v =0． 99…995c(共有 2n个 9)时，γ近似为 10n ．可见， 高能粒子物理学的大部分问题非用狭义相对论不可． 2． 由 γ≡1 / 1 －(v / c)槡 2可知当 v ＞ c时 γ 为虚 数，但时空坐标 t，x，y，z 和 t'，x'，y'，z'都是实数，故 式(1 － 3 － 1)中的 γ必须为实数，因而 v不允许大于 64 大 学 物 理 第 31 卷 c．此外，当 v = c 时 γ 无意义(分母为零的分数无意 义) ，可见洛伦兹变换对惯性系之间的相对速率 v 给 出了上限，只允许 v ＜ c．我们在此第一次看到真空光 速在相对论中扮演着极限速率的角色．后面(§ 5. 9) 还将讨论超光速导致因果关系破坏的问题． 3． 式(1 － 3 － 1)表明变量 t'，x'，y'，z'对 t，x，y，z 有线性的依从关系，不难通过反解求得(留作习题) 逆变换式: (a)t = (γ t' + vc2 )x' ， (b)x = γ(x' + vt') ， (c)y = y'， (d)z = z'． (1 － 3 － 1') 从物理角度看，上式无非是如下简单事实的反 映:“火车相对于地面以速度v运动”相当于“地面相 对于火车以速度 － v运动”． 4． 仿照牛顿力学速度变换式(1 － 1 － 6)的推导 方法，不难从洛伦兹变换式(1 － 3 － 1)出发推出如 下的相对论速度变换式: u'x = ux － v 1 － v c2 ux ， u'y = uy (γ 1 － vc2 u )x ， u'z = uz (γ 1 － vc2 u )x ． (1 － 3 － 3) 证明留作习题．对上式要做几点说明． (1)式中的 v是两惯性系的相对速率，是常数． 但式中的 u 和 u'却代表粒子在两个惯性系中的速 度，不要求是常矢量，即式(1 － 3 － 3)适用于作任意 变速运动的粒子． (2)当 v ＜ ＜ c 时有 vux / c 2 ＜ ＜ 1，式(1 － 3 － 3) 简化为牛顿力学的速度变换式(1 － 1 － 6)． (3)根据牛顿力学的速度变换式，当 v ＞ c /2， |u | ＞ c /2时，只要适当选择 u的方向，就有 | u' | ＞ c， 即允许超光速． 但由相对论速度变换式(1 － 3 － 3) 可以证明此种情况不会出现． 只要粒子相对于某惯 性系的速率 u ＜ c，它相对于任何惯性系的速率 u'就 都小于 c．下面是最极端的情况:设粒子在惯性系 K 中的速度满足 ux = c，uy = uz = 0，则由式(1 － 3 － 3) 易得它在惯性系 K'的速度满足 u'x = c － v 1 － v / c = c(c － v) c － v = c， u'y = u'z = 0． 所以 § 1． 2 讲到的“麦氏理论对相对性原理的挑战” 现在就彻底不存在:只要用洛伦兹变换代替伽利略 变换，麦氏理论与相对性原理完全可以和谐共存，并 行不悖!现在可以明确指出，麦氏方程天生就没有 伽利略协变性:如果从 K系变到 K'系时采用伽利略 变换，那么麦氏方程在 K'系的形式将与在 K系的形 式不同．但是麦氏方程天生就有洛伦兹协变性，它生 来是狭义相对论的天之骄子． 由式(1 － 3 － 3)还可求得逆变换式: ux = u'x + v 1 + v c2 u'x ， uy = u'y (γ 1 + vc2 u' )x ， uz = u'z (γ 1 + vc2 u' )x ． (1 － 3 － 3') 5． 狭义相对论中存在着若干饶有趣味的运动 学效应，最常见的是:① 尺缩效应;② 车库佯谬;③ 钟慢效应;④ 孪生子佯谬． 虽然这些效应都可用洛 伦兹变换直接证明(可参阅几乎任一本狭义相对论 教材) ，但存在着一种简单、清晰、深刻得多的、借助 于时空几何语言的证明．本书将在第 4 章详细讲述． ［选读 1 －3］ 上节曾指出，当 v ＜ ＜ c 时洛伦兹变换近似回到 伽利略变换，具体来说就是 (A)x' = γ(x － vt) 近似回到 x' = x － vt， (B)t' = (γ t － vc2 )x 近似回到 t' = t． 由于 v ＜ ＜ c 时 γ≈1，自然就有 x' = γ(x － vt)≈x － vt，即(A)自然成立．然而要说明(B)也成立就要略 费笔墨．为便于陈述，下面以对话方式讲解，其中乙 代表笔者． 甲 由 γ≈1 直接得到的只是 t'≈t － vx /c2， (1 － 3 － 4) 由此又怎能得到 t'≈t? 乙 关键是要说明式(1 － 3 － 4)右边第二项可 被第一项所忽略，即说明 t －(v / c2)x≈t． 甲 t和 x是被观测事件的坐标，原则上可取任 意值，凭什么就有 | t | ＞ ＞(v / c2)| x |? 乙 先看两个特例．① 设事件发生在 K系的空 间坐标原点 O，则 x = 0，自然有 t －(v / c2)x = t;② 设 事件发生在 K'系的空间坐标原点 O'，则 x' = 0，由 x' = γ(x － vt)得 x = vt，代入式(1 － 3 － 4)得 t'≈t －(v2 / c2)t = t(1 － v2 / c2)≈t． 甲 但这两个只是特例．作为被观测事件的坐 标，x和 t原则上可各取任何值． 如果 x 很大而 t 很 小，式(1 － 3 － 4)右边第二项还能被第一项忽略吗? 乙 你涉及问题的要害了． 我的答案是:“洛伦 兹变换在 v ＜ ＜ c时近似回到伽利略变换”这一提法 总是对的，其准确含义如下: 第 8 期 梁灿彬，等:《从零学相对论》连载② 65 “在约定的允许误差范围内，对任一 獉獉 被观测事 件而言，只要 v与 c相比足够小 獉獉獉 ，洛伦兹变换都能近 似回到伽利略变换．” 理由很简单:这一提法要求你首先 獉獉 给定被观测事 件，然后 獉獉 才告诉你 v 要比 c 小多少(这个先后 獉獉 顺序极 其重要)．设此事件的 x与 t的关系为 x =Mct，其中 M 是个很大的(无量纲)数，例如 102，103，……．(这就是 你说的“x很大而 t 很小”的准确含义，须知只有同量 纲的量方可比较大小．)代入式(1 －3 －4)便得 t'≈t － v c2 Mct = (t 1 － vc )M ，(1 － 3 － 5) 故 t － t' = t － (t 1 － vc )M = t vc M，(1 －3 －6) 因而 t'与 t的相对差别 t － t' t = v c M． (1 － 3 － 7) 假定事先约好的允许相对误差为 δ(例如 δ = 10 －2或 10 －3) ，则为使(t － t')/ t ＜ δ，只须 v c ＜ δ M． (1 － 3 － 8) 例如，设 M = 103，δ = 10 －2，则 v / c ＜ 10 －5 ．就是说，只 要 v ＜ 10 －5c，对该事件而言就可在允许误差范围内 使用伽利略变换． 甲 您的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 很有帮助．美中不足的是，您写式(1 －3 －6)时略去了式(1 －3 －5)中 t'后面的近似号．严格 说来，不写近似号就应补上 γ，即式(1 －3 －5)应改为 t' = (γ t － vc2 )Mct ， 这对结果的影响如何? 乙 你的意见很对，但按此修改会使推导变得 很繁，不过不影响定性结论． ［选读 1 －3 完］ 本书至今一直采用国际单位制．相对论公式由于 经常出现 v / c 而显得冗长，而且运算繁杂．如果改用 一种称为“几何单位制”①的单位制，公式便可大为简 化．涉及单位制时应该分清“量”和“数”．一个物理量 与一个被选作单位的同类量做比较就给出一个数(称 为用该单位测该量所得的数)．任何物理书中的绝大 多数等式都可以看作数的等式．几何单位制把真空光 速这个量选作速度这一类量的单位，所以，若以 c 代 表真空光速在几何制的数值，便有 c = 1．本书从现在 开始改用几何单位制，这时洛伦兹变换式简化为 (a)t' = γ(t － vx) ， (b)x' = γ(x － vt) ， (c)y' = y， (d)z' = z， (1 － 3 － 9) 其中 γ≡ 1 1 － v槡 2 ． (1 － 3 － 10) (续完) 参考文献: ［1］ Resnick R． Introduction to Special Relativity［M］． New York:John Wiley ＆ Sons Inc，1968． ［2］ 张元仲． 狭义相对论实验基础［M］． 北京:科学出版 社，1994． ［3］ 梁灿彬，周彬． 微分几何入门与广义相对论( 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf ) ［M］．北京:科学出版社，2006． ① 有志于从单位和量纲理论的高度对几何单位制获得较深入理解的读者可以参阅文献［3］附录 A． (上接 56 页) Study on visualization of the electronic probability density in hydrogen atom NI Xiao-fang，WU Ping-hui，CHEN Fang-fang (College of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou，Zhejiang 313000，China) Abstract:According to the characteristics of abstract and hard to understand of electronic probability density in hydrogen atom in quantum physics，this paper suggests the distributed function of electronic probability density in hydrogen atom including the radial distribution function and angular distribution function． We investigate the distri- bution law of electronic probability density for visualization by using powerful drawing function of Matlab． The re- sults show that the method reveals the distribution of electronic probability density in hydrogen atom intuitively and vividly． It provides a new way in physics teaching． Key words:hydrogen atom;probability density;visualization;Matlab