2013年广州市一模理科数学试题

试卷类型：A 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科） 2013.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件 相互独立,那么 . 线性回归方程 中系数 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 ， 其中 表示样本均值. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集 ，集合 ， ，则 A． B． C． D． EMBED Equation.DSMT4 2. 已知 ，其中 是实数，i是虚数单位，则 i A． i B． i C． i D． i 3．已知变量 满足约束条件 则 的最大值为 A． B． C． D． 4. 直线 截圆 所得劣弧所对的圆心角是 A． B． C． D． 5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是 A． B． C. D. 6. 函数 是 A．奇函数且在 上单调递增 B．奇函数且在 上单调递增 C．偶函数且在 上单调递增 D．偶函数且在 上单调递增 7．已知e是自然对数的底数，函数 e 的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列不等式中成立的是 A． B. C. D. 8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度 m， 一艘客船从码头 出发匀速驶往河对岸的码头 . 已知 km，水流速度为 km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为 分钟，则客船在静水中 的速度大小为 A． km/h B． km/h 图2 C． km/h D． km/h 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9. 不等式 的解集是 . 10． d . 11．某工厂的某种型号的机器的使用年限 和所支出的维修费用 (万元)有下表的统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 根据上表可得回归方程 ，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）． 12．已知 ，函数 若函数 在 上的最大值比最小值大 ，则 的值为 . 13. 已知经过同一点的 N 个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这 个平面将空间分成 个部分，则 ， . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，定点 ，点 在直线 上运动，当线段 最短时，点 的极坐标为 ． 15．（几何 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 选讲选做题） 如图3， 是 的直径， 是 的切线， 与 交于点 ， 若 ， ，则 的长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数 （其中 ， ， ）的最大值为2，最小正周 期为 . （1）求函数 的解析式； （2）若函数 图象上的两点 的横坐标依次为 ， 为坐标原点，求△ 的 面积. 17．（本小题满分12分） 甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为 ，乙，丙做对的概率分别为 ， ( ＞ )，且三位学生是否做对相互独立.记 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为： 0 1 2 3 (1) 求至少有一位学生做对该题的概率； （2) 求 ， 的值； （3) 求 的数学期望. 18．（本小题满分14分） 如图4，在三棱柱 中，△ 是边长为 的等边三角形， 平面 ， ， 分别是 ， 的中点. （1）求证： ∥平面 ； （2）若 为 上的动点，当 与平面 所成最大角的正切值为 时， 求平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值. 19．（本小题满分14分） 已知数列 的前 项和为 ，且 N . (1) 求数列 的通项公式； （2）若 是三个互不相等的正整数，且 成等差数列，试判断 是否成等比数列？并说明理由. 20．（本小题满分14分） 已知椭圆 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，抛物线 在点 处的切线分别为 ，且 与 交于点 . (1) 求椭圆 的方程； (2) 是否存在满足 的点 ? 若存在，指出这样的点 有几个（不必求出点 的坐标）; 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知二次函数 ，关于 的不等式 的解集为 ，其中 为非零常数.设 . （1）求 的值； （2） R 如何取值时，函数 存在极值点，并求出极值点； （3）若 ，且 EMBED Equation.DSMT4 ，求证： N . 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）试题参考答案及评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D A C A B 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9． 10． 11． 12． 或 13．8， 14． 15． 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是： Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵ 的最大值为2，且 ， ∴ . ……………1分 ∵ 的最小正周期为 ， ∴ ，得 . ……………2分 ∴. ……………3分 （2）解法1：∵ ， ……………4分 ， ……………5分 ∴ . ∴ . ……………8分 ∴ . ………10分 ∴ EMBED Equation.DSMT4 . ……………11分 ∴△ 的面积为 EMBED Equation.DSMT4 . ……………12分 解法2：∵ ， ……………4分 ， ……………5分 ∴ . （苏元高考吧：www.gaokao8.net） ∴ . ……………8分 ∴ . ……………10分 ∴ EMBED Equation.DSMT4 . ……………11分 ∴△ 的面积为 EMBED Equation.DSMT4 . ……………12分 解法3：∵ ， ……………4分 ， ……………5分 ∴ . ∴直线 的方程为 ，即 . ……………7分 ∴点 到直线 的距离为 . ……………9分 ∵ ， ……………11分 ∴△ 的面积为 EMBED Equation.DSMT4 . ……………12分 17．（本小题满分12分） （本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件 ，“乙做对”为事件 ，“丙做对”为事件 ，由题意知， . ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的， 所以至少有一位学生做对该题的概率是 . …………3分 （2）由题意知 ， ……………4分 ， ……………5分 整理得 ， . 由 ，解得 ， . ……………7分 （3）由题意知 ， ………9分 = ， ……………10分 ∴ 的数学期望为= . …………12分 18．（本小题满分14分） （本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一： （1）证明：延长 交 的延长线于点 ，连接 . ∵ ∥ ，且 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ 为 的中点. ……………2分 ∵ 为 的中点， ∴ ∥ . ……………3分 ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ∥平面 . ……………4分 （2）解：∵ 平面 ， 平面 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 . ……………5分 ∵△ 是边长为 的等边三角形， 是 的中点， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， . ∵ 平面 ， 平面 ， ， ∴ 平面 . ……………6分 ∴ 为 与平面 所成的角. ……………7分 ∵ ， 在Rt△ 中， EMBED Equation.DSMT4 ， ∴当 最短时， EMBED Equation.DSMT4 的值最大，则 最大. ……………8分 ∴当 时， 最大. 此时， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . ∴ . ……………9分 ∵ ∥ ， 平面 ， ∴ 平面 . ……………10分 ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 . ……………11分 ∴ 为平面 与平面 所成二面角（锐角）. ……………12分 在Rt△ 中， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 .…13分 ∴平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值为 . ……………14分 解法二： （1）证明：取 的中点 ，连接 、 . ∵ 为 的中点， ∴ ∥ ，且 . ……………1分 ∵ ∥ ，且 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ∥ ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . ……………2分 ∴四边形 是平行四边形. ∴ ∥ . ……………3分 ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ∥平面 . （苏元高考吧：www.gaokao8.net） ……………4分 （2）解：∵ 平面 ， 平面 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 . ……………5分 ∵△ 是边长为 的等边三角形， 是 的中点， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， . ∵ 平面 ， 平面 ， ， ∴ 平面 . ……………6分 ∴ 为 与平面 所成的角. ……………7分 ∵ ， 在Rt△ 中， EMBED Equation.DSMT4 ， ∴当 最短时， EMBED Equation.DSMT4 的值最大，则 最大. ……………8分 ∴当 时， 最大. 此时， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . ∴ . ……………9分 在Rt△ 中， . ∵Rt△ ～Rt△ ， ∴ ，即 . ∴ . ……………10分 以 为原点，与 垂直的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 建立空间直角坐标系 . 则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 . ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 . 设平面 的法向量为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 由 ， ， 得 （苏元高考吧：www.gaokao8.net） 令 ，则 . ∴平面 的一个法向量为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . ……………12分 ∵ 平面 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 是平面 的一个法向量. ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . ……………13分 ∴平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值为 . ……………14分 19．（本小题满分14分） （本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解： ， ∴ 当 时，有 解得 . ……………1分 由 , ① 得 , ② ……………2分 ② - ①得: . ③ ……………3分 以下提供两种方法： 法1：由③式得： ， 即 ; ……………4分 EMBED Equation.DSMT4 ， ……………5分 ∵ ， ∴数列 是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴ ,即 . ……………6分 当 时, ， ……………7分 又 也满足上式, ∴ . ……………8分 法2：由③式得： ， 得 . ④ ……………4分 当 时, , ⑤ ……………5分 ⑤-④得： . ……………6分 由 ，得 ， ∴ . ……………7分 ∴数列 是以 为首项，2为公比的等比数列. ∴ . ……………8分 （2）解：∵ 成等差数列， ∴ . ……………9分 假设 成等比数列， 则 ， ……………10分 即 ， 化简得： . （*） ……………11分 ∵ ， ∴ ，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴ 不是等比数列. ……………14分 20．（本小题满分14分） （本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） (1) 解法1：设椭圆 的方程为 EMBED Equation.DSMT4 , 依题意: 解得: ……………2分 ∴ 椭圆 的方程为 . ……………3分 解法2：设椭圆 的方程为 EMBED Equation.DSMT4 ， 根据椭圆的定义得 ，即 ， ……………1分 ∵ ， ∴ . ……………2分 ∴ 椭圆 的方程为 . ……………3分 (2)解法1：设点 , ，则 ， ， ∵ 三点共线, （苏元高考吧：www.gaokao8.net） ∴ . ……………4分 ∴ , 化简得： . ① ……………5分 由 ,即 得 . ……………6分 ∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，即 . ② 同理，抛物线 在点 处的切线 的方程为 . ③ ……………8分 设点 ，由②③得： EMBED Equation.3 ， 而 ，则 . ……………9分 代入②得 ， ……………10分 则 ， 代入 ① 得 ，即点 的轨迹方程为 . ……………11分 若 ，则点 在椭圆 上，而点 又在直线 上， ……………12分 ∵直线 经过椭圆 内一点 , ∴直线 与椭圆 交于两点. ……………13分 ∴满足条件 的点 有两个. ……………14分 解法2：设点 , ， ， 由 ,即 得 . ……………4分 ∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ， 即 . ……………5分 ∵ ， ∴ . ∵点 在切线 上, ∴ . ① ……………6分 同理， . ② ……………7分 综合①、②得，点 的坐标都满足方程 . ……………8分 ∵经过 的直线是唯一的， ∴直线 的方程为 ， ……………9分 ∵点 在直线 上， ∴ . ……………10分 ∴点 的轨迹方程为 . ……………11分 若 ，则点 在椭圆 上，又在直线 上，……12分 ∵直线 经过椭圆 内一点 , ∴直线 与椭圆 交于两点. ……………13分 ∴满足条件 的点 有两个. ……………14分 解法3：显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 由 消去 ，得 . ……………4分 设 ,则 . ……………5分 由 ,即 得 . ……………6分 ∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，即 .…7分 ∵ ， ∴ . 同理,得抛物线 在点 处的切线 的方程为 . ……………8分 由 解得 ∴ . ……………10分 ∵ , ∴点 在椭圆 上. ……………11分 ∴ . 化简得 .(*) ……………12分 由 , ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分） （本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于 的不等式 的解集为 ， 即不等式 的解集为 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 . ∴ EMBED Equation.DSMT4 . ∴ . ∴ . ……………2分 (2)解法1:由(1)得 EMBED Equation.DSMT4 . ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 的定义域为 . ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . ……………3分 方程 （*）的判别式 . ……………4分 ①当 时，，方程（*）的两个实根为 ……………5分 则 时， ； 时， . ∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增. ∴函数 有极小值点 . ……………6分 ②当 时，由 ,得 或 ， 若 ，则 EMBED Equation.DSMT4 故 时， ，（苏元高考吧：www.gaokao8.net） ∴函数 在 上单调递增. ∴函数 没有极值点. ……………7分 若 时， EMBED Equation.DSMT4 则 时， ； 时， ； 时， . ∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. ∴函数 有极小值点 ，有极大值点 . ……………8分 综上所述, 当 时， 取任意实数, 函数 有极小值点 ； 当 时， ，函数 有极小值点 ，有极大值点 .………9分 (其中 , ) 解法2:由(1)得 EMBED Equation.DSMT4 . ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 的定义域为 . ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . ……………3分 若函数 EMBED Equation.DSMT4 存在极值点等价于函数 有两个不等的零点，且 至少有一个零点在 上. ……………4分 令 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , 得 EMBED Equation.DSMT4 , (*) 则 ,(**) ……………5分 方程（*）的两个实根为 , . 设 EMBED Equation.DSMT4 , ①若 ,则 ,得 ,此时, 取任意实数, (**)成立. 则 时， ； 时， . ∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增. ∴函数 有极小值点 . ……………6分 ②若 ,则 得 又由(**)解得 或 , 故 . ……………7分 则 时， ； 时， ； 时， . ∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. ∴函数 有极小值点 ，有极大值点 . ……………8分 综上所述, 当 时， 取任何实数, 函数 有极小值点 ； 当 时， ，函数 有极小值点 ，有极大值点 .………9分 (其中 , ) (2)证法1：∵ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 . ∴ . ……………10分 令 ， 则 . ∵ EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ……11分 EMBED Equation.DSMT4 …12分 . ……………13分 ∴ ，即 . ……………14分 证法2：下面用数学归纳法证明不等式 EMBED Equation.DSMT4 . ① 当 时，左边 ，右边 ，不等式成立； ……………10分 ② 假设当 EMBED Equation.DSMT4 N 时，不等式成立，即 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ……………11分 ……………12分 . ……………13分 也就是说，当 时，不等式也成立. 由①②可得，对 EMBED Equation.DSMT4 N ， 都成立. ………14分 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 水流方向 PAGE 18 _1425140641.unknown _1425140769.unknown _1425140898.unknown _1425140963.unknown _1425141027.unknown _1425141059.unknown _1425141076.unknown _1425141084.unknown _1425141092.unknown _1425141096.unknown _1425141100.unknown _1425141104.unknown _1425141106.unknown _1425141107.unknown _1425141108.unknown _1425141105.unknown _1425141102.unknown _1425141103.unknown _1425141101.unknown _1425141098.unknown _1425141099.unknown _1425141097.unknown _1425141094.unknown _1425141095.unknown _1425141093.unknown _1425141088.unknown _1425141090.unknown _1425141091.unknown _1425141089.unknown _1425141086.unknown _1425141087.unknown _1425141085.unknown _1425141080.unknown _1425141082.unknown _1425141083.unknown _1425141081.unknown _1425141078.unknown _1425141079.unknown _1425141077.unknown _1425141068.unknown _1425141072.unknown _1425141074.unknown _1425141075.unknown _1425141073.unknown _1425141070.unknown _1425141071.unknown 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