多元函数的极值及其应用

2012年 5月（上） 科 教 纵 横科技创新与应用 多元函数的极值及其应用 苏兴花 （山东现代职业学院，山东 济南 250104） 多元函数的极值问题在近年来研究比较广泛，相关的理论逐渐 地完善起来，多元函数极值问题的应用也越来越广泛．然而在数学 分析的教材中，与一元函数比较起来，多元函数极值的理论及应用 却比较少，没有详细的讨论，例如二元函数极值的讨论中，当判别式 时，无法判别二元函数的极值是否存在．鉴于这种状况与实际需要 的矛盾，总结出几种较为简便的判别多元函数极值的方法，使得多 元函数的极值问题的解决方法简单多样化，运用起来更加灵活与方 便。 1 多元函数极值 1.1 极值的定义、性质和判定定理 二元函数的极值 定义 1 设二元函数 f(x,y)在点 P(a,b)的邻域 G有定义，在 P处给 自变量的增量 △P=(h,k)，相应有函数增量 ． 若 ，则称 P(a,b)是函数 f(x,y)的极大点（极小点）．极大 点（极小点）的函数值 f(a,b)称为函数 f(x,y)的极大值（极小值）．极大值 与极小值统称为函数的极值． 定义 2 方程组 的解（xy平面上的某些点）称为函 数 f(x,y)的稳定点． 定理 1 若函数 f(x,y)在点 P(a,b)存在两个偏导数，且 P(a,b)是函 数 f(x,y)的极值点，则 . 定理 2 设函数 f(x,y)有稳定点 P(a,b)，且在 P(a,b)的邻域 G存在 二阶连续偏导数．令 1）若 △<0，则 P(a,b)是函数 f(x,y)的极值点， (i)A>0(或 C>0)，P(a,b)是函数 f(x,y)的极小点; (ii)A<0(或 C<0)，P(a,b)是函数 f(x,y)的极大点． 2）若 △>0，P(a,b)不是函数 f(x,y)的极值点． 1.2 多元函数极值推广 1.2.1 多元函数极值在数学分析中的推广 定理 设 f(P)是 Rn中的实函数，且 f(P)在点 P0取到极值，则 f(P) 在点 P0的任何方向导数均为零． 1.2.2 多元函数极值在线性代数中的推广 定理 1 设 n元函数 f(x)=f(x1,x2,...,xn)在某区域上具有二阶连续偏 导数，并且区域内一点 P(a1,a2,...,an)是 f(x)的稳定点．其中 为实对称矩阵，其元素 且不全为零 (i,j= 1,2,...,n)即 A≠0． 1) 若 A为正定矩阵，f(P)为极小值; 2) 若 A为负定矩阵，f(P)为极大值; 3) 若 A既不正定，也不负定，则 f(P)不是极值． 注意：若二次齐次多项式为零，即 A=0时，此时不能用 A的正 定与负定来判断 f(P)是否为极值，或判断 f(P)是极大值或极小值，需 根据二次齐次多项式后边的高次项去判定． 定理 2 设二元函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某邻域内具有三阶连续 偏导数，且 P0是稳定点，又 ，即 △=0时，则当 时， f在点 P0无极值． 例 2 判别函数 是否存在极值． 解 解方程组 得稳定点 P0（0，0）． 因为函数 f(x,y)在 R2上可微，所以 f(x,y)只可能在(0,0)点取极值， 且容易验证 B2-AC=0，用二阶偏导数判别法得不到结论， 但又知 ，所以由定理 2知函数 f(x,y)=xy2在(0,0) 点不取极值． 以上介绍了多元函数极值的相关定义、性质及定理，并给出一 些较为有价值的定理，解决了几类在数学分析教材中无法解决的问 题，下面我们将给出一些实际例子来验证定理及推论在判别多元函 数极值问题中的作用． 2 多元函数极值的应用 多元函数极值在实际问题中的应用 例 3 考试中心组织非英语专业等级考试，租用学校教室做考 场，已知每个大教室可容纳考生 50名，需 2名教师监考，租金 70 元；每个小教室可容纳考生 30名，需 2名教师监考，租金 40元，本 次考试考生共 1800名，可提供监考教师 114名，问怎样安排大小考 场才能既满足要求又最省租金？ 解 设用小教室 x1个，大教室 x2个，则线性规划模型为 min {40x1+70x2} 使得 其中 化为标准形 使得 其中 求得全部基本允许点： 而 可知规划最优点为 ．即用 30个小教室，18个大 教室最优． 例 3这道题是最优化问题，主要解决了如何合理配置资源才能 达到不浪费资源，取得最优效果的问题。 这篇文章介绍了多元函数极值的判别与求解方法及其应用，将 线性规划和高等代数中有关极值问题的理论与数学分析中的理论 统一到一起，对极值的判别作了比较全面地概括和总结，便于今后 更灵活地掌握极值在不同情况下的判别方法；文章的应用部分尤其 是极值的最优化应用部分，充分体现出极值在现实生活中的应用价 值．现在，全世界都面临着资源严重短缺的问题，如何使能源的分配 和使用更加合理已经成为人们亟待解决的问题，而数学作为解决这 些问题的工具必将发挥其巨大的作用。 参考文献 [1]华东师范大学数学系．数学分析[M]．高等教育出版社，2001． [2]苏淑真．实对称矩阵在求多元函数极值中的应用 [J]．西安欧亚学 院，中国期刊网． [4]郝一凡．最优化与决策 [M]．辽宁大学出版社，1999． 摘 要：文章首先从极值的相关定义、性质及定理出发，结合线性规划所定义的多元函数条件极值的相关理论，研究并讨论了多 元函数在满足限制条件不论是方程组还是某些不等式组时的极值问题．其次，从二元函数极值的定义、性质定理出发，对多元函 数极值运用线性代数的理论加以探讨，并且用实际例子验证了上述推论及定理在判别多元函数极值问题中的实用性与灵活性． 文章最后又给出了多元函数极值在实际问题中的应用，以此说明研究极值问题的重要性与必要性。 关键词：多元函数；极值；正定矩阵；稳定点 � � � �, ,f f a h b k f a b� � � � � � �0 0f f� � � � � � ( , ) 0 ( , ) 0 � � f x y f x y �� ���� ��� ��( , ) 0, ( , ) 0 �� f a b f a b� � � � � ����( , ), , , , , ������ A f a b B f a b C f a b B AC�� ��� � � �� � ����� ����� �� � � ���� a a a a a a A a a a � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � ���� �� a a f P x x �� � � � � � � � � � ������ , , , 0 ������ f x y f x y f x y� � �� � � ���� ���� ���� ���� ( ) ( ) ( ) ( ) 0f f f fP P P P x x y x y y � � � � � � � �� � � �� � � � � � � �� � � �� � � � � � � �� � � � � �� � � � � ��,f x y xy� � � � � � , 0 , 2 0 f x y y x f x y xy y ���� � ��������� � ������ � 2 0f y x � � � � � �� �� 30 50 1800 2 3 114 x x x x � � ����� � ��� � � �� 0, 0x x� � � � ���� min 40 70 0 0x x x x� � � ��� ��� 30 50 1800 2 3 114 x x x x x x � � � ����� � � ��� � �0 1, 2 ,3, 4 � x i� � � � � � � � ��� 30 ,18 ,0 ,0 0 ,38 ,100 ,0 0 ,36 ,0 ,6���X X X� � � ��� ��� ��� � �� �� � � � 40 30 70 18 2460f X � � � � � ��� � � � � 40 0 70 38 2660f X � � � � � ��� � � � � 40 0 70 36 2520.f X � � � � � ��� � � � 30 ,18 ,0 ,0�X � ��� 274- -