知识整理
第一单元、数与代数
一、数的认识
1、数的意义
(1)自然数:0、1、2、3、4……都是自然数。可以表示物体的个数或次数。自然数的个数是无限的,最小的自然数是0,没有最大的自然数。
(2)0:一个物体也没有,用0表示。0是最小的自然数。0还有其他多种用法,在写数记数中,可以用0来占位;在测量活动中,用0表示起点;在相反意义量的
记录
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中,用0作分界点。
(3)负数:比0小的数是负数,比0大的数是正数。0既不是正数,也不是负数。
(4)小数:分母是10、100、1000……的十进分数可以写成小数。
(5)分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。两个数相除的商可以用分数表示。
把单位“ 1”平均分成若干份,表示这样的一份的数叫做分数单位。
(6)百分数:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分比或百分率。百分数是一种特殊的分数。
二、数的联系
1、整数与小数:整数和小数在计数方法上是一致的,都是用十进制计数法记录的。整数可以根据小数的基本性质改写成小数。
2、小数与分数:小数就是分母是10、100、1000……的十进分数,小数是特殊的分数。
3、分数与百分数:百分数虽然在形式上与分数是类似的,但在意义上有明显的不同。百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几,所以也叫做百分比(百分率),而分数不仅可以表示一个数是另一个数的几分之几,也可以用来表示一个具体的数量。
4、正数与负数:以0为分界点,比0大的数就是正数,比0小的数就是负数。正数可以有正整数、正分数;负数可以有负整数、负分数。0既不是正数,也不是负数。
三、数位顺序表
1、数位、位数和计数单位:整数与小数都是按照十进制计数法写出的数,个、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位,各个计数单位所占的位置,叫做数位。
一个自然数数位的个数,叫做位数;小数位数是以小数点右边的数位多少来定的
2、多位数的读法、写法:多位数从个位起,每四位分为一级,可分为个级、万级、亿级。读数时,从最高位起,一级一级的读。读万级或亿级的数时要按照个级的读法来读,并在后面加上级名。每一级末尾的0都不读,其他数位上不论连续有几个0,只读一个0。
写数时,先确定最高位是哪一级的哪个数位,然后从高位起,一级一级往下写,哪一位一个单位也没有,就在哪个数位上写0来占位。
3、小数的读法、写法:读小数时,整数部分按照整数读法来读(整数部分是0的读作“零”),小数点读作“点”,小数部分顺次读出每个数位上的数字。
写小数时,整数部分按照整数写法来写(整数部分是0的写作“0”),小数点写在个位的右下面,小数部分顺次写出每个数位上的数字。
六、数的大小比较
包括整数、小数、分数的大小比较,也包括他们相互之间的大小比较。
七、数的性质
1、整除
(1)整除与除尽
整除:整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a.。
除尽:数a除以数b(b≠0),除得的商是整数或是有限小数,这就叫做除尽.
整除是除尽的一种特殊情况,整除也可以说是除尽,但除尽不一定是整除.
(2)因数和倍数
如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数.
倍数:一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.
因数:一个数的因数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.
因数和倍数是相互依存的
(3)能被2.3.5整除的数的特征
能被2整除的数的特征:个位上是0,2,4,6,8,:
能被3整除的数的特征:个位上是0或5
能被5整除的数的特征:各个位上的数字的和能被3整除
能同时被2、5整除的数的特征:个位是0
能同时被2、3、5整除的数的特征:个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除.
(4)偶数和奇数
一个自然数,不是奇数就是偶数
偶数:能被2整除的数。最小的偶数是0
奇数:不能被2整除的数.最小的奇数是1.
(5)质数和合数
质数(素数):只有1和它本身两个因数。最小的质数是2.
合数:除了1和它本身还有别的因数。最小的合数是4.
1:既不是质数也不是合数
一个自然数根据因数的个数,可以分为1、质数和合数。
(6)最大公约数和最小公倍数
公约数,最大公约数: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数.
公倍数,最小公倍数: 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.
互质数: 公约数只有1的两个数叫做互质数.
互质数的几种特殊情况:
①两个数都是质数,这两个数一定互质.
②相邻的两个数互质.
③1和任何数都互质.
求最大公约数和最小公倍数
①如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公约数;较大数就是这两个数的最小公倍数.
②如果两个数互质,它们的最大公因数就是1;最小公倍数就是它们的积.
③一般情况:可以根据最大公因数和最小公倍数的意义去找,也可以利用短除法去找。
2、小数的基本性质:小数的末尾添上0或去掉0,小数的大小不变。根据小数的基本性质,可以化简小数、根据需要把整数或小数改写成指定的几位小数。
3、分数的基本性质:分数的分子和分母都乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。根据分数的基本性质,可以化简分数和通分。
二、数的运算
一、整数、小数、分数四则运算的意义
乘法的意义:一个数乘整数是求几个相同加数和的简便运算;一个数与小数相乘可以看成是求这个数的十分之几、百分之几……是多少;一个数与分数相乘可以看成是求这个数的几分之几是多少。(重点讲解)
从他们的意义中可以知道:减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算。可以运用运算间的这种关系进行验算。
二、运算形式
口算、笔算、估算、用计算器计算,同时进一步明确口算、笔算、估算的基本要求,这是计算能力的保底要求。第87页第1题明确了应该掌握的口算:两位数加、减两位数(和不超过100)及相应的小数加、减法;两位数乘、除以一位数(积不超过100)及相应的小数乘、除法;简单的分数四则运算。第2题明确了应该掌握的笔算:三位数的加、减法及相应的小数加减法;三位数乘、除以两位数及相应的小数乘除法;比较简单的分数四则计算。第3题是应能进行的估算:估计三位数加、减法的结果大约是几百(或比几百多一些,比几百少一些);估计两位数乘两位数的积大约是几千(几千几百)。另外,如果三位数除以两位数的商是两位数,说出商是几十多。
三、四则混合运算的顺序
同级运算:在一个只有加减或乘除的算式里,按照从左到右的顺序进行计算。
二级运算:在一个既有加减又有乘除的算式中,按照先乘除后加减的顺序进行计算。
在有括号的算式中,先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的。
四、运算法则
加减法的法则:计算整数加减法把相同数位对齐,计算小数加减法要把小数点对齐,计算分数加减法要先通分化成同分母分数,其实质都是要把相同计算单位的数相加减。
乘除法的法则:小数乘除法通常转化成整数乘除法进行计算,然后考虑积或商的小数点定位;分数除法通常转化成分数乘法进行计算。
五、运算定律和性质
加法交换律: A+B=B+A
加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C)
乘法交换律: A×B=B×A
乘法结合律: A×B×C=A×(B×C)
乘法分配律: (A+B)×C=A×C+B×C
减法性质: A-B-C=A-(B+C)
除法性质: A÷B÷C=A÷(B×C)
A×C-B×C=(A-B)×C
(A+B)÷C=A÷C+B÷C
六、探索运算规律
计算的过程,不仅仅是运用计算法则机械演算的过程,也是观察分析、不断探索和
总结
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各种运算规律的过程。一般,探索运算规律分成这几个阶段:
计算给定的题组或试算简单的几道题→观察算式和计算结果有何特点→比较找出不同算式的共同之处,形成规律的猜测→自主举例进一步验证规律→周密思考中确认规律。
运算规律:
积的变化规律:一个因数不变,另一个因数乘几,得到的积等于原来的积乘几。
商不变规律:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
(商不变规律与小数的基本性质、分数的基本性质的内在关系)
三、式与方程
一、用字母表示数
1、 用字母表示数的意义
①用字母不仅可以表示未知数,还可以表示已知量;不仅可以表示特定的数,还可以表示一定范围内变化着的数。
②含有字母的式子可以看作数量间的关系,也可以看做运算的结果。
2、用字母表示数的规则
①数字与字母、字母与字母相乘时,乘号可以记作“· ”,或者省略不写,数字要写在字母的前面。
②当1与任何字母相乘时,1省略不写。
③在一个问题中,不同的量用不同的字母来表示,而不能用同一个字母表示。
④用含有字母的式子表示问题的
答案
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时,除法结果一般要写成分数形式;如果式子中有加、减、乘、除运算时,要先进行适当的运算,再用括号把含有字母的式子括起来,并在括号后面写上单位名称。
⑤具体问题中,字母表示的数总是有一定范围的。
3、用字母表示常见的数量关系
如路程、速度和时间的关系(s、v、t)和总价、单价和数量的关系(a、b、c)等
4、 用字母表示运算定律和运算性质
加法交换律、结合律;乘法交换律、结合律和分配律等
5、 用字母表示几何图形的周长、面积、体积计算公式。
二、简易方程
1、方程和等式
等式:表示相等关系的式子叫做等式。
方程:含有未知数的等式叫做方程。
他们的关系如下:
2、解方程。
解方程:求方程中未知数的值的过程叫做解方程。
解方程的依据:等式的性质。
① 等式两边同时加上或减去同一个数,所得结果仍然是等式。
② 等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数,所得结果仍然是等式。
3、列方程法解决问题的一般步骤
①弄清题意,确定未知数并用x表示(也可以用其他字母表示)。
②找出题中的数量之间的相等关系。
③ 列方程,解方程。
④ 检查或验算,写出答案。
四、比与比例
一、比与比例
比
比例
意义
两个数的比表示两个数相除。
表示两个比相等的式子叫做比例。
基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
二、比、分数与除法
比
前项
:(比号)
后项
比值
除法
被除数
÷(除号)
除数
商
分数
分子
——(分数线)
分母
分数值
三、求比值和化简比
一般方法
结果
求比值
根据比值的意义,用比的前项除以后项。
是一个数值,可以是整数,也可以是小数或分数。
化简比
根据比的基本性质,把比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数(0除外)。
是一个最简单的整数比,即前项、后项是公因数只有1的两个数。
四、正比例和反比例